《正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)再認(rèn)識(shí)》示范公開(kāi)課教案【高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)北師大】.docx

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第一章三角函數(shù)1.5.1正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)再認(rèn)識(shí)◆教學(xué)目標(biāo)1．用描點(diǎn)法畫(huà)出y=sinx的圖象，進(jìn)一步理解正弦函數(shù)的性質(zhì)；2．利用正弦函數(shù)的圖象再認(rèn)識(shí)其性質(zhì)（定義域、周期性、單調(diào)性、最值、值域、奇偶性、圖象與x軸的交點(diǎn)等性質(zhì)）；3．通過(guò)對(duì)正弦函數(shù)圖象研究的過(guò)程，深化對(duì)一般函數(shù)研究方法的再認(rèn)識(shí)，通過(guò)從單位圓和圖象兩個(gè)不同的角度去觀察和認(rèn)識(shí)三角函數(shù)的變化規(guī)律，提高學(xué)生直觀想象素養(yǎng)．◆教學(xué)重難點(diǎn)◆重點(diǎn)：利用描點(diǎn)法畫(huà)出正弦函數(shù)圖象，通過(guò)圖象對(duì)函數(shù)的性質(zhì)再認(rèn)識(shí)．難點(diǎn)：描點(diǎn)法畫(huà)y=sinx的圖象．◆教學(xué)過(guò)程一、新課導(dǎo)入我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的概念，并借助單位圓學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的基本性質(zhì)，對(duì)于正弦函數(shù)y=sinx，它的圖象是怎樣的呢？觀察下圖：滿(mǎn)細(xì)沙的漏斗在做單擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，沙子落在與單擺運(yùn)動(dòng)方向垂直的運(yùn)動(dòng)的木板上的曲線(xiàn)軌跡，就與正弦函數(shù)圖象相似．二、新知探究問(wèn)題1：我們?cè)鯓赢?huà)出正弦函數(shù)y=sinx的圖象呢?答案：由于正弦函數(shù)y=sinx是以2π為周期，我們只需要畫(huà)出0，2π正弦函數(shù)的圖象，再利用周期性將其延拓到整個(gè)定義域上． 追問(wèn)１：你能用描點(diǎn)法作出正弦函數(shù)y=sinx在0，2π上的圖象嗎？答案：在區(qū)間上0，2π取一系列x的值（x的值取得越多，圖象越精確，曲線(xiàn)越光滑），例如0，π6，π3，π2，?，2π，列表，描點(diǎn)做出圖象：0π6π3π22π35π6π7π64π33π25π311π62πsinx01232132120-12-32-1-32-120　　追問(wèn)２:表格中的數(shù)據(jù)，有一些無(wú)理數(shù)，怎樣在平面直角坐標(biāo)系中比較準(zhǔn)確地畫(huà)出？答案：第1步：作單位圓，把圓Ｏ12等分（當(dāng)然分得越細(xì)，圖象越精確）；　　第2步：12等分后得到對(duì)應(yīng)于0，π6，π3，π2，……，2π的角，并作出相應(yīng)的正弦值；第3步：將x軸上從0到2π一段分成12等分；第4步：平移相應(yīng)角的正弦值；第5步：描點(diǎn)，用平滑曲線(xiàn)順次連接，就得到y(tǒng)=sinx在區(qū)間0，2π上的圖象（如圖）．由周期性，函數(shù)y=sinx在區(qū)間2kπ，2k+1π，k∈Z，k≠0上與在區(qū)間0，2π上的函數(shù)圖象形狀完全相同，將函數(shù)y=sinx，x∈0，2π的圖象向左、右平移（每次平移2π個(gè)單位長(zhǎng)度），就可以得到正弦函數(shù)y=sinx，x∈R的圖象（如圖）．正弦函數(shù)的圖象叫做正弦曲線(xiàn)． 問(wèn)題2：觀察y=sinx的圖象，你認(rèn)為哪些點(diǎn)起著關(guān)鍵性作用，理由是什么？答案：(0，0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，-1)，(2π，0)這五個(gè)點(diǎn)起關(guān)鍵性作用．根據(jù)正弦曲線(xiàn)的基本性質(zhì)，例如0，2π上，從正弦函數(shù)圖象可以看到：0，π，2π是函數(shù)y=sinx的零點(diǎn)，π2，3π2是函數(shù)y=sinx取得最大值、最小值時(shí)自變量的值，它們?cè)谡仪€(xiàn)中起著關(guān)鍵的作用．根據(jù)正弦曲線(xiàn)的基本性質(zhì)，描出(0，0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，-1)，(2π，0)這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)后，函數(shù)y=sinx，x∈0，2π]的圖象形狀就基本確定了．在精度要求不太高時(shí)，我們常常先找出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，然后用光滑曲線(xiàn)將它們連接起來(lái)，就得到這個(gè)函數(shù)的簡(jiǎn)圖．這種作正弦曲線(xiàn)的方法稱(chēng)為“五點(diǎn)（畫(huà)圖）法”．問(wèn)題３：觀察正弦函數(shù)圖象，你能從中看到哪些性質(zhì)，并將看到的性質(zhì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述．答案：結(jié)合函數(shù)圖象以及我們?cè)?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的，利用單位圓得到的，正弦函數(shù)的性質(zhì)，可知，正弦函數(shù)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?1，1，其中，當(dāng)x=2kπ+π2，k∈Z時(shí)，正弦函數(shù)y=sinx取得最大值1；當(dāng)x=2kπ-π2，k∈Z時(shí)，正弦函數(shù)取得最小值-1．正弦函數(shù)的周期為2kπ，k∈Z，其中最小正周期為2π； 對(duì)于任意的k∈Z，正弦函數(shù)在區(qū)間2kπ-π2，2kπ+π2上單調(diào)遞增，在區(qū)間2kπ+π2，2kπ+3π2上單調(diào)遞減．　　追問(wèn)：借助函數(shù)圖象探究正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，它有對(duì)稱(chēng)軸嗎？有對(duì)稱(chēng)中心嗎？如果有，請(qǐng)寫(xiě)出它的對(duì)稱(chēng)軸方程和對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．答案：由正弦型函數(shù)圖象可以看出，正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=π2+kπ，k∈Z，對(duì)稱(chēng)中心為kπ，0，k∈Z．正弦函數(shù)性質(zhì)可總結(jié)為下表：函數(shù)y=sinx性質(zhì)定義域R值域[-1，1]周期性是周期函數(shù)，周期為2kπ(k∈Z)，最小正周期為2π最值當(dāng)x=2kπ+π2，k∈Z時(shí)，取得最大值1?當(dāng)x=2kπ-π2，k∈Z時(shí)，取得最小值-1?單調(diào)性增區(qū)間2kπ-π2，2kπ+π2，k∈Z減區(qū)間2kπ+π2，2kπ+3π2，k∈Z奇偶性奇函數(shù)對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸為x=π2+kπ，k∈Z對(duì)稱(chēng)中心為點(diǎn)kπ，0，k∈Z三、應(yīng)用舉例例1比較下列各組三角函數(shù)值的大小:（1）sin-π15與sin-π11；（2）sin18π7與sin23π9． 分析：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象，可以得到結(jié)論．解：（1）如圖，因?yàn)?π2<-π11<-π15<0，且正弦函數(shù)y=sinx在-π2，0單調(diào)遞增，所以sin-π15>sin-π11．（1）sin18π7=sin2π+4π7=sin4π7;sin23π9=sin2π+5π9=sin5π9．因?yàn)棣?<5π9<4π7<π，且正弦函數(shù)y=sinx在π2，π單調(diào)遞減，所以sin4π7