矢量的外積與麥克斯韋方程組.doc

《矢量的外積與麥克斯韋方程組.doc》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

1、矢量的外積與麥克斯韋方程組??標(biāo)簽：哲學(xué)物理2013-12-2900:27星期日　　?（本文偏重理論，且需要一定的空間想象能力，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差者慎入）?如圖所示，x0、x1與xn分別是無窮維希爾伯特空間（記做H）的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基中的某三個(gè)單位基矢量，用x0、x1與xn代表H的某三個(gè)維度。將x0與x1所確定的二維空間記做X，矢量a與矢量b是平面X中的矢量。?矢量的外積也叫矢量的叉積或矢量的叉乘，a×b就是矢量a與矢量b的外積，a×b的模被定義為

2、a

3、

4、b

5、sinθ，a、b與a×b這三者之間的關(guān)系滿足右手定則。

6、?既然X是H的某兩個(gè)維度所確定的二維空間，那么X中任意兩個(gè)矢量的外積究竟還是不是矢量呢？矢量a與矢量b的外積a×b顯然并不在平面X中，而是正交于平面X的，問題是在H的背景下，a×b究竟指向哪個(gè)維度？?如果令n=2，則x0、x1與x2這三個(gè)維度可以形成一個(gè)三維歐幾里得空間，記做E2；如果令n=3，則x0、x1與x3這三個(gè)維度可以形成一個(gè)三維歐幾里得空間，記做E3；……由此得到一系列的E2，E3，……都是同一個(gè)H的不同的三維完備子空間。?單獨(dú)看E2，因?yàn)槠矫鎄肯定是E2的一個(gè)二維完備子空間，所以在E2中a×

7、b的方向確實(shí)是x2的正方向，顯然a×b是E2中的矢量。單獨(dú)看E3，因?yàn)槠矫鎄肯定是E3的一個(gè)二維完備子空間，所以在E3中a×b的方向確實(shí)是x3的正方向，顯然a×b是E3中的矢量。……單獨(dú)看En，因?yàn)槠矫鎄肯定是En的一個(gè)二維完備子空間，所以在En中a×b的方向確實(shí)是xn的正方向，顯然a×b是En中的矢量。……這說明平面X中的矢量a與b的外積a×b可以指向H中的一切與X正交的維度方向。?在H的背景下，a×b并不是一個(gè)傳統(tǒng)意義上的矢量，因?yàn)閍×b的方向不是唯一的，但是單獨(dú)去看E2，E3，……中的任意一個(gè)三維

8、空間，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)a×b確實(shí)是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的矢量，因?yàn)閍×b的大小和方向都是唯一確定的。?那么a×b到底是不是一個(gè)矢量呢？實(shí)際上我們用現(xiàn)有的矢量外積的概念并不能很好地回答這個(gè)問題，需要對(duì)這里面的數(shù)學(xué)進(jìn)行一些拓展。?我們能為矢量a與矢量b的外積a×b在H中確定出唯一的維度方向嗎？這顯然是不可能的，因?yàn)閍×b的維度方向取決于我們對(duì)H的三維子空間的選擇，所以在H的背景下，a×b的方向只能是主觀的，除非我們可以使用復(fù)維度。?回憶一下我們是如何引進(jìn)復(fù)坐標(biāo)系的。假設(shè)x是一個(gè)實(shí)空間維度，ix是一個(gè)復(fù)空間維度，在H中，ix究

9、竟指得是哪個(gè)維度呢？顯然復(fù)維度ix并不特指H中的任何維度，但ix卻可以代表H中任意一個(gè)與x正交的維度。?我們?cè)趶?fù)平面中可以定義二維復(fù)矢量，比如a+ib就是一個(gè)二維復(fù)矢量，其中a與b都是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位。在H的背景下，虛數(shù)ib被賦予了一個(gè)方向集，這個(gè)方向集中的任意一個(gè)元素都與x這個(gè)實(shí)空間維度正交。?在H的背景下，雖然ib對(duì)應(yīng)著一個(gè)具有無窮多元素的方向集，但我們還是可以將a+ib看作由x與ix這兩個(gè)維度所確定的復(fù)平面中的復(fù)矢量，這并不會(huì)帶來任何麻煩，反而解決了很多問題。?同理，我們也可以將矢量a與矢量b的

10、外積a×b的方向看作復(fù)維度方向，就像復(fù)平面中ib的方向雖然在本質(zhì)上對(duì)應(yīng)著一個(gè)方向集，但我們卻可以認(rèn)為ib具有唯一的復(fù)方向一樣，雖然a×b的方向也對(duì)應(yīng)著由H中任意一個(gè)與x0和x1都正交的方向所組成的集合，但我們同樣可以將a×b的方向看做唯一的復(fù)方向，使得a×b成為一個(gè)復(fù)矢量。?可以認(rèn)為存在一個(gè)復(fù)三維空間，記做iE，iE是由x0與x1這兩個(gè)實(shí)維度加上ix這個(gè)復(fù)維度組成的。在iE中，外積a×b就是一個(gè)復(fù)矢量，方向指向復(fù)維度ix的正方向。?在H的背景下，外積a×b的方向只能是復(fù)方向。比如在由x0、x1與x2這三

11、個(gè)實(shí)維度組成的三維實(shí)空間E2中，外積a×b的方向當(dāng)然也可以是x2的正方向，但只有認(rèn)為外積a×b的方向是ix這個(gè)復(fù)方向才是全面的，因?yàn)閕x這個(gè)復(fù)維度確實(shí)已經(jīng)在無窮維的層面中包含了E2中的x2這個(gè)實(shí)維度了，所以外積a×b在本質(zhì)上確實(shí)應(yīng)該是一個(gè)復(fù)矢量。?現(xiàn)在做一下推廣。考慮任意三維實(shí)空間En，將En中的三個(gè)單位基矢量x0、x1與xn進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，得到三個(gè)新的單位基矢量，記做y0、y1與yn，將坐標(biāo)變換后的實(shí)三維空間記做V，這樣矢量a與矢量b就不能看作是由y0與y1這兩個(gè)維度所確定的平面中的矢量了，它們可以是V

12、中的任意矢量，對(duì)V中的任意矢量求外積會(huì)如何呢？?將V中的任意一對(duì)矢量a與b所確定的平面記做M，在V中對(duì)a與b求外積，顯然會(huì)得到一個(gè)正交于M的矢量，記做c，c是V中的實(shí)矢量。?在H的背景下，我們不能因?yàn)閷n的坐標(biāo)系稍微做一下旋轉(zhuǎn)變成V，就認(rèn)為H中除V之外的其它空間中的矢量都消失了。因?yàn)閂中的任意兩個(gè)矢量都可以再通過坐標(biāo)變換成為由H的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基中的一對(duì)單位基矢量所確定的平面中的兩個(gè)矢量，所以V中的任意矢量a與b的外積a×b的方向并不會(huì)因?yàn)?/p>