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《高考數(shù)學(xué)試題(理科)(全國(guó)卷)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、空間向量法解決立體幾何問(wèn)題數(shù)學(xué)專題二專題提綱二、立體幾何問(wèn)題的類型及解法1、判斷直線、平面間的位置關(guān)系；(1)直線與直線的位置關(guān)系;(2)直線與平面的位置關(guān)系;(3)平面與平面的位置關(guān)系;2、求解空間中的角度；3、求解空間中的距離。1、直線的方向向量；2、平面的法向量。一、引入兩個(gè)重要空間向量一.引入兩個(gè)重要的空間向量1.直線的方向向量把直線上任意兩點(diǎn)的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向量.如圖1,在空間直角坐標(biāo)系中,由A(x1,y1,z1)與B(x2,y2,z2)確定的直線AB的方向向量是zxyAB2.平面的法向量如果表示向量n的有向線段所在的直線垂直于平面α,稱
2、這個(gè)向量垂直于平面α,記作n⊥α,這時(shí)向量n叫做平面α的法向量.αn在空間直角坐標(biāo)系中,如何求平面法向量的坐標(biāo)呢?如圖2,設(shè)a=(x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α內(nèi)的兩個(gè)不共線的非零向量,由直線與平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,則n⊥α.換句話說(shuō),若n·a=0且n·b=0,則n⊥α.abnα求平面的法向量的坐標(biāo)的步驟第一步(設(shè)):設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)為n=(x,y,z).第二步(列):根據(jù)n·a=0且n·b=0可列出方程組第三步(解):把z看作常數(shù),用z表示x、y.第四步(取):取z為任意一個(gè)正數(shù)(當(dāng)然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐
3、標(biāo).例1在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.AABCDOA1B1C1D1解：以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz（如圖）,設(shè)平面OA1D1的法向量的法向量為n=(x,y,z),則O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2）由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）得，解得取z=1得平面OA1D1的法向量的坐標(biāo)n=(2,0,1).AAABCDOA1B1C1D1xy二.立體幾何問(wèn)題的類型及解法1.判定直線、平面間的位置關(guān)系(1)直線與直線的位置關(guān)系不重合的兩條直線a,b的方向向量分別為a,b.①若a∥b,即
4、a=λb,則a∥b.②若a⊥b,即a·b=0,則a⊥babab例2已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,求證:CC1⊥BDA1B1C1D1CBAD證明：設(shè)a,b,c,依題意有
5、a
6、=
7、b
8、，于是a–b∵=c(a–b)=c·a–c·b=
9、c
10、·
11、a
12、cosθ–
13、c
14、·
15、b
16、cosθ=0∴CC1⊥BD(2)直線與平面的位置關(guān)系直線L的方向向量為a,平面α的法向量為n,且Lα.①若a∥n,即a=λn,則L⊥α②若a⊥n,即a·n=0,則a∥α.naααnaLL例3棱長(zhǎng)都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分
17、別是AC,CC1的中點(diǎn),求證:(I)A1E⊥平面DBC1;(II)AB1∥平面DBC1A1C1B1ACBEDzxy解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DB為y軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.則A(-1,0,0),B(0,,0),E(1,0,1),A1(-1,0,2),B1(0,,2),C1(1,0,2).設(shè)平面DBC1的法向量為n=(x,y,z),則解之得，取z=1得n=(-2,0,1)(I)=-n,從而A1E⊥平面DBC1(II),而n=-2+0+2=0AB1∥平面DBC1(3)平面與平面的位置關(guān)系平面α的法向量為n1,平面β的法向量為n2n1n1n2n2①若n1∥n2,即n
18、1=λn2,則α∥β②若n1⊥n2,即n1·n2=0,則α⊥ββαβα例4正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn),求證:面AED⊥面A1FDzxyABCDFEA1B1C1D1證明:以A為原點(diǎn)建立如圖所示的的直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則E(2,0,1),A1(0,0,2),F(1,2,0),D(0,2,0),于是設(shè)平面AED的法向量為n1=(x,y,z)得解之得取z=2得n1=(-1,0,2)同理可得平面A1FD的法向量為n2=(2,0,1)∵n1·n2=-2+0+2=0∴面AED⊥面A1FD2.求空間中的角(1)兩異面直線的夾
19、角利用向量法求兩異面直線所成的夾角,不用再把這兩條異面直線平移,求出兩條異面直線的方向向量,則兩方向向量的夾角與兩直線的夾角相等或互補(bǔ),我們僅取銳角或直角就行了.例5如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中點(diǎn),則對(duì)角線DB1與CM所成角的余弦值為_____.BCAMxzyB1C1D1A1CD解:以A為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則M(1,0,0),C(2,2,0),B1(2,0,2),D(0,2,0),于是,∴cos<，>=.(2)直線與與平面所成的角若n是平面α的法向量,a是直線L的方向向量
