偏導數(shù)與高階偏導數(shù)詳細解法.docx

《偏導數(shù)與高階偏導數(shù)詳細解法.docx》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。

1、第二節(jié)偏導數(shù)教學目的：使學生了解偏導數(shù)的概念；熟練掌握一階及二階偏導數(shù)的計算方法；了解偏導數(shù)存在與函數(shù)連續(xù)的關(guān)系。教學重點：一階及二階偏導數(shù)的計算教學過程：一、偏導數(shù)的定義及其計算法對于二元函數(shù)z=f(x,y),如果只有自變量x變化,而自變量y固定,這時它就是x的一元函數(shù),這函數(shù)對x的導數(shù),就稱為二元函數(shù)z=f(x,y)對于x的偏導數(shù).　　定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義,當y固定在y0而x在x0處有增量Dx時,相應(yīng)地函數(shù)有增量f(x0+Dx,y0)-f(x0,y0).如果極

2、限存在,則稱此極限為函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處對x的偏導數(shù),記作,,,或.　　例如.類似地,函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處對y的偏導數(shù)定義為,記作,,,或fy(x0,y0).偏導函數(shù):如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(x,y)處對x的偏導數(shù)都存在,那么這個偏導數(shù)就是x、y的函數(shù),它就稱為函數(shù)z=f(x,y)對自變量的偏導函數(shù),記作,,,或.偏導函數(shù)的定義式:.類似地,可定義函數(shù)z=f(x,y)對y的偏導函數(shù),記為,,zy,或.偏導函數(shù)的定義式:.求時,只要把y暫時看作常量而

3、對x求導數(shù);求時,只要把x暫時看作常量而對y求導數(shù).討論:下列求偏導數(shù)的方法是否正確？,.,.偏導數(shù)的概念還可推廣到二元以上的函數(shù).例如三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(x,y,z)處對x的偏導數(shù)定義為,其中(x,y,z)是函數(shù)u=f(x,y,z)的定義域的內(nèi)點.它們的求法也仍舊是一元函數(shù)的微分法問題.例1求z=x2+3xy+y2在點(1,2)處的偏導數(shù).　　解,.　,.　　例2求z=x2sin2y的偏導數(shù).　　解,.　　例3設(shè),求證:.　　證,..　　例4求的偏導數(shù).　　解;.　　例5已知理想氣體的狀態(tài)

4、方程為pV=RT(R為常數(shù)),求證:.證因為,;,;,;　所以.　　例5說明的問題:偏導數(shù)的記號是一個整體記號,不能看作分子分母之商.　　二元函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)的偏導數(shù)的幾何意義:fx(x0,y0)=[f(x,y0)]x￠是截線z=f(x,y0)在點M0處切線Tx對x軸的斜率.fy(x0,y0)=[f(x0,y)]y￠是截線z=f(x0,y)在點M0處切線Ty對y軸的斜率.偏導數(shù)與連續(xù)性:對于多元函數(shù)來說,即使各偏導數(shù)在某點都存在,也不能保證函數(shù)在該點連續(xù).例如在點(0,0)有,f

5、x(0,0)=0,fy(0,0)=0,但函數(shù)在點(0,0)并不連續(xù).　　提示:,;,.當點P(x,y)沿x軸趨于點(0,0)時,有;當點P(x,y)沿直線y=kx趨于點(0,0)時,有.因此,不存在,故函數(shù)f(x,y)在(0,0)處不連續(xù).類似地,可定義函數(shù)z=f(x,y)對y的偏導函數(shù),記為,,zy,或.偏導函數(shù)的定義式:.二.高階偏導數(shù)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導數(shù),,那么在D內(nèi)fx(x,y)、fy(x,y)都是x,y的函數(shù).如果這兩個函數(shù)的偏導數(shù)也存在,則稱它們是函數(shù)z=f(x,y)的二

6、偏導數(shù).按照對變量求導次序的為同有下列四個二階偏導數(shù)如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)的偏導數(shù)fx(x,y)、fy(x,y)也具有偏導數(shù),則它們的偏導數(shù)稱為函數(shù)z=f(x,y)的二階偏導數(shù).按照對變量求導次序的不同有下列四個二階偏導數(shù),,,.　　其中,稱為混合偏導數(shù).　,,,.　　　同樣可得三階、四階、以及n階偏導數(shù).　　二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù).　　例6設(shè)z=x3y2-3xy3-xy+1,求、、和.　解,;,;,.由例6觀察到的問題:定理如果函數(shù)z=f(x,y)的兩個二階混合偏導數(shù)及在區(qū)域

7、D內(nèi)連續(xù),那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個二階混合偏導數(shù)必相等.類似地可定義二元以上函數(shù)的高階偏導數(shù).　　例7驗證函數(shù)滿足方程.　　證因為,所以,,,.　　因此.　　例8．證明函數(shù)滿足方程,其中.　證:,.　　同理,.　　因此　　.提示:.