高考總復(fù)習(xí)一輪精講：第16講_數(shù)列求和

《高考總復(fù)習(xí)一輪精講：第16講_數(shù)列求和》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

1、數(shù)列求和3．(1)分組求和：把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列．(2)拆項(xiàng)相消：有時(shí)把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成二項(xiàng)差的形式，相加過(guò)程消去中間項(xiàng)，只剩有限項(xiàng)再求和．(3)錯(cuò)位相減：適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和．(4)倒序相加：例如，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法．4．常見(jiàn)的拆項(xiàng)公式有：(6)Cnm－1＝Cn＋1m－Cnm；(7)n·n！＝(n＋1)?。璶！；(8)an＝Sn－Sn－1(n≥2)．答案：B2．設(shè)數(shù)列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn的值為()A．2nB．2n－nC．2n＋1－nD．2n＋1－n－2解析：解法一

2、：特殊值法，易知S1＝1，S2＝4，只有選項(xiàng)D適合，故選D.解法二：研究通項(xiàng)an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，∴Sn＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝(21＋22＋…＋2n)－n＝2n＋1－n－2.答案：D答案：B答案：B【典例1】已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1＝4，公比為q≠1的等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，且4a1，a5，－2a3成等差數(shù)列．(1)求公比q；(2)設(shè)An＝S1＋S2＋…＋Sn，求An.[解析](1)依題意有2a5＝4a1－2a3，即2a1q4＝4a1－2a1q2，整理得q4＋q2－2＝0，解得q2＝1或q2＝－2(舍去)．由于q≠1，所以q＝－1.[點(diǎn)

3、評(píng)]對(duì)于等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和問(wèn)題，可直接套用它們的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解．值得注意的是，在等比數(shù)列中，其前n項(xiàng)和公式需對(duì)公比q的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，當(dāng)q＝1時(shí)，不能直接套用公式，尤其是當(dāng)公比q是參數(shù)時(shí)，應(yīng)對(duì)其分q＝1和q≠1兩種情況進(jìn)行討論．類(lèi)型二　　倒序相加法求和解題準(zhǔn)備：將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列(反序)，當(dāng)它與原數(shù)列對(duì)應(yīng)相加時(shí)，如果有公因式可提，并且剩余的項(xiàng)的和易于求得，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和，它是等差數(shù)列求和公式的推廣．[點(diǎn)評(píng)]此題實(shí)際上是運(yùn)用了倒序相加法求得所給函數(shù)值的和，由此可以看出，熟練掌握重要的定義、公式的推導(dǎo)過(guò)程是非常重要的，它有助于同學(xué)們理解各種解題方法，強(qiáng)化思維過(guò)程的

4、訓(xùn)練．當(dāng)數(shù)列{an}滿(mǎn)足ak＋an－k＝常數(shù)時(shí)，可用倒序相加法求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．類(lèi)型三　　錯(cuò)位相減法求和解題準(zhǔn)備：1.若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，由這兩個(gè)數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積組成的新數(shù)列為{anbn}，當(dāng)求該數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，常常采用將{anbn}的各項(xiàng)乘公比，并向后錯(cuò)一項(xiàng)與{anbn}的同項(xiàng)對(duì)應(yīng)相減，即可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的求和，這樣求和的方法稱(chēng)為錯(cuò)位相減法．2．錯(cuò)位相減法是推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，也是數(shù)列求和中經(jīng)常用到的一種方法．【典例3】求數(shù)列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)an－1的前n項(xiàng)和，其中a≠0.[點(diǎn)評(píng)]利用錯(cuò)位相減法求和的步驟是

5、：①在等式兩邊同乘等比數(shù)列{bn}的公比；②將兩個(gè)等式錯(cuò)位相減；③利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和．類(lèi)型四　　裂項(xiàng)相消法求和解題準(zhǔn)備：1.裂項(xiàng)相消法是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用，其實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的某些項(xiàng)分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的．[點(diǎn)評(píng)]使用裂項(xiàng)相消法時(shí)，消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)．是否注意到由于數(shù)列{an}中每一項(xiàng)an均裂成一正一負(fù)兩項(xiàng)，所以互為相反數(shù)的項(xiàng)合并為零后，所剩正數(shù)項(xiàng)與負(fù)數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)必是一樣多，切不可漏寫(xiě)未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱(chēng)的特點(diǎn)．類(lèi)型五　　分組轉(zhuǎn)化法求和解題準(zhǔn)備：1.有一類(lèi)數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但若把數(shù)列的每一項(xiàng)

6、分成多個(gè)項(xiàng)或把數(shù)列的項(xiàng)重新組合，就能轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列．從而可以利用等差、等比數(shù)列的求和公式解決．這種求和方法叫分組轉(zhuǎn)化法．2．此類(lèi)問(wèn)題求解的關(guān)鍵是要分析研究數(shù)列的通項(xiàng)公式．[點(diǎn)評(píng)]本題容易忽視對(duì)x＝±1和x≠±1的討論．事實(shí)上，當(dāng)構(gòu)成等比數(shù)列的各項(xiàng)含有參數(shù)時(shí)，一定要對(duì)公比是否為1進(jìn)行討論．快速解題技法　求下列n2個(gè)正整數(shù)之和：123…n234…n＋1345…n＋2…nn＋1n＋2…2n－1