巧用換元法求無理函數(shù)值域應(yīng)用問題探究

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1、巧用換元法求無理函數(shù)值域應(yīng)用問題探究【摘要】換元法是用一種變量形式去取代另一種變量形式，從而把一個函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)?本文對用代數(shù)換元法和三角換元法求三類無理函數(shù)的值域的應(yīng)用問題作些探討.【關(guān)鍵詞】換元法；無理函數(shù)；分式無理函數(shù)；求值域的應(yīng)用換元法是一種變量代換，其實質(zhì)是用一種變量形式去取代另一種變量形式，從而把一個函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)?所換新元的范圍由原函數(shù)的定義域及所換元的表達式來確定.本文對用代數(shù)換元法和三角換元法求三類無理函數(shù)的值域作些探討.一、形如"y=mx+n土ax+b”的函數(shù)點撥函數(shù)為根號內(nèi)外自變量的次數(shù)相同的無理函數(shù)，一

2、般令t=ax+b,將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為t的二次函數(shù).通過換元將問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)值域，但是換元后要注意新元的范圍.例1求函數(shù)f(x)3+2x+l的值域.解函數(shù)的定義域為x

3、x2-12.設(shè)t=2x+l,(t20),則x=t2-12,于是y=t2-12-3+t,當(dāng)t=0時，即x=-12,ymin=-72.當(dāng)+°°時，yf+8.所以，原函數(shù)的值域為yy^-72.二、形如^y=mx+n±ax2+bx+c(aO)”的函數(shù)點撥函數(shù)根號內(nèi)外自變量X的次數(shù)不同，又aO,函數(shù)的定義域為閉區(qū)間[x1,x2],一般采用三角換元法求函數(shù)的值域.可令x=x2-

4、x12sina+x2+x12且ae-n2,n2,即原函數(shù)可化為y二Asin(a+4))+k型函數(shù)，可得出函數(shù)的值域.至于a>0且△>()及其他類型，可自己分析一下.例2求函數(shù)f(x)=2x-4-x2的值域.解令x二2cosa,(0

5、三、形如“y二max+b土ncx+d,(ac<0)”的函數(shù)點撥函數(shù)的兩根號內(nèi)自變量都是一次或都是二次，且ac<0,函數(shù)的定義域為閉區(qū)間，如[x1,x2],則可作代換，令x=(x2-x1)sin2a+x1,且a丘0,兀2,即原函數(shù)可化為尸Asin(a+4))型的函數(shù)，易得出函數(shù)的值域.例3已知函數(shù)f(x)二1-x+x+3的值域.解因為函數(shù)定義域為xW[-3,1],故1-xw[o,2],所以可設(shè)l-x=2cos0,x+3=2sin0,0￡0,n2.所以y二2cos0+2sin0二22sin8+n4?因為0GO,兀2,0+ji4^n4,

6、3兀4.sin0+Ji4e22,1?所以2WyW22?故ymax二22,ymin=2?函數(shù)y二1-x+x+3的值域f(x)e[2,22].四、無理分式函數(shù)f(x)二p(x)q(x)求值域點撥根據(jù)函數(shù)表達式的結(jié)構(gòu)特征選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄞD(zhuǎn)化為求一個簡單函數(shù)的值域?其基本思想方法是通過適當(dāng)?shù)膿Q元，將其轉(zhuǎn)化為我們熟知的函數(shù)后求值域.例4求函數(shù)y二x3(1+x2)3的值域.解xWR,令x二tana,aG-ji2,Ji2,則y二tan3a(1+tan2a)3=tan3asec6a=tan3asec3a=sin3a?因為aG-ji2,兀2,所以-l

7、