江西省贛州市六校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期5月聯(lián)合測評數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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2023年高二5月聯(lián)合測評卷數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘；滿分：150分注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦于凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在等比數(shù)列中，，則的值為（）A.48B.72C.147D.192【答案】C【解析】【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】數(shù)列是等比數(shù)列，則，，故．故選：C．2.某班學(xué)生的一次數(shù)學(xué)考試成績（滿分：100分）服從正態(tài)分布：，且，則（）A.0.14B.0.22C.0.23D.0.26【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，結(jié)合題設(shè)條件，即可求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)學(xué)考試成績服從且，所以， 又因?yàn)?，所以．故選：B3.已知是空間的一個(gè)基底，則可以與向量，構(gòu)成空間另一個(gè)基底的向量是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間基底、空間向量共面等知識(shí)確定正確答案.【詳解】因?yàn)?，，，所以向量，，均與向量，共面．故選：C4.已知命題：直線與平行，命題，則是的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行滿足的關(guān)系可得命題等價(jià)于或，結(jié)合充分不必要條件的判斷即可求解.【詳解】直線與平行，則，解得或，所以命題等價(jià)于或，命題．則由命題不能得到命題，但由命題可得到命題，則是的充分不必要條件．故選：A．5.已知，則（） A0B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求導(dǎo)函數(shù)，把代入求得，然后求得.【詳解】由已知，則，即，所以．故選：D．6.如圖所示，點(diǎn)是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，雙曲線的右支上存在一點(diǎn)滿足與雙曲線的左支的交點(diǎn)平分線段，則雙曲線的漸近線斜率為（）A.3B.C.D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，則，由雙曲線的定義得，，根據(jù)，列出方程求得，在直角中，利用勾股定理求得，進(jìn)而求得雙曲線的漸近線．【詳解】設(shè)，則，由雙曲線的定義得，，又由得，即，解得，所以，在直角中，由勾股定理得，即， 整理得，則，雙曲線的漸近線斜率為．故選：B．7.已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，若，數(shù)列的首項(xiàng)，則（）A.B.C.2023D.【答案】A【解析】【分析】通過對二項(xiàng)展開式賦值求解出的值，然后通過所給的條件變形得到為等差數(shù)列，從而求解出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而即得.【詳解】令，得.又因?yàn)?，所?由，得，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以，所以.故選：A.8.已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用轉(zhuǎn)化思想，將代換，代換，則，滿足：，即 ，再以代換，可得點(diǎn)，滿足．因此求的最小值，即為求曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值的平方．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，研究曲線和直線平行的切線性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：代換代換，則滿足：，即，以代換，可得點(diǎn)，滿足.因此求的最小值，即為求曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值的平方.設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，，則，解得，切點(diǎn)為.點(diǎn)到直線距離，則的最小值為.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，問題轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.在上單調(diào)遞增B.在上單調(diào)遞減 C.在處取得極小值D.在處取得極大值【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性和極值的關(guān)系求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，由圖可知時(shí)，，單調(diào)遞增，故A正確；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，故C正確；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，故D正確.故選：ACD.10.在等差數(shù)列中，．現(xiàn)從數(shù)列的前10項(xiàng)中隨機(jī)抽取3個(gè)不同的數(shù)，記取出的數(shù)為正數(shù)的個(gè)數(shù)為．則下列結(jié)論正確的是（）A.服從二項(xiàng)分布B.服從超幾何分布C.D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得前10項(xiàng)中有6個(gè)正數(shù)，即可求解從而可判斷服從超幾何分布，即可判斷ABC,由超幾何分布的期望計(jì)算即可判斷D. 【詳解】依題意，等差數(shù)列公差，則通項(xiàng)為，由得，即等差數(shù)列前10項(xiàng)中有6個(gè)正數(shù)，的可能取值為的事件表示取出的3個(gè)數(shù)中有個(gè)正數(shù)，（）個(gè)非正數(shù)，因此，不服從二項(xiàng)分布，服從超幾何分布，不正確，B正確；錯(cuò)誤；由題正確．故選：．11.已知數(shù)列滿足，其中，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列四個(gè)結(jié)論中，正確的是（）A.數(shù)列的通項(xiàng)公式為：B.數(shù)列為遞減數(shù)列C.D.若對于任意的都有，則【答案】BC【解析】【分析】先求出，根據(jù)前項(xiàng)和與項(xiàng)關(guān)系，推得時(shí)，，檢驗(yàn)，即可得出通項(xiàng)公式，判斷A項(xiàng)；作差法，即可判斷數(shù)列的單調(diào)性；裂項(xiàng)可得，求和即可得出；由C項(xiàng)，可知，即可判斷D項(xiàng).【詳解】對于A項(xiàng)，由可得：當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，有，，兩式相減得：，即.當(dāng)時(shí)，滿足，綜上所述：，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)恒成立，故，即數(shù)列為遞減數(shù)列，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)，因?yàn)閷θ我夂愠闪ⅲ?，所以對于任意的都有，則，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.12.已知函數(shù)是其導(dǎo)函數(shù)，恒有，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】令，求導(dǎo)后可判斷函數(shù)為增函數(shù)，利用單調(diào)性可依次判斷各選項(xiàng). 【詳解】由題意得：令，于是其導(dǎo)數(shù)．又函數(shù)是其導(dǎo)函數(shù)，恒有，即，所以，即函數(shù)為增函數(shù)．對于選項(xiàng)A：由，有，即，于是，故A正確；對于選項(xiàng)B：由，有，即，于是，故B正確；對于選項(xiàng)C：由，有，即，于是，無法比較與的大小關(guān)系，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：由，有，即，于是，即，故D正確.故選：ABD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知、的對應(yīng)值如下表所示：02468111若與線性相關(guān)，且回歸直線方程為，則_______．【答案】 【解析】【分析】求出、，根據(jù)回歸直線方程經(jīng)過樣本中心點(diǎn)，代入計(jì)算可得.【詳解】由表可知，，因?yàn)榛貧w直線方程經(jīng)過樣本中心點(diǎn)，所以，解得．故答案為：．14.將甲、乙、丙、丁四人排成一行，其中甲不排第一，乙不排第二，丙不排第三，丁不排第四，滿足要求的不同排法有______種．【答案】【解析】【分析】按照分步乘法原理分步驟進(jìn)行安排即可得答案.【詳解】甲不排第一，所以第一個(gè)位置排乙、丙、丁有3種情況，如果第一個(gè)位置排乙，不論二、三、四哪個(gè)位置安排甲，丙、丁也就確定了，也對應(yīng)于3種情況，根據(jù)乘法原理可得不同的排法有（種）.故答案為：.15.設(shè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，，且，則______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)化簡計(jì)算作答.【詳解】等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，，所以.故答案為：16.若關(guān)于x的不等式恒成立，則的最小值是________________. 【答案】【解析】【分析】由函數(shù)的定義域進(jìn)行參變分離可得恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值，即可求出的最小值.【詳解】由于，則原不等式可化為，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，遞增；，，遞減，可得在處取得極大值，且為最大值.所以，則a的最小值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查抽象概括、運(yùn)算求解等數(shù)學(xué)能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想方法.本題的關(guān)鍵是將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知函數(shù)在處取得極值-14.（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)在上的最值.【答案】（1）（2）最小值為-14，最大值18【解析】【分析】（1）由極值和極值點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出未知系數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點(diǎn)處切線的方程.（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)在區(qū)間上的最值.【小問1詳解】因，故由于在處取得極值-14，故有，化簡得，解得， 經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，符合題意，所以.則，，故.所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即【小問2詳解】，，解得或；解得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，，因此在的最小值為.最大值為18.2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，在11月21日至12月18日在卡塔爾境內(nèi)舉行．足球運(yùn)動(dòng)是備受學(xué)生喜愛的體育運(yùn)動(dòng)，某校開展足球技能測試，甲參加點(diǎn)球測試，他每次點(diǎn)球成功的概率均為．現(xiàn)他有3次點(diǎn)球機(jī)會(huì)，并規(guī)定連續(xù)兩次點(diǎn)球不成功即終止測試，否則繼續(xù)下一次點(diǎn)球機(jī)會(huì)．已知甲不放棄任何一次點(diǎn)球機(jī)會(huì)．（1）求甲恰好用完3次點(diǎn)球機(jī)會(huì)的概率；（2）甲每次點(diǎn)球成功一次，可以獲得50積分，記其獲得的積分總和為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，85.2【解析】【分析】（1）利用對立事件的概率公式求解即可；（2）由題意可得的所有可能取值為，然后求出各自對應(yīng)的概率，從而可求出的分布列和數(shù)學(xué)期望．【小問1詳解】設(shè)事件：恰好用完3次機(jī)會(huì)，事件：前2次均不成功，依題意得，．【小問2詳解】易知的所有可能取值為， ，，，，所以的分布列為050100150所以19.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）分類討論與兩種情況，利用數(shù)列遞推式的性質(zhì)，結(jié)合作差法即可求得；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，利用錯(cuò)位相減法求得，由此得證.【小問1詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，， 因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，兩式相減得，，因?yàn)?，所以，?jīng)檢驗(yàn)，上式對于也適合，所以的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】由（1）得，所以，，兩式相減得，所以，由于，顯然，所以.20.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為菱形，，Q為AD的中點(diǎn)，． （1）點(diǎn)M在線段PC上，，求證：平面MQB；（2）在（1）的條件下，若，求直線PD和平面MQB所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接交于，連接，利用，可得，進(jìn)而可得，從而根據(jù)線面平行的判斷定理即可證明；（2）在平面內(nèi)作于，證明平面，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)直線和平面所成角為，利用向量法即可求解.【小問1詳解】證明：連接交于，連接，因?yàn)?，所以，所以，所以，又，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面MQB； 【小問2詳解】解：連接，由題意，都是等邊三角形，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，又，所以平面，，在中，，所以，在平面內(nèi)作于，則，由平面，所以，又，所以平面，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則， 由，可得，所以，設(shè)平面的法向量,則，可取，則，直線的方向向量，設(shè)直線和平面所成角為，則，所以，即直線和平面所成角的余弦值等于.21.已知函數(shù)，（其中）．（1）討論的單調(diào)性；（2）對于任意，都有成立，求a的取值范圍．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）先求出，再討論，，和時(shí)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)及函數(shù)的單調(diào)性；（2）由對于任意，都有成立等價(jià)于對于任意，，構(gòu)造，其中，由導(dǎo)數(shù)求出的最大值，即可得出的取值范圍．【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，其中，所以，令，得或，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，， 故函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．【小問2詳解】對于任意，都有成立對于任意，，即對于任意，對于任意，，設(shè)，其中，則，因?yàn)?，所以，所以，所以在單調(diào)遞增，所以，所以，即．22.已知的兩頂點(diǎn)坐標(biāo)． （1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）不垂直于軸的動(dòng)直線與軌跡相交于兩點(diǎn)，定點(diǎn)，若直線關(guān)于軸對稱，求面積的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由橢圓的定義即可判斷軌跡為橢圓，即可由橢圓的性質(zhì)求解方程.（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，由韋達(dá)定理，結(jié)合斜率公式可得直線經(jīng)過定點(diǎn)，進(jìn)而由面積公式，結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】由，所以，因此動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，且去掉橢圓與軸的交點(diǎn)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，解得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為．小問2詳解】由題意可知直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，把代入橢圓方程可得：， ，化為．，直線關(guān)于軸對稱，，即，且，則，即，所以，化簡得，所以，故直線經(jīng)過定點(diǎn)．令，由于在上單調(diào)遞增，所以，故因此，．【點(diǎn)睛】圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.