第五節(jié)　橢　圓

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1、第五節(jié)　橢　圓1．橢圓的定義平面內(nèi)到兩定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于

2、F1F2

3、)的點的軌跡叫橢圓．兩定點F1，F(xiàn)2叫橢圓的焦點．集合P＝{M

4、

5、MF1

6、＋

7、MF2

8、＝2a}，

9、F1F2

10、＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)．(1)當(dāng)2a>

11、F1F2

12、時，P點的軌跡是橢圓；(2)當(dāng)2a＝

13、F1F2

14、時，P點的軌跡是線段；(3)當(dāng)2a<

15、F1F2

16、時，P點不存在．2．橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)15/151．(質(zhì)疑夯基)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓．(　　)

17、(2)橢圓上一點P與兩焦點F1，F(xiàn)2構(gòu)成△PF1F2的周長為2a＋2c(其中a為橢圓的長半軸長，c為橢圓的半焦距)．(　　)(3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓．(　　)(4)橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√2．(2015·廣東卷)已知橢圓＋＝1(m>0)的左焦點為F1(－4，0)，則m＝(　　)A．2B．3C．4D．9解析：由左焦點為F1(－4，0)知c＝4.又a＝5，∴25－m2＝16，15/15解得m＝3或－3.又m>0，故m＝3.答案：B3．已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1，0)，離心

18、率等于，則C的方程是(　　)A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：橢圓的焦點在x軸上；c＝1.又離心率為＝，故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，故橢圓的方程為＋＝1.答案：D4．(2014·大綱全國卷)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點為F1、F2，離心率為，過F2的直線l交C于A、B兩點．若△AF1B的周長為4，則C的方程為(　　)A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：∵＋＝1(a>b>0)的離心率為，∴＝.15/15又∵過F2的直線l交橢圓于A，B兩點，△AF1B的周長為4，∴4a＝4，∴a＝.∴b＝，∴橢圓方程為＋＝

19、1.答案：A5．(2016·課標全國Ⅰ卷)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為(　　)A.B.C.D.【解析】利用橢圓的幾何性質(zhì)列方程求離心率．不妨設(shè)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點B(0，b)和一個焦點F(c，0)，則直線l的方程為＋＝1，即bx＋cy－bc＝0.由題意知＝×2b，解得＝，即e＝.故選B.【答案】B一條規(guī)律橢圓焦點位置與x2，y2系數(shù)之間的關(guān)系:15/15給出橢圓方程＋＝1時，橢圓的焦點在x軸上?m>n>0；橢圓的焦點在y軸上?0

20、，確定a2，b2的值，再結(jié)合焦點位置，直接寫出橢圓方程．2．待定系數(shù)法：設(shè)出橢圓的標準方程，運用方程思想求出a2，b2.三種技巧與橢圓性質(zhì)、方程相關(guān)的三種技巧:1．求橢圓離心率e時，只要求出a，b，c的一個齊次方程，再結(jié)合b2＝a2－c2就可求得e(0

21、＝1的左、右焦點，P為橢圓上一點，M是F1P的中點，

22、OM

23、＝3，則P點到橢圓左焦點的距離為(　　)A．4B．3C．2D．515/15解析：由題意知，在△PF1F2中，

24、OM

25、＝

26、PF2

27、＝3，∴

28、PF2

29、＝6，∴

30、PF1

31、＝2a－

32、PF2

33、＝10－6＝4.答案：A2．已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1，0)，離心率等于，則C的方程是(　　)A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋y2＝1解析：依題意，所求橢圓的焦點位于x軸上，且c＝1，e＝＝?a＝2，b2＝a2－c2＝3，因此其方程是＋＝1.答案：C3．已知橢圓的方程為2x2＋3y2＝m(m>0)，則此

34、橢圓的離心率為(　　)A.B.C.D.解析：由＋＝1??c2＝a2－b2＝.∴e2＝，e＝.答案：B4．已知圓M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m<0)的半徑為2，橢圓C：＋15/15＝1的左焦點為F(－c，0)，若垂直于x軸且經(jīng)過F點的直線l與圓M相切，則a的值為(　　)A.B．1C．2D．4解析：圓M的方程可化為(x＋m)2＋y2＝3＋m2，則由題意得m2＋3＝4，即m2＝1(m<0)，∴m＝－1，則圓心M的坐標為(1，0)．由題意知直線l的方程為x＝－c，又∵直線l與圓M相切，∴c＝1，∴a2－3＝1，∴a＝2.答案：C5．若點O和點F分別為橢圓＋＝1

35、的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則·的最大值為(　　)A．