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1、信息學院羅捍東第二節(jié)洛必達法則當x?a()或x??時，如果函數(shù)f(x)和g(x)的極fx()限都為零或都趨于無窮大，則極限limgx()可能存在也可能不存在，通常稱這類的極限為未定0?式，簡記為或。0?tanx0lnsinax?例如：lim,()lim,()x?0x0x?0lnsinbx??00其它型的未定式還有：0?????,,1,0,?信息學院羅捍東04.2.1型未定式0定理：洛必達法則設:(1)lim()fx??lim()gx0;x??axa(2)fxgx(),()在a點的某去心鄰域內(nèi)可導,且gx
2、?()?0;fx?()(3)lim存在(或?);xa?gx?()fx()fx?()那末lim?lim.x??agx()xagx?()信息學院羅捍東證：補充定義f(a)=g(a)=0。則f(x)、g(x)在區(qū)間[a,x](或[x,a])上滿足柯西定理。fx()fx()?fa()f?()?則有??(?在x與a之間)gx()gx()?ga()g?()?fx?()f?()?當x?a時,??a,lim?A,??limA,xa?gx?()??ag?()?fx()f?()??lim?lim?A.x??agx()?ag
3、?()?信息學院羅捍東注意：1)羅必塔法則中極限A可以是無窮大。2)當x??時，羅必塔法則也成立。即fx()fx?()lim?lim.xx??gx()??gx?()信息學院羅捍東3xx??320例1:求lim32.()x?2x?x?28x?03?xx3??32?xx??32?解:lim?lim32xx??22x?x?28x?32??x?x?28x??233x?9?lim?.2x?23xx??2210信息學院羅捍東tan2x0例2:求lim.()x?0sin3x0tan2x?tan2x??解:lim?li
4、mxx??00sin3x?sin3x??2(sec2)2x?2??limx?0(cos3)3x?3信息學院羅捍東??arctanx0例3:求lim2.()0x???1x?1?arctanx?21?x2解:lim?limx???1x???1x?2x2x??lim12x???1?x信息學院羅捍東fx?()如果gx?()仍然是未定式極限，且fxgx??(),()也滿足羅必塔法則的條件，則可繼續(xù)使用羅必塔法則。即fx()fx?()f??()xlim?lim?lim?.x?agx()x?agx?()x?agx??
5、()信息學院羅捍東xx?e??e2x例4:lim0()x?0xx?sin0xx?e??e2xeexx???2解:lim?lim(0)x?0xx?sinx?01cos?x0xx?ee??lim(0)x?0sinx0xx?ee???lim2x?0cosx信息學院羅捍東xex?cos例5：求limx?0xxsinxxex?sinex?cos解：lim?limx?0xxsinx?0sinxx?cosxxex?cos11??lim??1x?0cosx??cosxxsinx110??xxex?cosex?sin正解
6、：lim?lim??x?0xxsinx?0sinxx?cosx信息學院羅捍東21xsin例6：求limxx?0sinx221111xsin2x?sin?x?cos??()2xxxx解：lim?limxx??00sinxxcos112x??sincosxx?lim不存在x?0cosx21xsinxx1正解：lim?lim?xsin???100xx??00sinxsinxx信息學院羅捍東注意：洛必達法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法結(jié)合使用（特別是利用等價無窮小量替換），效果更好。tanxx?
7、例7：求lim.2x?0xxtan利用等價tanxx??tanxx解：lim?lim無窮小量23xx??00xtanxx替換22secx?1tanx1?lim??lim22x?03xx?033x信息學院羅捍東考研題欣賞2006（四、19）試確定常數(shù)A、B、C的值使得：x23e?11?BxCx????Axox???33其中ox??是當x?0時比x高階無窮小。解:根據(jù)題設和羅必達法則，由于x2e?11?BxCx?????Ax?0?lim2分3x?0xx2e?12?BBx??CxCx???A?lim2x?03
8、x信息學院羅捍東x2e?2C??12B??B?4CxCx????limx?06xB??42CCx?10?BA???limx?06??2BC?2??10得??BC??408分121解得A?,,B?C?10分336信息學院羅捍東?4.2.2型未定式?定理：洛必達法則設:(1)lim()fx?limg()x??;x??axa(2)fx(),g()x在a點的某去心鄰域內(nèi)可導,且g()?x?0;fx?()(3)lim存在(或?);xa?g()?xfx
