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《數(shù)列通項(xiàng)公式的求法專題.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在PPT專區(qū)-天天文庫(kù)。
1、數(shù)列通項(xiàng)公式的求法觀察各項(xiàng)的特點(diǎn)，關(guān)鍵是找出各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系例1：根據(jù)數(shù)列的前4項(xiàng)，寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式：9，99，999，9999，…解：（1）變形為：101－1，102―1，103―1，104―1，…∴通項(xiàng)公式為：1.觀察法當(dāng)已知數(shù)列為等差或等比數(shù)列時(shí)，可直接利用等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，只需求得首項(xiàng)及公差公比。2.公式法典例講解2：例2：已知數(shù)列{}是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{}是公比為q的(q∈R且q≠1)的等比數(shù)列，若函數(shù)f(x)=(x－1)2，且=f(d－1)，=f(d+1)，=f(q+1)，=f(q－1)，求
2、數(shù)列{}和{}的通項(xiàng)公式；例2解答：解：∵a1=f(d－1)=(d－2)2，a3=f(d+1)=d2，∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d，∴d=2，∴an=a1+(n－1)d=2(n－1)；又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q－1)=(q－2)2=q4，由q∈R，且q≠1，得q=－2，∴bn=b1·qn－1=4·(－2)n－13.Sn法（1）若f(n)為常數(shù),即：an+1-an=d,此時(shí)數(shù)列為等差數(shù)列，則an=a1+(n-1)d一般地，對(duì)于型如an+1=an+f(n)的通項(xiàng)公式，只要f(n)能進(jìn)行求和，則宜采用此方法
3、求解。4.疊加法(也稱累加法）也可用橫式來(lái)寫:累加法（2）若f(n)為n的函數(shù)時(shí)，用累加法.方法如下：由an+1=an+f(n)得：當(dāng)n>1時(shí)，有an=an-1+f(n-1)an-1=an-2+f(n-2)…………………a3=a2+f(2)a2=a1+f(1)所以各式相加得an-a1=f(n-1)+f(n-2)+…+f(2)+f(1).例5已知數(shù)列{an}中,a1=1,an=an-1+n,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。解：an=an-1+nan-1=an-2+（n-1）…………a3=a2+3a2=a1+2各式相加得，an=a1+
4、n+(n-1)+…+3+2=1+n+(n-1)+…+3+2=n(n+1)/2當(dāng)n=1時(shí)，a1=(1×2)/2=1,故，an=n(n+1)/2例6已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1-an=2n-n,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。解：an-an-1=2n-1-(n-1)an-1-an-2=2n-2-(n-2)…………a3-a2=22-2a2-a1=21-1各式相加得，an=a1+(2n-1+2n-2+…+22+21)-[(n-1)+(n-2)+…+2+1]=1+(2n-2)+n(n-1)/2=2n+n(n-1)/2–1當(dāng)n=1時(shí)
5、，a1=2+0-1=1,故，an=2n+n(n-1)/2-1已知,a1=a，an+1=an+f(n),其中f(n)可以是關(guān)于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通項(xiàng).①若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和;②若f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和;③若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;④若f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和。備注：（1）當(dāng)f(n)為常數(shù),即：（其中q是不為0的數(shù)）,此時(shí),數(shù)列為等比數(shù)列，an=a1·qn-1.5.疊乘法對(duì)于型如：an+1=f
6、(n)·an類的通項(xiàng)公式，當(dāng)f(1)·f(2)·…·f(n)的值可以求得時(shí)，宜采用此方法。(也稱累乘法、累積法）（2）當(dāng)f(n)為n的函數(shù)時(shí),用累乘法.典例分析：說(shuō)明：本題是關(guān)于an和an+1的二次齊次式，可以通過(guò)因式分解（一般情況時(shí)用求根公式）得到an與an+1的更為明顯的關(guān)系式,從而求出.（1）若c=1時(shí)，數(shù)列{an}為等差數(shù)列;（2）若d=0時(shí)，數(shù)列{an}為等比數(shù)列;（3）若c≠1且d≠0時(shí)，數(shù)列{an}為線性遞推數(shù)列，6.輔助數(shù)列法這種方法類似于換元法,主要用于形如an+1=can+d(c≠0,a1=a)的已知遞推
7、關(guān)系式求通項(xiàng)公式。（構(gòu)造法或待定系數(shù)法）說(shuō)明其通項(xiàng)可通過(guò)構(gòu)造輔助數(shù)列來(lái)求.——待定系數(shù)法設(shè)an+1+m=c(an+m),得an+1=can+(c-1)m,與題設(shè)an+1=can+d,比較系數(shù)得:(c-1)m=d,所以有：m=d/(c-1)因此數(shù)列構(gòu)成以為首項(xiàng)，以c為公比的等比數(shù)列，例8：已知數(shù)列{an}中，a1=3,an+1=2an+3,求數(shù)列的通項(xiàng)公式解：由an+1=2an+3得an+1+3=2（an+3）所以{an+3}是以a1+3為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，所以:an+3=（a1+3）×2n-1故an=6×2n-1-
8、3例.10已知數(shù)列{an}中，a1=1,an+1+3an+1an-an=0,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.再見(jiàn)
