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1、概率與數(shù)理統(tǒng)計課件天津科技大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系第十二單元隨機(jī)變量的數(shù)字特征第十二單元隨機(jī)變量的數(shù)字特征總結(jié)教學(xué)目的:掌握隨機(jī)變量的數(shù)字特征,了解切比雪夫不等式和大數(shù)定律.教學(xué)重點:理解數(shù)學(xué)期望和訪查的概念,掌握它們的性質(zhì)與計算,記住常用分布的數(shù)學(xué)期望和方差.教學(xué)難點:隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.知識要點回顧:隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望(離散型,連續(xù)型).隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.二維隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì).隨機(jī)變量的方差(離散型,連續(xù)型).方差的性質(zhì).隨機(jī)變量的階原點矩.隨機(jī)變量的階中心矩.隨機(jī)變量與的協(xié)方差及其性質(zhì)
2、隨機(jī)變量與的相關(guān)系數(shù)及其性質(zhì)切比雪夫不等式,切比雪夫定理,伯努利定理.隨機(jī)變量的數(shù)字特征典型例題1.已知隨機(jī)變量的概率分布為求.解答0.30.40.310-22.設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度求.解答3.填空(1)已知,則.(2)隨機(jī)變量相互獨立,又,則.(3)設(shè)獨立且同分布,則.(4)隨機(jī)變量的方差為2,則根據(jù)切比雪夫不等式,估計解答4.一臺設(shè)備有三大部件構(gòu)成,在設(shè)備運轉(zhuǎn)中各部件需要調(diào)整的概率相應(yīng)為0.1,0.2,0.3,假設(shè)各部件相互獨立,以表示同時需要調(diào)整的部件數(shù),求數(shù)學(xué)期望和方差.解答下一頁甲乙兩隊比賽,若有一隊先勝
3、四場,則比賽結(jié)束。假定甲隊在每場比賽中獲勝的概率為0.6,乙隊為0.4,求比賽場數(shù)的數(shù)學(xué)期望。解答6.設(shè)隨機(jī)變量服從分布,其概率密度,其中是常數(shù),求.解答7.設(shè)在區(qū)域上服從均勻分布,求解答8.計算下列各題(1)設(shè)與相互獨立,,求(2)設(shè)與相互獨立,其數(shù)學(xué)期望與方差均為已知值,求解答9.設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度,試問:(1)與是否相互獨立?(2)是否相關(guān)?解答總結(jié)上一頁隨機(jī)變量的數(shù)字特征典型例題解答返回1.已知隨機(jī)變量的概率分布為求.0.30.40.310-2解:注:計算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望原則上有兩種方法:一種是先求
4、出隨機(jī)變量的概率分布或概率密度,再按數(shù)學(xué)期望的定義計算;一種是直接帶入要點2種所列的公式。通常用后一種方法較簡便。2.設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度求.隨機(jī)變量的數(shù)字特征典型例題解答下一頁解:所以按對稱性,有注:二維隨機(jī)變量的許多計算都可歸結(jié)為計算二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,所以要點3所列公式應(yīng)會靈活應(yīng)用。返回返回隨機(jī)變量的數(shù)字特征典型例題解答3.填空(1)已知,則.(2)隨機(jī)變量相互獨立,又,則.(3)設(shè)獨立且同分布,則.(4)隨機(jī)變量的方差為2,則根據(jù)切比雪夫不等式,估計解:(1)(2)(3)或(4)隨機(jī)變量的數(shù)字特征典
5、型例題解答返回4.一臺設(shè)備有三大部件構(gòu)成,在設(shè)備運轉(zhuǎn)中各部件需要調(diào)整的概率相應(yīng)為0.1,0.2,0.3,假設(shè)各部件相互獨立,以表示同時需要調(diào)整的部件數(shù),求數(shù)學(xué)期望和方差.解:由服從“0-1”分布,得則注:利用性質(zhì)來計算數(shù)學(xué)期望和方差往往較有效,應(yīng)該學(xué)會這種方法。另外,應(yīng)記住常用分布相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望和方差。分析:先引入新隨機(jī)變量,則相互獨立,再利用.隨機(jī)變量的數(shù)字特征典型例題解答返回5.甲乙兩隊比賽,若有一隊先勝四場,則比賽結(jié)束。假定甲隊在每場比賽中獲勝的概率為0.6,乙隊為0.4,求比賽場數(shù)的數(shù)學(xué)期望。解:(場)注:對應(yīng)
6、用題而言,大量計算是計算概率,這就要求掌握好以前所學(xué)過的各種計算概率的方法。隨機(jī)變量的數(shù)字特征典型例題解答返回6.設(shè)隨機(jī)變量服從分布,其概率密度,其中是常數(shù),求.解:又故隨機(jī)變量的數(shù)字特征典型例題解答返回7.設(shè)在區(qū)域上服從均勻分布,求解:注:二維隨機(jī)變量服從均勻分布也是常見的情形。可以自然的推廣到n維隨機(jī)變量服從均勻分布,其聯(lián)合概率密度寫法是類似的。隨機(jī)變量的數(shù)字特征典型例題解答返回8.計算下列各題(1)設(shè)與相互獨立,,求(2)設(shè)與相互獨立,其數(shù)學(xué)期望與方差均為已知值,求解:(1)(2)隨機(jī)變量的數(shù)字特征典型例題解答下
7、一頁9.設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度,試問:(1)與是否相互獨立?(2)是否相關(guān)?解:(1)的邊際概率密度分別為由于,所以與不相互獨立。(2)(利用奇函數(shù)性質(zhì))所以,與不相關(guān)。返回總結(jié)隨機(jī)變量的分布函數(shù)完整的描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計特征,但在實際中要找出隨機(jī)變量的分布函數(shù),或概率分布、概率密度,有時是十分困難的。而許多實際問題只需要知道隨機(jī)變量的某些特征數(shù)字就可以了。這說明掌握特征數(shù)字、即數(shù)學(xué)期望、方差等等的概念、計算及相關(guān)計算是十分重要的。學(xué)習(xí)隨機(jī)變量的數(shù)字特征,要求理解數(shù)學(xué)期望與方差的定義,掌握它們的性質(zhì)與計算;理解獨立于相
8、關(guān)的概念;會求協(xié)方差與相關(guān)系數(shù);了解高階矩的概念;了解切比雪夫不等式與大數(shù)定律。