淺談芝諾悖論——阿基里斯與烏龜

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1、淺談芝諾悖論——阿基里斯與烏龜公元前5世紀，芝諾用他的無窮、連續(xù)以及部分和的知識，引發(fā)出以下著名的悖論：他提出讓阿基里斯和烏龜之間舉行一場賽跑，并讓烏龜在阿基里斯前頭1000米開始．假定阿基里斯能夠跑得比烏龜快10倍．當比賽開始的時候，阿基里斯跑了1000米，此時烏龜仍然前于他100米．當阿基里斯跑了下一個100米時，烏龜依然前于他10米．芝諾辯解說，阿基里斯能夠繼續(xù)逼近烏龜，但他決不可能追上它。此問題可用數(shù)學(xué)知識表示為；如圖設(shè)阿基里斯處在A點，烏龜處在B點，A，B點相距X，阿基里斯以速度V前進，則烏龜以速度1∕10V前進，若阿基里斯前進了X，則烏龜前進了1/10X，若阿基

2、里斯前進了1/10X，則烏龜前進了1/10?2X，就這樣無限的進行下去，AXB烏龜前進的路程可表示為S=1/10X+1/10?2X+1/10?3X+1/10?4X+…1/10?nX，而阿基里斯前進的路程為S’=X+1/10X+1/10?2X+1/10?3X+1/10?4X+…1/10?(n-1)X,所以二者之差S’—S=X—1/10?nX，烏龜與阿基里斯相距1/10?nX，當n為無窮大時，S’—S≈X，1/10?nX≈0，但是1/10?nX總是一個大于0的數(shù)，因此阿基里斯是追不上烏龜?shù)?然而如果我們深思這個問題我們會發(fā)現(xiàn)，當n為無窮大時，1/10?nX會越來越小，通過這段路

3、程的時間會趨于0.對于宏觀上分析，顯然我們可以得出當1/10?nX≈0時，阿基里斯與烏龜所占的空間要比1/10?nX大得多，我們說阿基里斯沒有追上烏龜這是不科學(xué)的。對于微觀上分析，我們將阿基里斯與烏龜分別看成兩個質(zhì)點，設(shè)為A，B，而質(zhì)點是沒有體積的，這樣討論就不會產(chǎn)生宏觀上的不科學(xué)的觀點。若A,B是質(zhì)點，我們顯然可以得到A是永遠追不上B的。但在牛頓的經(jīng)典物理學(xué)中，我們可以知道若A比B的速度快，經(jīng)過有限時間后，A是一定會追上B的，因此這個問題是不可以用牛頓的經(jīng)典物理學(xué)來分析的，經(jīng)典物理學(xué)有兩個假設(shè)：其一是假定時間和空間是絕對的，長度和時間間隔的測量與觀測者的運動無關(guān)，物質(zhì)間相

4、互作用的傳遞是瞬時到達的；其二是一切可觀測的物理量在原則上可以無限精確地加以測定。也就是在經(jīng)典物理學(xué)中時間和空間都是連續(xù)的，因此我們可以以時間不是連續(xù)的觀點來討論這個問題。若時空不是連續(xù)的，即量子性的，則時間和空間必存在一個最小量，設(shè)其分別為T0，P0，當A，B相距距離為P0時，而空間不可比P0小，因此B點不可能再前進比P0更小的路程，設(shè)A的速度是B的m倍，B前進P0所需時間為T0，當B每前進一個T0的時間，A，B間的距離將縮?。╩v-v）T0=(m-1)vT0,又因為總存在一個N（N為正整數(shù)），使得N(m-1)vT0＞＝P0，即經(jīng)過NT0的時間后A，B間距為N(m-1)v

5、T0—P0＜＝0，此時A就追上了B，這與現(xiàn)實是相符的。