《平面向量及運(yùn)算的坐標(biāo)表示》示范公開課教案【高中數(shù)學(xué)必修第二冊北師大】.docx

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第二章平面向量及其應(yīng)用2.4平面向量基本定理及坐標(biāo)表示第二課時(shí)平面向量及運(yùn)算的坐標(biāo)表示◆教學(xué)目標(biāo)1．借助平面直角坐標(biāo)系，掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示．2．掌握兩個向量和、差及數(shù)乘向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則．3．能用坐標(biāo)表示平面向量共線的條件．◆教學(xué)重難點(diǎn)◆重點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)表示和運(yùn)算．難點(diǎn)：平面向量線性運(yùn)算和坐標(biāo)表示下的共線關(guān)系表達(dá)．◆教學(xué)過程一、新課導(dǎo)入問題1：回顧上節(jié)課的內(nèi)容，說說平面向量基本定理的內(nèi)容是什么？答案：如果e1，e2是同一平面內(nèi)兩個不共線向量，那么對于該平面內(nèi)的任意一個向量a，存在唯一的一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2，我們把不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基，記為｛e1，e2｝．追問1：標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義是什么？答案：若基中的兩個向量為互相垂直的單位向量，則稱這組基為標(biāo)準(zhǔn)正交基．（如圖所示）yjxiO 二、新知探究問題2：平面向量能不能像平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)一樣用坐標(biāo)來表示？答案：能．如圖所示：對于坐標(biāo)平面內(nèi)的任意非零向量a均可通過平移至以坐標(biāo)原點(diǎn)O為起點(diǎn)作，由平面向量基本定理可知，有且僅有一對實(shí)數(shù)x，y，使．因此，．我們把(x，y)稱為向量a在標(biāo)準(zhǔn)正交基i，j下的坐標(biāo)．向量a可以表示為a=(x，y)．顯然，i=(1，0)，j=(0，1)．追問：點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)有何區(qū)別？（1）向量a=(x，y)中間用等號連接，而點(diǎn)的坐標(biāo)A(x，y)中間沒有等號．（2）平面向量的坐標(biāo)只有當(dāng)起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)才與向量終點(diǎn)的坐標(biāo)相同．（3）在平面直角坐標(biāo)系中，符號(x，y)可表示一個點(diǎn)，也可表示一個向量，敘述中應(yīng)指明點(diǎn)(x，y)或向量(x，y).問題3：平面內(nèi)的向量可以用坐標(biāo)表示，那么平面向量的運(yùn)算可以用坐標(biāo)來表示嗎？追問1：向量的加減法可否用坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算？答案：可以．可以按照以下步驟進(jìn)行推導(dǎo)：第1步：設(shè)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則a=x1i+y1j，b=x2i+y2j．第2步：根據(jù)向量的加法運(yùn)算律，可得a+b=（x1i+y1j）+（x2i+y2j）=（x1+x2）i+（y1+y2）j，即a+b=（x1+x2，y1+y2）．同理a-b=（x1-x2，y1-y2）．追問2：向量的數(shù)乘運(yùn)算可以用坐標(biāo)表示嗎？設(shè)λ∈R，如何用坐標(biāo)表示λa？答案：λa=λx1i+y1j=λx1i+λy1j，即λa=(λx1，λy1)． 追問3：給出平面向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)，怎樣求向量的坐標(biāo)？試著利用向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示進(jìn)行推導(dǎo)．答案：如圖所示，設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則．即．問題4：兩平面向量的平行能否用坐標(biāo)表示？答案：能．推導(dǎo)步驟如下：第1步：根據(jù)已學(xué)知識可知，在平面直角坐標(biāo)系中，a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，b≠0．若a∥b，則存在實(shí)數(shù)λ，使得a=λb；第2步：由向量共線定理，可知x1i+y1j=λ（x2i+y2j）=λx2i+λy2j．于是x1=λx2，y1=λy2．消去λ，得x1y2-x2y1=0．這就是說，向量a，b（b≠0）共線的充要條件是x1y2-x2y1=0．想一想：前面的四個問題推導(dǎo)出了什么結(jié)果？（1）回顧上節(jié)課的內(nèi)容，平面向量基本定理是什么？（2）向量能不能像平面坐標(biāo)系中點(diǎn)一樣給出坐標(biāo)表示？　　利用平面直角坐標(biāo)系，通過建立標(biāo)準(zhǔn)正交基，可以實(shí)現(xiàn)平面向量的坐標(biāo)表示．（3）平面向量可以用坐標(biāo)表示，向量的運(yùn)算可以用坐標(biāo)來運(yùn)算嗎？（4）平面向量平行能否用坐標(biāo)表示？平面內(nèi)兩個向量和、差、數(shù)乘及共線都擁有自己的坐標(biāo)運(yùn)算法則．總結(jié)：通過這四個問題的探究，可以發(fā)現(xiàn)平面內(nèi)任意向量都能與有序?qū)崝?shù)對一一對應(yīng)，同時(shí)向量的坐標(biāo)運(yùn)算符合實(shí)數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，我們可以利用它求點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷向量共線等問題，從而實(shí)現(xiàn)形與數(shù)的統(tǒng)一．設(shè)計(jì)意圖： 承接上一節(jié)所學(xué)的內(nèi)容，借助平面直角在坐標(biāo)系，掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示，進(jìn)而推導(dǎo)出坐標(biāo)表示平面向量的和差與數(shù)乘的運(yùn)算法則，以及坐標(biāo)表示平面向量共線的條件．平面向量坐標(biāo)表示和坐標(biāo)運(yùn)算的概括：（1）兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量對應(yīng)坐標(biāo)的和與差；（2）實(shí)數(shù)與向量數(shù)乘的坐標(biāo)等于這個實(shí)數(shù)與向量的相應(yīng)坐標(biāo)的乘積；（3）一個向量的坐標(biāo)等于其終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)；（4）向量a，b（b≠0）共線的充要條件是x1y2-x2y1=0．【概念鞏固】思考:判斷正誤并說明理由？（1）向量與向量的坐標(biāo)相同．（）（2）兩個向量的終點(diǎn)不同，則這兩個向量的坐標(biāo)一定不同．（）（3）兩向量差的坐標(biāo)與兩向量的順序無關(guān)．（）（4）向量（2，4）與向量（-4，-6）反向．（）（5）若a∥b，a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則必有．（）分析：判斷上述問題的正誤需要熟練掌握和運(yùn)用平面向量的坐標(biāo)表示、和差數(shù)乘運(yùn)算法則，熟知坐標(biāo)表示平面向量共線的條件．答案:（1）錯誤，向量的坐標(biāo)為點(diǎn)B的坐標(biāo)減去點(diǎn)A的坐標(biāo)，向量的坐標(biāo)為點(diǎn)A的坐標(biāo)減去點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）錯誤，對于同一個向量，無論位置在哪里，坐標(biāo)都一樣；（3）錯誤；根據(jù)兩向量差的運(yùn)算，兩向量差的坐標(biāo)與兩向量的順序有關(guān)；（4）正確，因?yàn)椋?4，-6）=-2（2，4），所以兩個向量相反；（5）錯誤，因?yàn)槿粝蛄縝等與零向量，則不成立．問題5：你能用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來推導(dǎo)出給定線段的中點(diǎn)坐標(biāo)嗎?答案:能．分步如下：第1步：如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M是線段AB的中點(diǎn)． 第2步：，，由向量的線性運(yùn)算可知，第3步：所以中點(diǎn)M的坐標(biāo)是．可以得出，若點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M是線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)（x，y），則此公式為線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)公式．三、應(yīng)用舉例例1.在平面內(nèi)，以點(diǎn)O的正東方向?yàn)閤軸的正向，正北方向?yàn)閥軸的正向建立平面直角坐標(biāo)系．質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)作直線運(yùn)動，先畫出下列位移向量在基i，j下的正交分解，再求出下列位移向量的坐標(biāo)：（1）向量a表示沿東北方向移動了2個單位長度；（2）向量b表示沿北偏西30°方向移動了3個單位長度；（3）向量c表示沿南偏東60°方向移動了4個單位長度．分析：作圖畫出向量a，b，c，作出以上向量在基i，j下的正交分解，再求坐標(biāo)．解：第1步：設(shè)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，c=(x3，y3)，如圖作出以上向量在基i，j下的正交分解；第2步：，；，；，． 第3步：因此，，．例2.已知a=(2，1)，b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐標(biāo)．分析：運(yùn)用平面向量和、差、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算法則直接計(jì)算．解：a+b=(2，1)+(-3，4)=(-1，5)，a-b=(2，1)-(-3，4)=(5，-3)，3a+4b=3(2，1)+4(-3，4)=(6，3)+(-12，16)=(-6，19)．例3.已知點(diǎn)A(1，0)，B(0，2)，C(-1，-2)，用向量的方法求的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．分析：先做圖，設(shè)點(diǎn)并寫出向量坐標(biāo)，根據(jù)圖中向量的關(guān)系用坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行表達(dá)．解：第1步：設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，做圖如下，第2步：由，得(0，2)-(1，0)=(-1，-2)-(x，y)，即(-1，2)=(-1-x，-2-y)，所以，-1-x=-1,-2-y=2.解得x=0,y=-4.第3步：所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，-4)．例4.已知點(diǎn)A(2，-4)，B(-1，3)，C(3，4)，且,求點(diǎn)M的坐標(biāo)．分析：根據(jù)一個向量的坐標(biāo)等于其終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示出已知向量，設(shè)未知點(diǎn)，再運(yùn)用平面向量的坐標(biāo)表示、和差數(shù)乘運(yùn)算法則計(jì)算出未知量．解：第1步：根據(jù)題意，得=(2-3，-4-4)=(-1，-8)，=(-1-3，3-4)=(-4，-1)．于是=2(-1，-8)+3(-4，-1)=(-2，-16)+(-12，-3)=(-14，-19)第2步：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則=(x-3，y-4)． 因此，x-3=-14,y-4=-19.解得x=-11,y=-15.所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-11，-15)．例5.已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，=(k，12)，=(4，5)，=(10，k)．當(dāng)k為何值時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線？分析：要使A，B，C三點(diǎn)共線，只需，共線，運(yùn)用坐標(biāo)表示的平面向量共線公式即可．解：第1步：依題意，得=(4，5)-(k，12)=(4-k，-7)．=(10，k)-(4，5)=(6，k-5)．第2步：根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示，得(4-k)(k-5)-6×(-7)=0．解得k=-2或k=11．所以當(dāng)k=-2或k=11時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線．設(shè)計(jì)意圖：通過例題，實(shí)踐操作，學(xué)會運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示和坐標(biāo)運(yùn)算，也讓學(xué)生體會到數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問題的能力的重要性．方法總結(jié)：向量的坐標(biāo)表示的理解及運(yùn)算的準(zhǔn)確性．四、課堂練習(xí)1．已知向量a=(2，6)，b=(-1，λ)，若a∥b，則λ=()．A.3B.-3C.D.2．已知四邊形ABCD的三個頂點(diǎn)A(0，2)，B(-1，-2)，C(3，1)，且，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為()．A.(2，)B.(2，)C.(3，2)D.(1，3)3．已知O(0，0)，A(-1，3)，B(2，-4)，,若點(diǎn)P在y軸上，則實(shí)數(shù)m 的值為()．A.B.C.D.4．如圖所示，已知線段OA的長度為2，與x軸正半軸所成夾角為30°，OB的長度為2，與x軸負(fù)半軸所成夾角為60°，C是AB的中點(diǎn)，則的坐標(biāo)是()．A.B.C.D.參考答案：1．2λ=-6．故選B．2．設(shè)點(diǎn)D(m，n)．由題意得(4，3)=2(m，n-2)=(2m，2n-4)，故，解得，即點(diǎn)D(2，)，故選A．3．由題意可得，，所以，又點(diǎn)P在y軸上，所以，得，故選A．4．由題意知，，，故A的坐標(biāo)為(，1)；同理，，故B的坐標(biāo)為(，)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得C的坐標(biāo)為，故選C．五、課堂小結(jié)1.向量的坐標(biāo)表示是向量的另一種表示形式，也可以稱之為向量的代數(shù)表示，其背景是平面向量基本定理；2.向量的坐標(biāo)表示為我們進(jìn)行向量的運(yùn)算提供了方便； 3.向量的坐標(biāo)表示使得我們借助數(shù)的運(yùn)算對圖形的幾何性質(zhì)展開研究，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用．六、布置作業(yè)教材第99頁練習(xí)第2，3，5題．