《平面與平面垂直(1)》示范公開課教案【高中數(shù)學(xué)必修第二冊北師大】.docx

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第六章立體幾何初步6.5.2平面與平面垂直（1）◆教學(xué)目標(biāo)1.理解二面角的有關(guān)概念，會求簡單的二面角的大?。?.理解兩平面垂直的定義，掌握平面與平面垂直的性質(zhì)定理及其應(yīng)用；3.通過對二面角和平面與平面垂直定義的理解，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；4.通過應(yīng)用平面與平面垂直的性質(zhì)定理，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)．◆教學(xué)重難點◆教學(xué)重點：二面角的概念及求法，面面垂直的定義和性質(zhì)定理．教學(xué)難點：面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用．◆教學(xué)過程一、新課導(dǎo)入情境：觀察下列各組圖片，這些圖片都給我們什么樣的印象呢？答案：平面與平面相交．為了解決實際問題，人們需要研究兩個平面所成的角．修筑水壩時，為了使水壩堅固耐用必須使水壩面與水平面成適當(dāng)?shù)慕嵌?；發(fā)射人造地球衛(wèi)星時，使衛(wèi)星軌道平面與地球赤道平面成一定的角度．為此，我們需要研究兩個平面所成的角．設(shè)計意圖：通過生活中面面相交的實例，給學(xué)生以面面相交的直觀印象，方便后面的學(xué)習(xí)．二、新知探究問題1：隨著門的開啟，其所在平面與墻所在平面的相交程度在變，怎樣描述這種變化呢？ 答案：引入平面與平面的夾角——二面角.一個平面內(nèi)的一條直線，把這個平面分成兩部分，其中的每一部分都稱為半平面．從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形稱為二面角，這條直線稱為二面角的棱，這兩個半平面稱為二面角的面.如圖，以直線AB（l）為棱、半平面α，β為面的二面角，記作二面角α-AB-β或α-l-β.問題2：日常生活中，我們常說：“把門開的大一些”是指哪個角大一些？答案：如圖，∠AOB、∠CDE等追問1：受此啟發(fā)，你認(rèn)為應(yīng)該怎樣刻畫二面角的大小呢？答案：用平面角的大小來刻畫二面角的大?。阂远娼堑睦馍先我稽c為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角稱為二面角的平面角.如圖中的∠AOB就是二面角α-l-β的平面角.平面角是直角的二面角稱為直二面角.說一說：教室的墻面與地面構(gòu)成二面角，分別指出構(gòu)成二面角的面、棱、平面角及其度數(shù).答案：二面角的面：墻面和地面；二面角的棱：墻面與地面的交線；二面角的平面角：如圖，∠AOB；∠AOB的度數(shù)：90°. 兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.平面α與β垂直，記作α⊥β.【概念鞏固】（1）二面角的平面角的大小，與棱上點的選擇是否有關(guān)？（2）二面角的棱與其平面角所在平面之間是什么關(guān)系？（3）二面角的取值范圍是多少？答案：（1）如圖，∠AOB是二面角α-l-β的平面角，在l上任取一異于O的點O′，分別作A′O′和B′O′與l垂直，∵A′O′⊥l，AO⊥l，∴AO∥A′O′，同理BO∥B′O′.又∠AOB與∠A′O′B′方向相同，∴∠AOB=∠A′O′B′.故二面角的平面角的大小，與棱上點的選擇無關(guān).（2）如圖，∠AOB是二面角α-l-β的平面角，∴AO⊥l，BO⊥l，又AO∩BO=O，AO?α，BO?β，∴l(xiāng)⊥平面ABO. （3）[0°，180°].當(dāng)平面角為0°時，兩半平面重合；當(dāng)平面角為180°時，兩半平面共面，組成了一整個平面.問題3：在教室里，黑板所在平面與地面所在平面垂直，你能否在黑板上畫一條直線與地面垂直？怎么畫？探究：不妨設(shè)黑板所在平面為α，地面所在平面為β，它們的交線為l.顯然，α⊥β.答案：在平面α內(nèi)作直線m⊥l，則m⊥β．問題4：如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，平面A1ADD1與平面ABCD垂直，直線A1A垂直于其交線AD，那么直線A1A與平面ABCD垂直嗎？答案：垂直．追問1：平面A1ADD1內(nèi)還有哪些直線與平面ABCD垂直？ 答案：D1D，其它與AD垂直的直線．追問2：根據(jù)前面我們的探究，你能猜想面面垂直有什么性質(zhì)嗎？答案：兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直.下面我們證明此猜想是否成立．已知：α⊥β，α∩β=MN，AB?β，AB⊥MN于點B.求證：AB⊥α.證明：在平面α內(nèi)作直線BC⊥MN，則∠ABC是二面角α-MN-β的平面角.∵α⊥β，∴∠ABC=90°，即AB⊥BC.又AB⊥MN，BC∩MN=B，BC?α，MN?α，∴AB⊥α.平面與平面垂直的性質(zhì)定理：兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直．符號語言：若α⊥β，α∩β=MN，AB?β，AB⊥MN于點B，則AB⊥α．注意：運用定理時三個條件缺一不可：①“面面垂直”，α⊥β；②“線在面內(nèi)”，AB?β；③“線線垂直”，AB⊥MN于點B.作用：此定理揭示了由“面面垂直”可以推出“線線垂直”.三、應(yīng)用舉例例1如圖，山坡的傾斜度（坡面與水平面所成二面角的度數(shù)）是60°，山坡上有一條直道CD，它和坡腳的水平線AB的夾角是30°，沿這條路上山，行走100m后升高多少米？（精確到0.1m） 解：在平面DBC內(nèi)，過點D作BC的垂線，垂足為點G，過點D作DH垂直于過BC的水平面，垂足為H，連接GH.∵DH⊥平面BCH，BC?平面BCH，∴DH⊥BC.又DG∩DH=D，DG、DH?平面DGH，∴BC⊥平面DGH.又GH?平面DGH，∴GH⊥BC.∴∠DGH就是坡面DGC與水平平面BCH所成的二面角的平面角，∠DGH=60°.∴DH=DGsin60°=CDsin30°sin60°=100sin30°sin60°=253≈43.3（m）.即沿直道前進(jìn)100m，升高約43.3m.例2如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，MN在平面B1BCC1內(nèi)，MN⊥BC于點M，判斷MN與AB的位置關(guān)系，并說明理由.解：由題意可知，平面B1BCC1⊥平面ABCD，交線為BC.∵M(jìn)N?平面B1BCC1，且MN⊥BC，∴MN⊥平面ABCD.又AB?平面ABCD，∴MN⊥AB.例3證明：如果兩個平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)的一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內(nèi).解：已知：如圖，α⊥β，P∈α，m⊥β.求證：m?α. 證明：假設(shè)m?α，如圖，設(shè)α∩β=c，過點P在平面α內(nèi)作直線n⊥c.∴n⊥β.已知m⊥β，m∩n=P，這與“過一點只有一條直線與平面β垂直”矛盾，∴m?α不成立.即m?α.設(shè)計意圖：通過例題，熟悉面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用以及定理應(yīng)用時的注意事項.四、課堂練習(xí)1．已知m、n、l是直線，α、β是平面，α⊥β，α∩β=l，n?β，n⊥l，m⊥α，則直線m與n的位置關(guān)系是（）A.異面B.相交但不垂直C.平行D.相交且垂直2．已知兩個平面垂直，下列命題錯誤的有.①一個平面內(nèi)任意一條直線必垂直于另一個平面內(nèi)的任意一條直線；②一個平面內(nèi)的任意一條直線必垂直于另一個平面的無數(shù)條直線；③一個平面內(nèi)的任一條直線必垂直于另一個平面；④過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面.3.如圖，在直二面角α-AB-β中，AC和BD分別在平面α和β上，它們都垂直于AB，且AB=4，AC=6，BD=8，則CD=. 4.在三棱錐P-ABC中，D、E分別為AB、AC的中點，且CA=CB.（1）證明：BC∥平面PDE；（2）若平面PCD⊥平面ABC，證明：AB⊥PC.參考答案：1.證明：∵α⊥β，α∩β=l，n?β，n⊥l，∴n⊥α.又m⊥α，∴m∥n.2.填①③④，理由如下：一個平面內(nèi)只有垂直于交線的直線和另一平面垂直，才和另一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直，故①③錯誤；因為另一個平面內(nèi)有無數(shù)條平行直線垂直于該平面，都與該直線垂直，故②正確；過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線，若點在交線上時，作交線的垂線，則垂線不一定在平面內(nèi)，此垂線不一定垂直于另一個平面，故④錯誤.3.答案為229，理由如下：連接BC，∵AC⊥AB，∴BC=AC2+AB2=62+42=213，在直二面角α-AB-β中，∵BD⊥AB，∴BD⊥平面α，∴BD⊥BC，∴CD=BC2+BD2=(213)2+82=229.4.（1）證明：∵D、E分別為AB、AC的中點，∴DE∥BC，又DE?平面PDE，BC?平面PDE，∴BC∥平面PDE.（2）證明：∵CA=CB，D為AB中點，AB⊥CD， 又平面PCD⊥平面ABC，平面PCD∩平面ABC=CD，∴AB⊥平面PCD，又PC?平面PCD，∴AB⊥PC.五、課堂小結(jié)1、從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形稱為二面角，這條直線稱為二面角的棱，這兩個半平面稱為二面角的面.2、以二面角的棱上任一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角稱為二面角的平面角.3、面面垂直的定義：兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.4、面面垂直的性質(zhì)定理：兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直. 符號語言：若α⊥β，α∩β=MN，AB?β，AB⊥MN于點B，則AB⊥α．注意：運用定理時三個條件缺一不可：①“面面垂直”，α⊥β；②“線在面內(nèi)”，AB?β；③“線線垂直”，AB⊥MN于點B.六、布置作業(yè)教材第233頁練習(xí)第1、2、4題．