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1、第3章MATLAB矩陣分析與處理3.1特殊矩陣3.2矩陣結(jié)構(gòu)變換3.3矩陣求逆與線性方程組求解3.4矩陣求值3.5矩陣的特征值與特征向量3.6矩陣的超越函數(shù)MATLAB強大的計算能力以矩陣運算為基礎(chǔ)。3.1特殊矩陣3.1.1通用的特殊矩陣常用的產(chǎn)生通用特殊矩陣的函數(shù)有:zeros:產(chǎn)生全0矩陣(零矩陣)。ones:產(chǎn)生全1矩陣(幺矩陣)。eye:產(chǎn)生單位矩陣。rand:產(chǎn)生0~1間均勻分布的隨機矩陣。randn:產(chǎn)生均值為0,方差為1的標準正態(tài)分布隨機矩陣。通用的特殊矩陣用于專門學科的特殊矩陣例3.1分別建立3×3、3×2和與矩陣A同樣大小的零矩陣。建立一個3×3零矩陣。zero
2、s(3)建立一個3×2零矩陣。zeros(3,2)設A為2×3矩陣,則可以用zeros(size(A))建立一個與矩陣A同樣大小零矩陣。A=[123;456];%產(chǎn)生一個2×3階矩陣Azeros(size(A))%產(chǎn)生一個與矩陣A同樣大小的零矩陣(2)均值為0.6、方差為0.1的5階正態(tài)分布隨機矩陣。命令如下:y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5)例3.2建立隨機矩陣:(1)在區(qū)間[20,50]內(nèi)均勻分布的5階隨機矩陣。x=20+(50-20)*rand(5)reshape(A,m,n),它在矩陣總元素保持不變(存儲結(jié)構(gòu)不變)的前提下,將矩陣A重新排成m×n的二維矩
3、陣。3.1.2用于專門學科的特殊矩陣(1)魔方矩陣魔方矩陣有一個有趣的性質(zhì),其每行、每列及兩條對角線上的元素和都相等。對于n階魔方陣,其元素由1,2,3,…,n2共n2個整數(shù)組成。MATLAB提供了求魔方矩陣的函數(shù)magic(n),其功能是生成一個n階魔方陣。例3.3將101~125等25個數(shù)填入一個5行5列的表格中,使其每行每列及對角線的和均為565。M=100+magic(5)(2)范得蒙矩陣范得蒙(Vandermonde)矩陣最后一列全為1,倒數(shù)第二列為一個指定的向量,其他各列是其后列與倒數(shù)第二列的點乘積??梢杂靡粋€指定向量生成一個范得蒙矩陣。在MATLAB中,函數(shù)vand
4、er(V)生成以向量V為基礎(chǔ)向量的范得蒙矩陣。例如,A=vander([1;2;3;5])即可得到上述范得蒙矩陣。(3)希爾伯特矩陣使用一般方法求逆會因為原始數(shù)據(jù)的微小擾動而產(chǎn)生不可靠的計算結(jié)果。MATLAB中,有一個專門求希爾伯特矩陣的逆的函數(shù)invhilb(n),其功能是求n階的希爾伯特矩陣的逆矩陣。例3.4求4階希爾伯特矩陣及其逆矩陣。命令如下:formatrat%以有理形式輸出H=hilb(4)H=invhilb(4)在MATLAB中,生成希爾伯特矩陣的函數(shù)是hilb(n)。(4)托普利茲矩陣托普利茲(Toeplitz)矩陣除第一行第一列外,其他每個元素都與左上角的元
5、素相同。toeplitz(x,y):生成托普利茲矩陣的函數(shù),它生成一個以x為第一列,y為第一行的托普利茲矩陣。這里x,y均為向量,兩者不必等長。toeplitz([1234],[1678])toeplitz(x):用向量x生成一個對稱的托普利茲矩陣。例如T=toeplitz(1:6)(5)伴隨矩陣p(x)=0的根是A的特征值.MATLAB生成伴隨矩陣的函數(shù)是compan(p),其中p是一個多項式的系數(shù)向量,高次冪系數(shù)排在前,低次冪排在后。例如,為了求多項式的x3-7x+6的伴隨矩陣,可使用命令:p=[1,0,-7,6];compan(p)p(x)是A的特征多項式(6)帕斯卡矩陣我
6、們知道,二次項(x+y)n展開后的系數(shù)隨n的增大組成一個三角形表,稱為楊輝三角形。由楊輝三角形表組成的矩陣稱為帕斯卡(Pascal)矩陣。函數(shù)pascal(n)生成一個n階帕斯卡矩陣。例3.5求(x+y)5的展開式。在MATLAB命令窗口,輸入命令:pascal(6)矩陣次對角線上的元素1,5,10,10,5,1即為展開式的系數(shù)。3.2矩陣結(jié)構(gòu)調(diào)整變換3.2.1對角陣與三角陣1.對角陣對角矩陣:只有對角線上有非0元素的矩陣稱為對角矩陣;數(shù)量矩陣:對角線上的元素相等的對角矩陣稱為數(shù)量矩陣;單位矩陣:對角線上的元素都為1的對角矩陣稱為單位矩陣。(1)提取矩陣的對角線元素設A為m×n
7、矩陣,diag(A)函數(shù)用于提取矩陣A主對角線元素,產(chǎn)生一個具有min(m,n)個元素的列向量。diag(A)函數(shù)還有一種形式diag(A,k),其功能是提取第k條對角線的元素。(2)構(gòu)造對角矩陣設V為具有m個元素的向量,diag(V)將產(chǎn)生一個m×m對角矩陣,其主對角線元素即為向量V的元素。diag(V)函數(shù)也有另一種形式diag(V,k),其功能是產(chǎn)生一個n×n(n=m+
8、k
9、)對角陣,其第k條對角線的元素即為向量V的元素。例3.6先建立5×5矩陣A,然后將A的第一行元素乘以