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《復(fù)旦修訂版劉金旺3向量組與向量空間.ppt》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫。
1、第三章向量與向量空間第一節(jié)n維向量第二節(jié) 線性相關(guān)與線性無關(guān)第三節(jié) 線性相關(guān)性的判別定理第四節(jié) 向量組的秩第五節(jié) 向量空間§1n維向量定義1n個數(shù)組成的有序數(shù)組（a1,a2,…,an）稱為一個n維向量，簡稱向量。用小寫的粗黑體字母來表示向量。行向量列向量返回上一頁下一頁數(shù)a1,a2,…,an稱為這個向量的分量。ai稱為這個向量的第i個分量或坐標(biāo)。分量都是實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量；分量是復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量。n維行向量可以看成1×n矩陣，n維列向量也常看成n×1矩陣。設(shè)k和l為兩個任意的常數(shù)，為任意的n維向量，其中返回上一頁下一頁定義2如果
2、和對應(yīng)的分量都相等，即ai=bi，i=1,2,…,n就稱這兩個向量相等，記為。定義3向量（a1+b1,a2+b2,…,an+bn）稱為與的和，記為。稱向量（ka1,ka2,…,kan）為與k的數(shù)量乘積，簡稱數(shù)乘，記為。返回上一頁下一頁定義4分量全為零的向量（0，0，…，0）稱為零向量，記為0。與-1的數(shù)乘（-1）=（-a1,-a2,…,-an）稱為的負(fù)向量，記為。向量的減法定義為向量的加法與數(shù)乘具有下列性質(zhì)：返回上一頁下一頁滿足（1）—（8）的運(yùn)算稱為線性運(yùn)算。返回上一頁下一頁§2線性相關(guān)與線性無關(guān)矩陣與向量的關(guān)系：通常把維數(shù)相同的一
3、組向量簡稱為一個向量組，n維行向量組可以排列成一個s×n分塊矩陣其中為由A的第i行形成的子塊，稱為A的行向量組。n維列向量組可以排成一個n×s矩陣其中為由B的第j列形成的子塊，稱為B的列向量組。返回上一頁下一頁定義5向量組稱為線性相關(guān)的，如果有不全為零的數(shù)k1,k2,…,ks，使反之，如果只有在k1=k2=…=ks=0時上式才成立，就稱線性無關(guān)。當(dāng)是行向量組時，它們線性相關(guān)就是指有非零的1×s矩陣（k1,k2,…,ks）使返回上一頁下一頁當(dāng)為列向量時，它們線性相關(guān)就是指有非零的s×1矩陣，使也可用矩陣形式表示：返回上一頁下一頁若所給向
4、量均為行向量，則有若所給向量均為列向量，則有返回上一頁下一頁例判斷向量組的線性相關(guān)性。解假設(shè)存在一組常數(shù)k1,k2,…,kn使得所以即k1=k2=…=kn=0因此線性關(guān)。返回上一頁下一頁例設(shè)向量組線性無關(guān)，，，，試證向量組也線性無關(guān)。證假設(shè)存在一組常數(shù)k1,k2,k3使得由線性無關(guān)，故有由于滿足k1,k2,k3的取值只有k1=k2=k3=0所以線性無關(guān)。返回上一頁下一頁定理1向量組（s≥2）線性相關(guān)的充要條件是其中至少有一個向量能由其他向量線性表出。證充分性：設(shè)中有一個向量能由其他向量線性表出，不妨設(shè)所以線性相關(guān)。必要性：如果線性相關(guān)
5、，就有不全為零的數(shù)k1,k2,…,ks，使設(shè)k1≠0,那么即能由線性表出。返回上一頁下一頁例如，向量組是線性相關(guān)的，因為對于只有兩個向量a，b的向量組，由定理可得，a，b線性相關(guān)的充分必要條件是a，b的對應(yīng)分量成比例。返回上一頁下一頁定理2設(shè)向量組線性無關(guān)，而向量組線性相關(guān)，則能由向量組線性表出，且表示式是唯一的。證由于線性相關(guān)，就有不全為零的數(shù)k1,k2,…,kt,k，使即可由線性表出。由線性無關(guān)有k≠0。（否則， 線性相關(guān)）返回上一頁下一頁設(shè)為任意兩個表達(dá)式。且線性無關(guān)得到l1=h1,l2=h2,…，lt=ht因此表示式是唯
6、一的。返回上一頁下一頁定義7如果向量組中每個向量都可以由線性表出，就稱向量組可由線性表出，如果兩個向量組互相可以線性表出，就稱它們等價。每一個向量組都可以經(jīng)它自身線性表出。同時，如果向量組可以經(jīng)向量組線性表出，向量組可以經(jīng)向量組線性表出，那么向量組可以經(jīng)向量組線性表出。返回上一頁下一頁向量組中每一個向量都可以經(jīng)向量組線性表出。因而，向量組可以經(jīng)向量組線性表出。如果有返回上一頁下一頁向量組的等價具有下述性質(zhì)：(1)反身性：向量組與它自己等價；(2)對稱性:如果向量組與等價，那么也與等價。(3)傳遞性:如果向量組與等價，而向量組又與等價,
7、那么向量組與等價返回上一頁下一頁§3線性相關(guān)性的判別定理定理3有一個部分組線性相關(guān)的向量組線性相關(guān)。設(shè)這個部分組為。則有不全為零的數(shù)k1,k2,…,kr，使證設(shè)向量組有一個部分組線性相關(guān)。因此也線性相關(guān)。推論含有零向量的向量組必線性相關(guān)。返回上一頁下一頁定理4設(shè)p1,p2,…,pn為1，2，…，n的一個排列，和為兩向量組，其中即是對各分量的順序進(jìn)行重排后得到的向量組，則這兩個向量組有相同的線性相關(guān)性。證對任意的常數(shù)k1,k2,…,ks，返回上一頁下一頁上兩式只是各分量的排列順序不同，因此當(dāng)且僅當(dāng)所以和有相同的線性相關(guān)性。返回上一頁下一
8、頁(2)如果線性無關(guān)，那么也線性無關(guān)。定理5在r維向量組的各向量添上n-r個分量變成n維向量組。(1)如果線性相關(guān)，那么也線性相關(guān)。證對列向量來證明定理。返回上一頁下一頁利用(1)式,用反證法容易證明(2)式也成立。因此
