一階導數(shù)形式不變性

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1、VoI_l3，NO．5高等數(shù)學研究Sept．，2010STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICS39一階導數(shù)形式不變性高明海(濱州醫(yī)學院衛(wèi)生管理學院。山東煙臺，264003)摘要針對數(shù)學教材中由導數(shù)基本公式到復合函數(shù)求導法則過渡形式不一致現(xiàn)象，提出一階導數(shù)的一致形式、修訂復合函數(shù)求導法則、給出導數(shù)基本公式的一般形式．關鍵詞導數(shù)的一致形式；基本公式；復合函數(shù)求導法則中圖分類號O172．1；O13；G642l問題提出解對方程兩邊同時求關于z導數(shù)，導數(shù)基本公式是微積分學中重要基礎部分，科學(zY一e+e)一l，理解基本公式形式及其與復合函數(shù)求導法則的邏輯(z。)vs+z。(Y。)一(

2、e)-I-(e)一1，(3)關系對后繼內容學習具有舉足輕重的作用，尤其對于2。+3x。y2．～e+ey．一0，(4)隱函數(shù)．在目前所使用教材中，由導數(shù)基本公式到復2xy—ez+(2xzvz+e)yl一0，合函數(shù)求導法則過渡形式存在不一致現(xiàn)象，即導數(shù)基解得本公式形式與復合函數(shù)求導法則的表現(xiàn)形式區(qū)別大，e一2zs或缺乏連接形式，這種現(xiàn)象在一定程度上導致學生理。3x‘+e解公式法則困難、邏輯思維不嚴謹．有鑒于此，筆者提在解題過程中經常存在丟掉的現(xiàn)象，如常錯出一階導數(shù)形式不變性概念、修訂復合函數(shù)求導法誤地把(4)寫成則、給出導數(shù)基本公式的一般形式．2xy+3xY3，一e+e0．在“數(shù)學分析”、“高

3、等數(shù)學’’相關教材[1—7]的編此現(xiàn)象對于學習“高等數(shù)學”或“醫(yī)用高等數(shù)學”寫或修訂過程中，導數(shù)基本公式形式一直沒有變化或公共課的學生來說更是普遍．從(3)到(4)學生不知補充說明．如導數(shù)基本公式所以然，其主觀原因在于學生不能把導數(shù)基本公式與(z)一pxz-1，(ez)：ez．(1)復合函數(shù)求導法則聯(lián)系起來使用，客觀原因主要是教復合函數(shù)求導法則的形式一般可總結為：材中缺乏基本公式(1)與復合函數(shù)求導法則(2)的連定理1如果函數(shù)Y：廠()在U點可導，而函數(shù)接形式，如基本公式(1)中沒有出現(xiàn)z，以至于部分“一(z)在z點可導，那么復合函數(shù)Y一廠((z))在學生不能綜合使用基本公式與復合求導法則

4、，從而出z點可導，且有關系式現(xiàn)如上錯誤．從學習角度講，這種現(xiàn)象會強化數(shù)學內v一v：，容的抽象性，影響或降低學生學習數(shù)學的積極性和興=()．(z)，，趣；從能力培養(yǎng)角度看，過渡形式不一致現(xiàn)象使學生d、，dd思維邏輯思維能力培養(yǎng)速度得不到有效提高．教材作dzd“‘為重要學習材料，對學生學習影響力不可忽視．因此，教材中對基本公式和法則有詳略得當?shù)莫毩⒚栊抻喕蜓a充說明導數(shù)基本公式形式具有重要意義．述，但公式與法則之間缺乏形式上的聯(lián)系，這種缺乏2一階導數(shù)形式不變性導致學生解題格式錯誤或步驟不完整、相鄰兩步因果以下的定理1是定理1的修訂，推論1可以強化關系不明確等現(xiàn)象．導數(shù)基本公式與復合函數(shù)求導法則之

5、間的形式聯(lián)系．例1求由方程定理1若函數(shù)Y：-廠()在“點可導，則有z。Y一e+e=1Y一_廠(“)·．(5)確定的函數(shù)的導數(shù)．其中若不是自變量，可設中間變量一(-z)且函數(shù)U一(z)在點可導，則復合函數(shù)Y==：廠((z))在收稿日期；2009—12一O7；修改日期：2010—07—20．點可導，且關系式為基金項目；濱州醫(yī)學院教學改革項目基金(BYJYB200616)．v一f(“)．(z)·z．作者簡介：高明海(1964年一)，男，山東惠民人，碩士，副教授，主要從事多元統(tǒng)計研究，Email：mh—gao@yahoo．com．cn．若是自變量，則“一1．且關系式(5)變?yōu)?0高等數(shù)學研究2Ol

6、O年9月Y一廠(“)．在解題書寫格式中，步驟(6)可以不寫出來，但證明(略)．在學生的解題思維過程中卻不能缺少．步驟(6)對步定理l說明，無論“是自變量還是中問變量，(5)驟(3)和(4)而言尤為重要，是否有步驟(6)體現(xiàn)了式保持形式不變．這一性質稱為一階導數(shù)形式不變性．學生邏輯思維是否嚴謹以及學生對基本公式和復合推論1復合函數(shù)求導法則(定理1)具體形式函數(shù)求導法則的綜合理解程度．(下面公式中“為變量，其它量為常量)：復合函數(shù)求導法則具體形式(推論1)是現(xiàn)有教()一U"-·“，材中導數(shù)基本公式的更一般形式．若把現(xiàn)用教材中的(n“)一““·In“．“，定理l改寫為定理1形式，或在復合函數(shù)求導

7、部分以(e“)一e“·“，推論形式給出定理l，并給出復合函數(shù)求導法則的，，、，l，具體形式(推論1)，就可以在一定程度上增強由導數(shù)M基本公式到復合函數(shù)求導法則過渡形式上的一致性，(1n)一．，，即推論1就是連接導數(shù)基本公式和復合函數(shù)求導法“，．則的橋梁．／．、，，?！?m馴一o“?！啊?一階導數(shù)形式不變性的優(yōu)點．．Os馴一一n。’不同于微分，現(xiàn)有教材中導數(shù)運算并不是“平等’，．(tanu)一se“。“’地對待因變量和自變