《基本立體圖形》示范公開課教案【高中數(shù)學(xué)必修第二冊北師大】.docx

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第六章立體幾何初步6.1基本立體圖形第一課時(shí)基本立體圖形◆教學(xué)目標(biāo)1．通過豐富的模型分析，認(rèn)識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征；2．能夠運(yùn)用柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)；3．培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、思考的科學(xué)態(tài)度.◆教學(xué)重難點(diǎn)◆教學(xué)重點(diǎn)：簡單幾何體的有關(guān)概念．教學(xué)難點(diǎn)：對簡單多面體中棱柱、棱臺概念的理解．◆教學(xué)過程一、新課導(dǎo)入想一想：觀察下列圖片，你能發(fā)現(xiàn)哪些幾何體？答案：有正方體、圓錐、球…二、新知探究問題1：在平面幾何中，構(gòu)成圖形的基本元素有哪些呢？答案：點(diǎn)和線.追問1：以長方體為例，請同學(xué)們思考構(gòu)成立體圖形的基本元素有哪些？答案：點(diǎn)、線、面. 今天我們從常見的長方體開始，學(xué)習(xí)基本立體圖形．我們稱，相鄰的兩個面的公共邊，叫做長方體的棱；棱和棱的公共點(diǎn)，叫做長方體的頂點(diǎn)．追問2：長方體共有幾個面，幾條棱，幾個頂點(diǎn)？答案：6個面，12條棱，8個頂點(diǎn)．追問3：通常我們用什么圖形來表示平面呢？答案：平行四邊形．總結(jié)：平面是空間最基本的圖形；一般地，用平行四邊形表示平面．平面通常用希臘字母α，β等表示，也可以用表示平行四邊形頂點(diǎn)的字母表示，如平面ABCD；還可以用表示平行四邊形頂點(diǎn)的兩個相對頂點(diǎn)的字母表示，如平面AC．當(dāng)兩個平面相交時(shí)，可以把被遮擋部分畫成虛線或者不畫，這樣看起來更加立體．設(shè)計(jì)意圖：通過圖片實(shí)例引出空間幾何體的基本構(gòu)成要素，長方體的例子學(xué)生更加熟悉、清晰，易于理解．問題2：觀察下列幾何體，根據(jù)圍成幾何體的面的特征，可以把幾何體分成幾類？答案：第1、4、5個分一類，第2、3、6個分為另一類．追問1：你的分類標(biāo)準(zhǔn)是什么呢？答案：根據(jù)圍成幾何體的面是否含有曲面分類，（1，4，5都是由平面圍成的，2，3，6是由平面和曲面圍成）．多面體及相關(guān)概念：我們把由平面多邊形圍成的幾何體稱為多面體．這些多邊形稱為多面體的面，兩個相鄰的面的公共邊稱為多面體的棱，棱與棱的公共點(diǎn)稱為多面體的頂點(diǎn)．想一想：觀察下列多面體，請同學(xué)們相互討論，思考它們還有什么共同特征？ 答案：每個多面體都有兩個面是邊數(shù)相同的多邊形，且它們所在的平面都平行，其余各面是由平行四邊形圍成的．棱柱及其相關(guān)概念：像這樣，有兩個面相互平行；其余各面都是平行四邊形，由這些面圍成的幾何體稱為棱柱.兩個互相平行的面稱為棱柱的底面，簡稱底，其余各面稱為棱柱的側(cè)面，相鄰側(cè)面的公共邊稱為棱柱的側(cè)棱，側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)稱為棱柱的頂點(diǎn)，既不在同一底面上，也不在同一側(cè)面上的兩個頂點(diǎn)的連線稱為棱柱的對角線，兩底面間的距離，即棱柱的高．棱柱的表示：表示：棱柱可以用它的兩個底面各頂點(diǎn)的字母來表示，也可以用它的某一條對角線的兩個端點(diǎn)字母來表示，如圖中的棱柱可以表示為棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1或棱柱AC1．問題3：圖中的棱柱有哪些不同點(diǎn)？說說你的看法.答案：它們有兩個面的邊數(shù)不同，分別是三角形、四邊形、六邊形、四邊形、五邊形.棱柱的分類：棱柱的底面可以是三角形、四邊形、五邊形......這樣的棱柱分別稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱......追問1：圖中的棱柱分別是幾棱柱？答案：（1）三棱柱，（2）四棱柱，（3）六棱柱，（4）四棱柱，（5）五棱柱．直棱柱與正棱柱的概念：側(cè)面平行四邊形都是矩形的棱柱稱為直棱柱，其他的棱柱稱為斜棱柱．底面是正多邊形的直棱柱稱為正棱柱．平行六面體的概念：底面是平行四邊形的棱柱稱為平行六面體.側(cè)棱與底面垂直的平行六面體稱為直平行六面體；底面是矩形的直平行六面體是長方體；棱長都相等的長方體是正方體. 想一想：長方體是棱柱嗎？如果是，滿足什么條件的棱柱才是長方體？答案：是.底面為矩形的直棱柱是長方體.追問1：那正方體呢？答案：棱長都相等的正棱柱是正方體.問題4：請同學(xué)們觀察下面棱柱，你能發(fā)現(xiàn)棱柱的哪些性質(zhì)？請大家相互以小組為單位討論.答案：（1）側(cè)棱都相等；（2）兩個底面與平行于底面的截面都是全等的多邊形；（3）過不相鄰兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形.總結(jié)：以上3條是棱柱的一些常用性質(zhì)，繼續(xù)學(xué)習(xí)后，后面可以證明.設(shè)計(jì)意圖：通過對幾何體的直觀分類，引出多面體的概念，再總結(jié)出棱柱的相關(guān)概念.通過形象的圖形讓學(xué)生直觀的體會棱柱的特征．想一想：觀察下列多面體，請同學(xué)們觀察這一類多面體有什么共同特征？答案：有一面是多邊形，其余各面都是三角形，且三角形有一個公共頂點(diǎn)．棱錐及其相關(guān)概念：上圖中的多面體，均由平面圖形圍成，其中一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體稱為棱錐． 棱錐的底面可以是三角形、四邊形、五邊形......這樣的棱錐分別稱為三棱錐、四棱錐、五棱錐......其中，三棱錐也稱四面體.（如上圖從左至右分別是三棱錐、四棱錐、五棱錐.）多邊形ABCDEF是棱錐的底面，簡稱底，其余各面稱為棱錐的側(cè)面，相鄰側(cè)面的公共邊稱為棱錐的側(cè)棱，各個側(cè)面的公共點(diǎn)稱為棱錐的頂點(diǎn)，頂點(diǎn)到底面的距離稱為棱錐的高.正棱錐及斜高的概念：如果棱錐的底面是正多邊形，且它的頂點(diǎn)在過底面中心且與底面垂直的直線上，那么這個棱錐稱為正棱錐．正棱錐的各側(cè)面都是全等的等腰三角形，這些等腰三角形底邊上的高都相等，稱為正棱錐的斜高．棱錐的表示：表示：棱錐可以用它的頂點(diǎn)和底面各頂點(diǎn)的字母來表示，也可以用頂點(diǎn)和底面一條對角線端點(diǎn)的字母來表示，如圖中的棱錐可以表示為棱錐S-ABCDEF或棱錐S-AC．問題5：棱錐有沒有類似棱柱的性質(zhì)呢？答案：棱錐的側(cè)棱相交于一點(diǎn)，如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似.設(shè)計(jì)意圖：通過形象的圖形，引出棱錐的相關(guān)概念，使學(xué)生形象的感知棱錐的相關(guān)特征．棱臺及其相關(guān)概念：用一個平行于底面的平面去截棱錐，截面與底面之間的部分稱為棱臺．原棱錐的底面和截面分別稱為棱臺的下底面和上底面，其余各面稱為棱臺的側(cè)面，相鄰兩個側(cè)面的公共邊稱為棱臺的側(cè)棱，上底面、下底面之間的距離稱為棱臺的高. 棱臺的分類：由三棱錐、四棱錐、五棱錐......所截得的棱臺，分別稱為三棱臺、四棱臺、五棱臺......正棱臺及斜高的概念：正棱錐截得的棱臺稱為正棱臺．正棱臺各側(cè)面都是全等的等腰梯形，這些等腰梯形的高稱為正棱臺的斜高．棱臺的表示：表示：棱臺可以用它的兩個底面各頂點(diǎn)的字母來表示，也可以用它的某一條對角線的兩個端點(diǎn)字母來表示，如圖中的棱臺可以表示為棱臺ABC-A1B1C1或棱臺AC1．思考：有兩個面平行的多面體一定是棱臺嗎？答案：不一定.追問1：如何判斷一個多面體是不是棱臺？答案：先看有沒有平行的兩個面，再延長側(cè)棱，看是否交于一點(diǎn).總結(jié)：判斷一個多面體是不是棱臺關(guān)鍵要看側(cè)棱延長后是否交于一點(diǎn).設(shè)計(jì)意圖：緊接著棱錐的學(xué)習(xí)，引出棱臺的相關(guān)概念，使學(xué)生形象的感知棱錐的相關(guān)特征，并理解棱錐與棱臺的關(guān)系．問題6：我們知道點(diǎn)動成線、線動成面、面動成體，想一想，球可以看成是由哪一個平面圖形通過怎樣運(yùn)動得到的呢？球面與球體及其相關(guān)概念：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將半圓旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面稱為球面．球面所圍成的幾何體稱為球體，簡稱球．半圓的圓心稱為球心，連接球心和球面上任意一點(diǎn)的線段稱為球的半徑，連接球面上兩點(diǎn)并且過球心的線段稱為球的直徑. 球的表示：球用表示它球心的字母來表示，如球O．追問：請同學(xué)們聯(lián)系平面中圓的性質(zhì)，猜想球體有哪些性質(zhì)？答案：（1）球面上所有的點(diǎn)到球心的距離都等于球的半徑；（2）用任何一個平面去截球面，得到的截面都是圓，其中過球心的平面截球面得到的圓的半徑最大，等于球的半徑.旋轉(zhuǎn)面、旋轉(zhuǎn)體的概念：一個平面曲線繞著它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)面，這條定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸．封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體稱為旋轉(zhuǎn)體．思考：前面我們分出的第二類幾何體是旋轉(zhuǎn)體嗎？如果是，它們分別是由什么平面圖形旋轉(zhuǎn)而來的？答案：第一個是直角梯形旋轉(zhuǎn)而來的，第二個是直角三角形旋轉(zhuǎn)而來的，第三個是長方形旋轉(zhuǎn)而來的.圓柱、圓錐、圓臺及其相關(guān)概念：分別以矩形的一邊、直角三角形的一條直角邊、直角梯形垂直于底邊的腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而形成的面所圍成的幾何體分別稱為圓柱、圓錐、圓臺．需要注意，與棱臺類似，圓臺也可以看作是用平行于圓錐底面的平面截這個圓錐而得到的. 在旋轉(zhuǎn)軸上的這條邊的長度稱為它們的高，垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面稱為它們的底面，不垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面稱為它們的側(cè)面，無論旋轉(zhuǎn)到哪里，旋轉(zhuǎn)成側(cè)面的邊都稱為側(cè)面的母線.圓柱、圓錐、圓臺的表示：表示：圓柱、圓錐、圓臺可以用表示它的旋轉(zhuǎn)軸的字母來表示，如圓柱O1O、圓錐SO、圓臺O1O．問題7：請大家聯(lián)系前面棱柱、棱錐、棱臺的性質(zhì)，思考圓柱、圓錐、圓臺有哪些性質(zhì)呢？答案：（1）平行于圓柱、圓錐、圓臺的底面的截面都是圓；（2）過圓柱、圓錐、圓臺旋轉(zhuǎn)軸的截面分別是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形.設(shè)計(jì)意圖：通過球體這個常見又容易理解的幾何體引出旋轉(zhuǎn)體的概念，并由于前面棱柱、棱錐、棱臺的學(xué)習(xí)，這里快速引出圓柱、圓錐、圓臺及其相關(guān)概念．三、應(yīng)用舉例例1根據(jù)下列關(guān)于空間幾何體的描述,說出幾何體的名稱:（1）由6個平行四邊形圍成的幾何體;（2）由7個面圍成,其中一個面是六邊形,其余6個面都是有一個公共頂點(diǎn)的三角形;（3）由5個面圍成的幾何體,其中上、下兩個面是相似三角形,其余三個面都是梯形,并且這些梯形的腰延長后能相交于一點(diǎn)．分析：根據(jù)棱柱、棱錐、棱臺的幾何結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行判斷．解：(1)這是一個上、下底面是平行四邊形,四個側(cè)面也是平行四邊形的四棱柱（或平行六面體）;(2)這是一個六棱錐,其中六邊形面是底,其余的三角形面是側(cè)面;(3)這是一個三棱臺,其中相似的兩個三角形面是底面,其余三個梯形面是側(cè)面． 例2一個正四棱臺的高是17cm,上、下底面邊長分別為4cm和16cm.求這個棱臺的側(cè)棱長和斜高．解：如圖所示,設(shè)棱臺的兩底面的中心分別是O1、O，B1C1和BC的中點(diǎn)分別是E1和E,連接O1O、E1E、O1B1、OB、O1E1、OE,則四邊形OBB1O1和OEE1O1都是直角梯形∵A1B1=4cm，AB=16cm,∴O1E1=2cm，OE=8cm,O1B1=22cm，OB=82cm，∴B1B2=O1O2+(OB-O1B1)2=361cm2E1E2=O1O2+(OE-O1E1)2=325cm2∴B1B=19cm，E1E=513cm∴這個棱臺的側(cè)棱長為19cm,斜高為513cm.設(shè)計(jì)意圖：通過例題，熟悉基本立體圖形的相關(guān)特征和性質(zhì)，并熟悉利用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行應(yīng)用．方法總結(jié)：畫圖是解決空間幾何問題的有效手段，問題能否解決，往往取決于圖能夠清晰明確的畫出來．四、課堂練習(xí)1．下列說法中正確的是（）A.斜棱柱的側(cè)面中可能有矩形B.有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐C.直角三角形繞它的一條邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐D.棱臺各側(cè)棱的延長線不一定交于一點(diǎn)2．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，AD=b，AA1=c，則AC1=. 3.若將圖中的平面圖形旋轉(zhuǎn)一周，試說出它形成的幾何體的結(jié)構(gòu)特征．參考答案：1．A.斜棱柱的側(cè)面中也可以有矩形,所以A正確;B.有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點(diǎn)的三角形,由這些面圍成的幾何體叫做棱錐,所以B錯誤;C.直角三角形繞它的一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐，所以C錯誤；D.棱臺是用平行于底面的平面截棱錐所得的幾何體，它的側(cè)棱延長后交于一點(diǎn)，所以D錯誤.故選：A．2.由勾股定理可得，AC1=AB2+BC2+CC12=AB2+AD2+AA12=a2+b2+c2故答案為a2+b2+c2.3.將圖中的平面圖形旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體是圓錐、圓臺和圓柱的組合體，并且圓錐底面與圓臺的下底面重合，圓柱的上底面和圓臺的上底面重合．?五、課堂小結(jié)1.點(diǎn)、線、面是構(gòu)成空間幾何體的基本要素．2.常見基本立體圖形有多面體和旋轉(zhuǎn)體．其中常見的多面體有棱柱、棱錐、棱臺；常見的旋轉(zhuǎn)體有球、圓柱、圓錐、圓臺． 六、布置作業(yè)教材第198頁練習(xí)第2，3題．