2016年高考北京卷理數(shù)試題解析（正式版）

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資料來自高中數(shù)學教師交流分享群（群號碼545423319）歡迎全國數(shù)學老師入群討論本試卷共5頁，150分．考試時長120分鐘．考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】C考點：集合交集.2.若，滿足，則的最大值為（）A.0B.3C.4D.5【答案】C【解析】試題分析：作出如圖可行域，則當經(jīng)過點時，取最大值，而，∴所求最大值為4，故選C.考點：線性規(guī)劃.3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的值為1，則輸出的值為（）A.1B.2C.3D.4 資料來自高中數(shù)學教師交流分享群（群號碼545423319）歡迎全國數(shù)學老師入群討論【答案】B考點：算法與程序框圖4.設，是向量，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】試題分析：由，故是既不充分也不必要條件，故選D.考點：1.充分必要條件；2.平面向量數(shù)量積. 資料來自高中數(shù)學教師交流分享群（群號碼545423319）歡迎全國數(shù)學老師入群討論5.已知，，且，則（）A.B.C.D.【答案】C考點：函數(shù)性質6.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】[來源:學科網(wǎng)]試題分析：分析三視圖可知，該幾何體為一三棱錐，其體積，故選A. 資料來自高中數(shù)學教師交流分享群（群號碼545423319）歡迎全國數(shù)學老師入群討論考點：1.三視圖；2.空間幾何體體積計算.7.將函數(shù)圖象上的點向左平移（）個單位長度得到點，若位于函數(shù)的圖象上，則（）A.，的最小值為B.，的最小值為C.，的最小值為D.，的最小值為【答案】A考點：三角函數(shù)圖象平移8.袋中裝有偶數(shù)個球，其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個空盒.每次從袋中任意取出兩個球，將其中一個球放入甲盒，如果這個球是紅球，就將另一個球放入乙盒，否則就放入丙盒.重復上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則（）A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多【答案】C【解析】試題分析：若乙盒中放入的是紅球，則須保證抽到的兩個均是紅球；若乙盒中放入的是黑球，則須保證抽 資料來自高中數(shù)學教師交流分享群（群號碼545423319）歡迎全國數(shù)學老師入群討論到的兩個球是一紅一黑，且紅球放入甲盒；若丙盒中放入的是紅球，則須保證抽到的兩個球是一紅一黑：且黑球放入甲盒；若丙盒中放入的是黑球，則須保證抽到的兩個球都是黑球；A：由于抽到的兩個球是紅球和黑球的次數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)無法確定，故無法判定乙盒和丙盒中異色球的大小關系，而抽到兩個紅球的次數(shù)與抽到兩個黑球的次數(shù)應是相等的，故選C.考點：概率統(tǒng)計分析.第二部分（非選擇題　共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．9.設，若復數(shù)在復平面內對應的點位于實軸上，則_______________.【答案】.【解析】試題分析：，故填：.考點：復數(shù)運算10.在的展開式中，的系數(shù)為__________________.（用數(shù)字作答）【答案】60.考點：二項式定理.11.在極坐標系中，直線與圓交于A，B兩點，則______.【答案】2【解析】試題分析：分別將直線方程和圓方程化為直角坐標方程：直線為過圓圓心，因此，故填：.考點：極坐標方程與直角方程的互相轉化.12.已知為等差數(shù)列，為其前項和，若，，則_______..【答案】6【解析】 資料來自高中數(shù)學教師交流分享群（群號碼545423319）歡迎全國數(shù)學老師入群討論試題分析：∵是等差數(shù)列，∴，，，，∴，故填：6．考點：等差數(shù)列基本性質.13.雙曲線（，）的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點B為該雙曲線的焦點，若正方形OABC的邊長為2，則_______________.【答案】2考點：雙曲線的性質14.設函數(shù).①若，則的最大值為______________；②若無最大值，則實數(shù)的取值范圍是________.【答案】，.【解析】試題分析：如圖作出函數(shù)與直線的圖象，它們的交點是，，，由，知是函數(shù)的極大值點，①當時，，因此的最大值是；②由圖象知當時，有最大值是；只有當時，由，因此無最大值，∴所求的范圍是，故填：，． 資料來自高中數(shù)學教師交流分享群（群號碼545423319）歡迎全國數(shù)學老師入群討論考點：1.分段函數(shù)求最值；2.數(shù)形結合的數(shù)學思想.三、解答題（共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程）15.（本小題13分）在ABC中，.（1）求的大?。唬?）求的最大值.【答案】（1）；（2）.，因為，所以當時， 資料來自高中數(shù)學教師交流分享群（群號碼545423319）歡迎全國數(shù)學老師入群討論取得最大值.考點：1.三角恒等變形；2.余弦定理.16.（本小題13分）A、B、C三個班共有100名學生，為調查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學生一周的鍛煉時間，數(shù)據(jù)如下表（單位：小時）；A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.5（1）試估計C班的學生人數(shù)；（2）從A班和C班抽出的學生中，各隨機選取一人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙，假設所有學生的鍛煉時間相對獨立，求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率；（3）再從A、B、C三個班中各隨機抽取一名學生，他們該周的鍛煉時間分別是7，9，8.25（單位：小時），這3個新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構成的新樣本的平均數(shù)記，表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為，試判斷和的大小，（結論不要求證明）【答案】（1）40；（2）；（3）. 資料來自高中數(shù)學教師交流分享群（群號碼545423319）歡迎全國數(shù)學老師入群討論因此（3）根據(jù)平均數(shù)計算公式即可知，.考點：1.分層抽樣；2.獨立事件的概率；3.平均數(shù)17.（本小題14分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，.[來源:Z|xx|k.Com]（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在點，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）見解析；（2）；（3）存在，【解析】試題分析：（1）由面面垂直性質定理知AB⊥平面；根據(jù)線面垂直性質定理可知，再由線面垂直判定定理可知平面；（2）取的中點，連結，，以為坐標原點建立空間直角坐標系，利用向量法可求出直線與平面所成角的正弦值；（3 資料來自高中數(shù)學教師交流分享群（群號碼545423319）歡迎全國數(shù)學老師入群討論）假設存在，根據(jù)A，P，M三點共線，設，根據(jù)平面，即，求的值，即可求出的值.試題解析：（1）因為平面平面，，所以平面，所以，又因為，所以平面； 資料來自高中數(shù)學教師交流分享群（群號碼545423319）歡迎全國數(shù)學老師入群討論考點：1.空間垂直判定與性質；2.異面直線所成角的計算；3.空間向量的運用.18.（本小題13分）設函數(shù)，曲線在點處的切線方程為，（1）求，的值；（2）求的單調區(qū)間.【答案】（Ⅰ），；（2）的單調遞增區(qū)間為.【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意求出，根據(jù)，，求，的值；[來源:學科網(wǎng)]（2）由題意知判斷，即判斷的單調性，知，即，由此求得的單調區(qū)間. 資料來自高中數(shù)學教師交流分享群（群號碼545423319）歡迎全國數(shù)學老師入群討論[來源:Zxxk.Com]考點：導數(shù)的應用.19.（本小題14分）已知橢圓C：（）的離心率為，，，，的面積為1.（1）求橢圓C的方程；（2）設的橢圓上一點，直線與軸交于點M，直線PB與軸交于點N.求證：為定值.【答案】（1）；（2）詳見解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)離心率為，即，的面積為1，即，橢圓中列方程求解；（2）根據(jù)已知條件分別求出，的值，求其乘積為定值. 資料來自高中數(shù)學教師交流分享群（群號碼545423319）歡迎全國數(shù)學老師入群討論.當時，，所以.綜上，為定值.考點：1.橢圓方程及其性質；2.直線與橢圓的位置關系.20.（本小題13分）設數(shù)列A：，,…().如果對小于()的每個正整數(shù)都有＜，則稱是數(shù)列A的一個“G時刻”.記“是數(shù)列A的所有“G時刻”組成的集合. 資料來自高中數(shù)學教師交流分享群（群號碼545423319）歡迎全國數(shù)學老師入群討論（1）對數(shù)列A：-2，2，-1，1，3，寫出的所有元素；（2）證明：若數(shù)列A中存在使得>，則；學.科網(wǎng)[來源:學§科§網(wǎng)]（3）證明：若數(shù)列A滿足-≤1（n=2,3,…,N）,則的元素個數(shù)不小于-.【答案】（1）的元素為和；（2）詳見解析；（3）詳見解析.如果，取，則對任何.從而且.又因為是中的最大元素，所以. 資料來自高中數(shù)學教師交流分享群（群號碼545423319）歡迎全國數(shù)學老師入群討論考點：數(shù)列、對新定義的理解.