數(shù)學(xué)思考與解題的策略

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1、淺談幾個(gè)數(shù)學(xué)解題的模式「解題」是數(shù)學(xué)中一個(gè)主耍的活動(dòng)'從小到大數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)活動(dòng)，都脫離不了學(xué)習(xí)如何去解題，這一連串的課程主耍是取材於George.Polya的vv如何解題??數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)＞＞、?數(shù)學(xué)與猜想＞＞這三部書(shū)，希望能介紹一些有用的策略與方法，讓讀者在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，能有一些遵循的模式與法則。當(dāng)然並不是所有的問(wèn)題都能經(jīng)由這些模式去解決，但是我們?cè)噲D舉出一些理性、有效率的建議，以提供讀者參考。(A)雙軌跡模式：模式的敘述：把問(wèn)題簡(jiǎn)化爲(wèi)作一個(gè)點(diǎn)，然後，把條件分爲(wèi)兩部分，使每一個(gè)部分變成未知點(diǎn)的一條軌跡；而每一條軌跡必須是一條直線或者是一個(gè)圓。［

2、例題1］已知一三角形ABC，求作此三角形的內(nèi)切圓。簡(jiǎn)化問(wèn)題：已知：三角形的三個(gè)邊，AB,BC,CA。未知：一個(gè)點(diǎn)X。條件：X點(diǎn)到AB,BC,CA三邊的距離相等。做法：⑴將條件分成兩部分第一部份：X到AB,BC的距離相等=＞滿足第一條件的軌跡是兩條互相垂直的直線。(直線AB,BC的角平分線)第二部分：X到AB,CA的距離相等=＞滿足第一條件的軌跡是兩條互相垂直的直線。(直線AB,CA的角平分線)(2)滿足上述兩個(gè)條件的軌跡有四個(gè)交點(diǎn)，而X爲(wèi)其中一個(gè)。(練習(xí)1)三等份一給定三角形的面積，即在給定AABC內(nèi)求一點(diǎn)X，使得4XAB、AXBC、AXCA

3、面積相等。簡(jiǎn)化問(wèn)題：已知：未知：條件：做法：(1)若從AXAB=AXBC出發(fā)，則X會(huì)落在若從AXBOAXCA出發(fā)，則X會(huì)落在(2)若從AXAB=

4、AABC出發(fā)，則X會(huì)落在若從axbc=

5、aabc出發(fā)，則X會(huì)落在由⑴⑵出發(fā)'可找到不一樣的做法嗎？(練習(xí)2)已知P爲(wèi)直線L上一點(diǎn)，A爲(wèi)L外一點(diǎn)，求作一圓通過(guò)A點(diǎn)且與L相切於P點(diǎn)o已知：未知：條件：作法：A。(A)相似形模式：模式的敘述：當(dāng)我們一下子求不出欲求的圖形，考慮能否做出與所求圖形相似的圖形，藉此再求得所耍的圖形。［例題2］在一個(gè)給定的AABC中作一內(nèi)接正方形，此正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)在AB上，一個(gè)

6、在AC上‘一個(gè)在BC上。已知：AABC未知：正方形r條件：正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)在AB上，一個(gè)在AC上，一個(gè)在BC上。做法：(1)減弱一個(gè)條件'正方形一個(gè)頂點(diǎn)不用落在BC(2)減弱條件之後'可做出多個(gè)相似的正方形。(3)觀察這些相似正方形的頂點(diǎn)，這些頂點(diǎn)共線￡⑷所求的正方形，其頂點(diǎn)要在BC邊上，故此直線與BC的交點(diǎn)即爲(wèi)所求正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，其餘個(gè)頂點(diǎn)，亦可順序做出來(lái)。(練習(xí)3)給定ZACB，作一直線交CA於X點(diǎn)，CB於Y點(diǎn)，使得AX二XY二YB。假設(shè)問(wèn)題已知解決了！如圖。/(1)作YZ//XA且YZ=XA。/(2)AXYZ爲(wèi)菱形且4BYZ爲(wèi)等腰三角

7、形。Z_⑶如果可做出Z，則可由Z求Y。雖然無(wú)法求出ABYZ，不過(guò)卻知道它的形狀，我們?cè)囍饕粋€(gè)與之Z'—相似的三角形。(1)我們不知道Y的位置，不過(guò)倒著作'先在BC上任取一點(diǎn)Yz，假設(shè)V是我們欲求的Y點(diǎn)，反過(guò)來(lái)去求類(lèi)似Z點(diǎn)的Z，，即作直線Yzz7/CA，使得YZ二Y’B。(2図點(diǎn)取定之後，如何在AB上找一個(gè)類(lèi)似A點(diǎn)的點(diǎn)A，呢？做法：/(1)A，點(diǎn)取定之後，四邊形BYZA與BY'ZW厶是相似的圖形，女口何由才點(diǎn)在去求Z點(diǎn)呢？做法：(練習(xí)4)給定一個(gè)三角形的三個(gè)高h(yuǎn)a,燈，求作此三角形。已知：未知條件：做法：(A)輔助圖形模式：模式的敘述：設(shè)法

8、發(fā)現(xiàn)圖形的一部份或與之密切相關(guān)的某個(gè)圖形'它是能否做出欲求的圖形的一塊踏腳石。我們應(yīng)該注意尋找那些容易從所求的圖形中分出來(lái)的圖形'而且應(yīng)該尋找極端情況，運(yùn)用類(lèi)比法或變化已知量等等，引出輔助圖形。［例題3］做兩個(gè)已知圓的公切線。已知量：兩個(gè)相離的圓。未矢口量：兩組公切線°做法：以外公切線爲(wèi)例⑴尋找輔助問(wèn)題的方H變化已知量：即變化兩圓的半徑大小。找極端的情形：有一個(gè)圓變成一點(diǎn)。(2)當(dāng)兩圓的半徑同時(shí)縮小，而有一圓縮成一個(gè)點(diǎn)時(shí)，想一想這樣變化的過(guò)程中，每一條外公切線都在移動(dòng)著，但是整個(gè)移動(dòng)過(guò)程，它們始終都是平行的。(3)將圓外一點(diǎn)作圓的切線當(dāng)作是輔

9、助問(wèn)題'根據(jù)(2)的結(jié)果，就可得出(練習(xí)5)給定一直線L，與線外兩點(diǎn)A,B，A,B兩點(diǎn)

10、司側(cè)且AB不平行L，求作與直線L相切且通過(guò)A,B的圓。已知：直線L與線外同側(cè)的兩點(diǎn)A,B未知：圓條件：此圓與直線L相切且通過(guò)A,B兩點(diǎn)。做法：(1)輔助問(wèn)題：給定不共線三點(diǎn)，就可決定一個(gè)圓。故我們想去尋找在L上圓的切點(diǎn)T。(2)假設(shè)圓已做成了，設(shè)P點(diǎn)爲(wèi)直線與直線AB的交點(diǎn)，根據(jù)切割線定理(PT)2=PAPB，我們可藉由PT來(lái)求T點(diǎn)的位置。⑶如何求出PT呢？以上我們列出了能用以處理幾何?作圖問(wèn)題的三種不同的模式。輔助圖形模式比起相似形模式來(lái)，給我們以更多的選

11、擇機(jī)會(huì)，但是他的日標(biāo)不太確定。雙軌跡模式是最簡(jiǎn)單的一你可以首先試試看'因爲(wèi)在大多數(shù)情況下最好先從簡(jiǎn)單的試起。但不耍把自己束縛住，要保持開(kāi)闊的思路：把問(wèn)題當(dāng)作是已解決