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《函數(shù)求值域方法之值域換元法.docx》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、函數(shù)求值域方法之值域換元法求值域的方法有很多，在眾多的方法中，換元法是比較常用且非常有效的求解值域的辦法，這里，給大家總結(jié)五種常見的換元方法，歡迎大家補(bǔ)充。五種常見換元辦法：①一般換元法；②三角換元法(難度較大)；③三角換常值換元法；④雙換元法；⑤整體換元法類型一：一般換元法形如：y=ax+b二cxd方法：本形式下，部分函數(shù)在取值區(qū)間內(nèi)，單調(diào)性確定，所以可以直接使用單調(diào)性判斷，單調(diào)性無法確定的時(shí)候，本題可使用一般換元的思路，令t=Jcx+d,用t表示x,帶入原函數(shù)得到一個(gè)關(guān)于t的二次函數(shù)，求解值域即可。例1:求函數(shù)f(x)=x-4x^1的值域分析：本題x『1,一),
2、在取值區(qū)間內(nèi)，x單調(diào)增，Vx%單調(diào)增，兩個(gè)單調(diào)增的函數(shù)相減無法直接判斷單調(diào)性，所以單調(diào)性無法確認(rèn)，考慮使用一般換元。角單：另t=JxT(t之0),貝Ux=t2+1,代入f(x)得f(x)=t2—t+1(t>0)本題實(shí)求二次函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的范圍當(dāng)t2o,f（x）之3-可編輯修改-一3所以f(x)[-,二)4變式：求函數(shù)f(x)=x+Jx—1的值域分析：本題xw[1,"),在取值區(qū)間內(nèi)，x單調(diào)增，、僅二1單調(diào)增，兩個(gè)單調(diào)增的函數(shù)相加，所以整個(gè)函數(shù)在取值區(qū)間上單調(diào)遞增所以“乂)之”1)即可答案：f(x)[1,二)由于一般換元法相對來說比較簡單，這里就不贅述，留一道練習(xí)練
3、習(xí)：求f(x)=2x+3—X3x+1的值域類型二：三角換元記住一句話：三角換元一個(gè)大原則，三個(gè)常用公式A、一個(gè)大原則：x有界，換成sine,cos8x無界，換成tan^B、三個(gè)常用公式：①遇到x2,且前面系數(shù)為-1,常用sin2H+cos2日=11②遇到x2,且前面系數(shù)為1,常用一2-=1+tan26cosUe2tan—③巧用萬能公式：sin-=2—211tan—2,2^1-tan—cos二22[1tan-2三角換元時(shí)，尤其注意確定好日的取值范圍，下面用具體的例題跟大家說明-可編輯修改-例2:求f(x)=x+Ji—x2的值域分析：本題若使用一般換元法，則只能得到x2
4、與t2之間的關(guān)系，操作起來比較麻煩，換元法本身的目的就是要使得題目變得更為簡單便捷，所以一般換元法失靈，考慮使用三角換元，因?yàn)閤2前面的系數(shù)是-1,所以使用公式①換元解：令x=sinH,丁1—x2之0,，xw[—1,1],asine€[_i,i]另日w[—萬，萬](原因：方便后面化出來的cose,不用討論正負(fù)性了)代入f(x),得f(x)=sin8+Ji—sin2日=sin日+
5、cos日
6、,Fw[-：(],二f(x)=sin0+cos6輔助角公式，合一變形得：f(x)=T2sin(8+()(8w[-[[])二二3二_日+一旬―一,一],二f(x)-[-1,V2]44
7、4變式：求f(x)=x+V2-x2的值域分析：另x=j2sin8即可答案：[-22],r.x21.，…,例3:求f(x)=的值域x-1分析：本題x2前面的系數(shù)是1,所以考慮使用公式②解：x21-0,x-1=0,.x=1jrJijiJia，z)U"-可編輯修改-f(x)=:.2.tan11tan1-112_.cosvsin[-cos]cos二TtJTJTJT:8w(-一,一)U(一,一),8-一((--,0)U(0,一)24424442f(X)1，F(xiàn)]U(…變式：求f(x)=.x2+2X+1的值域X1分析：x2+2x>0,x#-1,..,.x之0或x<-2,x+1之1
8、或x+1<-11-1<——￡1,但#0,使用三角公式x1具體過程問群主喲答案：f(x)[-、2-1]-[1,、2]例4:3x-xf(x)-2412x2x4的值域分析：本題是高次式求值域，通過常規(guī)的解法很難操作，因而我們通過轉(zhuǎn)化，進(jìn)行三角換元，再求解值域。解:f(x)=x(x2-1)(x21)2xx2-1x21x21到這一步以后，自然而然想到我們的第三個(gè)三角公式一萬能公式e2tan-sin)*1tan—2,211-tan一八9cos1=2211tan—2-可編輯修改--可編輯修改-_12xx2-1f(x)=二.2上/；22x11-x-可編輯修改-對f(x)再進(jìn)行轉(zhuǎn)化☆
9、x=tan?,xR,二(--,-)22f(x)=1?1.=—sii2日(一co23)=——sin4624.1141(22)f(x)[77]類型三：三角換常值換元法本類型主要是三角函數(shù)求值域下的一類，由于涉及換元，所以在本專題下講解，此類題目主要是針對分式形式的三角函數(shù)，用到的換元方法是萬能公式的逆向應(yīng)用。2_-由于——三一^=sinH,翌~-=cos9,可令t=tan2H,則sh日,cosB就轉(zhuǎn)化成1tan22^1tan22^了關(guān)于t的函數(shù)，再根據(jù)一般函數(shù)求解值域的辦法求解(在另外專題中講解)sinx例5:求f(x)=的值域2—cosx分析：本題解法頗多，這里主
