江西省部分學(xué)校2023屆高三聯(lián)考數(shù)學(xué)（文） Word版含解析.docx

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高三文科數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集，若集合，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合交并補(bǔ)的運(yùn)算法則求解.【詳解】由，得，所以；故選：C.2.已知復(fù)數(shù)，其中，則（）A.1B.2C.3D.【答案】C【解析】【分析】先求出共軛復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)乘法法則計(jì)算.【詳解】，由，得，，解得.故選：C.3.為提升學(xué)校教職工的身體素質(zhì)，某校工會(huì)組織學(xué)校600名教職工積極參加“全民健身運(yùn)動(dòng)會(huì)”，該運(yùn)動(dòng)會(huì)設(shè)有跳繩、仰臥起坐、俯臥撐、開(kāi)合跳、健步走五個(gè)項(xiàng)目，教職工根據(jù)自己的興趣愛(ài)好最多可參加其中一個(gè)，參加各項(xiàng)目的人數(shù)比例的餅狀圖如圖所示，其中參加俯臥撐項(xiàng)目的教職工有75名，參加跳繩項(xiàng)目的教職工有125名，則該校（　　） A.參加該運(yùn)動(dòng)會(huì)的教職工的總?cè)藬?shù)為450B.參加該運(yùn)動(dòng)會(huì)的教職工的總?cè)藬?shù)占該校教職工人數(shù)的80%C.參加開(kāi)合跳項(xiàng)目的教職工的人數(shù)占參加該運(yùn)動(dòng)會(huì)的教職工的總?cè)藬?shù)的12%D.從參加該運(yùn)動(dòng)會(huì)的教職工中任選一名，其參加跳繩或健步走項(xiàng)目的概率為0.6【答案】D【解析】【分析】根據(jù)餅狀圖結(jié)合頻數(shù)與頻率的關(guān)系判斷A，B，C，根據(jù)古典概型概率公式判斷D.【詳解】參加該運(yùn)動(dòng)會(huì)的教職工的總?cè)藬?shù)為，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，參加該運(yùn)動(dòng)會(huì)教職工的總?cè)藬?shù)與該校教職工人數(shù)的比值為，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由已知參加跳繩項(xiàng)目的教職工的人數(shù)占比，所以參加開(kāi)合跳項(xiàng)目的教職工的人數(shù)占比，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.參加參加跳繩或健步走項(xiàng)目的教職工的人數(shù)為，所以任選一名，其參加跳繩或健步走項(xiàng)目的概率，故選項(xiàng)D正確；故選：D.4.已知雙曲線的一條漸近線的方程為，則的值為（）A.B.C.4D.6【答案】B【解析】【分析】首先令，得出，再根據(jù)其漸進(jìn)線方程得出，即求得的值．【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線， 所以令，得，又因?yàn)槠湟粭l漸近線的方程為，所以，所以，解得，故選：B．5.（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式及余弦的二倍角公式可得答案.【詳解】注意到，.則原式.故選：A.6.如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)的部分圖象，則該函數(shù)是（　　）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及特殊值的函數(shù)值，結(jié)合已知函數(shù)圖象，即可選擇.【詳解】由題圖可知該函數(shù)為偶函數(shù)，時(shí)的函數(shù)值接近于1，對(duì)于A，，，函數(shù)為奇函數(shù)，故排除A；對(duì)于B，時(shí)，，故排除B；對(duì)于C，時(shí)，接近于1，故C符合；對(duì)于D，時(shí)，，故排除D；故選：C.7.《九章算術(shù)》中有如下問(wèn)題：“今有圓亭（圓亭可看作圓臺(tái)），下周三丈，上周二丈，高一丈.”則該圓亭的側(cè)面積為（　　）A平方丈B.平方丈C.平方丈D.平方丈【答案】B【解析】【分析】由條件求圓臺(tái)的底面半徑和側(cè)棱長(zhǎng)，再由圓臺(tái)側(cè)面積公式求解.【詳解】如圖，ABCD是圓臺(tái)的軸截面，O，H分別為AB，CD的中點(diǎn)，則，過(guò)點(diǎn)C作于G，由題意知丈，丈，丈，得BC=（丈），所以該圓亭的側(cè)面積為所以（平方丈）. 8.已知，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可比較大小.【詳解】因?yàn)?，所?故選:D9.在平面四邊形中，，若，則（）A.B.C.D.2【答案】B【解析】【分析】設(shè)，建立以所在直線為軸，的垂直平分線為軸的平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量的坐標(biāo)法即可得答案.【詳解】設(shè)，如圖，以所在直線為軸，的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，因?yàn)?，所以，所?解得，所以.故選：B 10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)周期的計(jì)算可判斷A，根據(jù)對(duì)稱軸以及對(duì)稱中心可判斷BC，代入驗(yàn)證的表達(dá)式可判斷D.【詳解】由，得的最小正周期為，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)?，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)?，所以關(guān)于直線對(duì)稱，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)槎?，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：D11.已知三點(diǎn)在球的球面上，且，若球上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)所在平面的距離的最大值為，則球的表面積為（）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可得當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時(shí)，與在球的大圓截面且，根據(jù)勾股定理求出球的半徑，代入表面積公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，則外接圓的半徑為，當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時(shí)，與在球的大圓截面且，所以球的半徑滿足：，解得，所以球的表面積為.故選：B.12.已知正數(shù)滿足，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意將已知條件化簡(jiǎn)可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求解.【詳解】由得，令，則，因?yàn)椋院瘮?shù)在上單調(diào)遞增，則有，即.故選：A.二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若滿足約束條件，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】【解析】 【分析】作出可行域，令，由幾何意義得出最值.詳解】作出可行域如圖中陰影部分所示，令，平移直線，則當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，取最小值，所以的最小值為.故答案為：14.若直線與曲線相切，則___________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由曲線可得，則，解得，所以故答案為：215.橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為、、、，若四邊形的內(nèi)切圓恰好過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，則橢圓的離心率是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意和四邊形 內(nèi)切圓的性質(zhì)，分析可得其內(nèi)切圓的半徑的大小等于橢圓的半焦距的長(zhǎng)度，進(jìn)而得到關(guān)于、的方程進(jìn)行求解.【詳解】易知邊的直線方程為：，即，則平行四邊形的內(nèi)切圓的圓心是橢圓的中心，半徑為中心到直線的距離，又因?yàn)樗倪呅蔚膬?nèi)切圓恰好過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，所以，即，即，即，即，解得或（舍），則.故答案為：.16.在中，點(diǎn)在邊上，，則邊的最小值為_(kāi)_________.【答案】1【解析】【分析】在中，利用余弦定理求出的關(guān)系，再結(jié)合基本不等式求最值.【詳解】令，則，又，在 中，由余弦定理可得，化簡(jiǎn)整理得，因?yàn)?，所以，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為1.故答案為：1三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22?23題為選做題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且時(shí)，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】根據(jù)與的關(guān)系，求出通項(xiàng)公式；運(yùn)用分組求和法求和.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闀r(shí)，，所以時(shí)，，兩式相減可得：，所以時(shí)，，又，，，即是首項(xiàng)為1，公比為2等比數(shù)列，所以的通項(xiàng)公式為；【小問(wèn)2詳解】由（1）知.所以 .所以數(shù)列的前項(xiàng)和；綜上，，.18.據(jù)統(tǒng)計(jì)，某校高三打印室月份購(gòu)買的打印紙的箱數(shù)如表：月份代號(hào)t1234打印紙的數(shù)量y（箱）60657085（1）求相關(guān)系數(shù)r，并從r的角度分析能否用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系（若，則線性相關(guān)程度很強(qiáng)，可用線性回歸模型擬合）；（2）建立y關(guān)于t的回歸方程，并用其預(yù)測(cè)5月份該校高三打印室需購(gòu)買的打印紙約為多少箱.參考公式：對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，相關(guān)系數(shù)參考數(shù)據(jù)：【答案】（1）0.957，線性相關(guān)程度很強(qiáng)，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系；（2），90箱.【解析】【分析】（1）利用相關(guān)系數(shù)公式結(jié)合條件即得；（2）根據(jù)最小二乘法可得線性回歸直線方程，然后將代入回歸方程即得.【小問(wèn)1詳解】 由已知數(shù)據(jù)可得，又，，所以，因?yàn)?，所以線性相關(guān)程度很強(qiáng)，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，，所以y關(guān)于t的回歸方程為，將代入回歸方程，得箱，所以預(yù)測(cè)5月份該校高三打印室需購(gòu)買的打印紙約為90箱.19.如圖，三棱柱中，是的中點(diǎn)，. （1）證明：平面；（2）若，點(diǎn)到平面的距離為，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)是的中點(diǎn)得到，利用線面垂直的判定得到平面，進(jìn)而得到，再利用線面垂直的判定即可證明；（2）根據(jù)線面垂直的判定得到平面，進(jìn)而得到面面垂直，利用面面垂直的性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，進(jìn)而得到平面，求出所需的各邊長(zhǎng)，進(jìn)而計(jì)算即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)?，平面，所以平?【小問(wèn)2詳解】由（1）知，平面，所以平面，因?yàn)?，所以，取的中點(diǎn)，連接， 可得，所以平面即為平面，又平面，所以平面平面，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則平面，所以，在三棱柱中，四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以?因?yàn)槠矫?，所以因?yàn)椋?20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間（2）【解析】【分析】（1）對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，二次求導(dǎo)研究導(dǎo)函數(shù)值的符號(hào)，確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）存在極值點(diǎn)，，即存在變號(hào)實(shí)根，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性并分析，求范圍即可.【小問(wèn)1詳解】的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間.【小問(wèn)2詳解】存在極值點(diǎn)等價(jià)于存在變號(hào)零點(diǎn)，等價(jià)于存在變號(hào)實(shí)根，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，所以，所以單調(diào)遞減，令，所以，令，解得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值即最小值，所以，所以，當(dāng)無(wú)限趨向于0時(shí)，趨向于正無(wú)窮大，當(dāng)無(wú)限趨向于正無(wú)窮大時(shí)，趨向于0，所以，即. 故實(shí)數(shù)的取值范圍為.21.已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且.（1）求拋物線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)分別作兩條互相垂直的直線與拋物線分別交于與，記的面積分別為，求的最小值.【答案】（1）（2）32【解析】【分析】（1）利用定義法求出拋物線的方程；（2）拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)：過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，設(shè)其方程為，與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，求出面積的表達(dá)式，然后將式子代入，利用基本不等式即可求解.【小問(wèn)1詳解】由，知，所以，所以拋物線的方程為.【小問(wèn)2詳解】由題意知直線與的斜率均不為0，設(shè)，聯(lián)立消去得，則，因?yàn)?，用替換得所以，，所以 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為32.（二）選做題：共10分.請(qǐng)考生在22?23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為（1）求的普通方程與的直角坐標(biāo)方程；（2）求與交點(diǎn)的極坐標(biāo).【答案】（1）C的普通方程為，的直角坐標(biāo)方程為；（2），.【解析】【分析】（1）結(jié)合三角函數(shù)恒等變換消去參數(shù)可得的普通方程，利用將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程；（2）聯(lián)立方程組求交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，再將其轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo).【小問(wèn)1詳解】因?yàn)樗缘?. 由，得，所以，所以所以C的普通方程為，l的直角坐標(biāo)方程為.【小問(wèn)2詳解】聯(lián)立得或，所以l與C交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為，，設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，，，則，，所以，，所以點(diǎn)的極坐標(biāo)為，同理可得點(diǎn)的極坐標(biāo)為，故與交點(diǎn)的極坐標(biāo)為，.[選修4-5：不等式選講]23.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）+∞）（2） 【解析】【分析】（1）分區(qū)間討論去掉絕對(duì)值號(hào)解不等式即可；（2）根據(jù)所給區(qū)間去掉絕對(duì)值號(hào)轉(zhuǎn)化為恒成立，再轉(zhuǎn)化為即可得解.【小問(wèn)1詳解】時(shí)，，當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，解得，所以；.當(dāng)時(shí)，等價(jià)于解得，不符合，舍去；當(dāng)時(shí)，等價(jià)于解得，所以綜上，不等式的解集為+∞）.【小問(wèn)2詳解】時(shí)，等價(jià)于，所以恒成立，所以，即在時(shí)恒成立，所以，解得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.