湖南省部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期入學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)Word版含解析.docx

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2024屆高三入學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁.全卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4.考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A.B.C.D.2.若復(fù)數(shù)z滿足，則在復(fù)平面內(nèi)，z對應(yīng)的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.已知圓臺的上、下底面圓半徑分別為1和2，圓臺的高為3，則圓臺的體積為（）A.B.C.D.4.若圓心在第一象限的圓過點，且與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為（）A.1B.C.2D.5.已知函數(shù).若，且，則的取值范圍為（）A.B.C.D.6.已知函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且關(guān)于點對稱，則的值為（）A.B.C.D.7. 甲、乙兩位游客慕名來到張家界旅游，準(zhǔn)備從天門山、十里畫廊、袁家界、大峽谷4個景點中隨機(jī)選擇其中一個，在甲、乙兩位游客選擇的景點不同的條件下，恰好有一名游客選擇大峽谷景點的概率為（）A.B.C.D.8.已知函數(shù)，其中，則“”是“函數(shù)有兩個極值點”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積等于各組的頻數(shù)B.數(shù)據(jù)1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位數(shù)為10C.在殘差圖中，若樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)的點分布的帶狀區(qū)域越狹窄，說明該模型的擬合精度越高D.若隨機(jī)變量，，則10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，阿基米德螺線與坐標(biāo)軸依次交于點，，，，，…，則下列結(jié)論正確的是（）A.點的坐標(biāo)為B.的面積為56C.（其中）D.若的面積為169，則n的值為1211.如圖，在棱長為1的正方體中，M，N分別是AB，AD的中點，P為線段上的動點（含端點），以正方體中心O為球心的球與正方體的每條棱有且只有一個公共點，則下列結(jié)論正確的是（）A.球O的表面積為 B.球O在正方體外部的體積小于C.存在點P，使得D.直線NP與平面ABCD所成角的正切值的最小值為12.已知拋物線C：的焦點為，P是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的點，過點P且斜率為的直線交拋物線C的準(zhǔn)線l于點Q，點P在準(zhǔn)線l上的射影為點R.若，則下列結(jié)論正確的是（）A.拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為B.C.D.四邊形FPRQ的面積為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若向量，滿足，，則向量與的夾角為______.14.已知，則的值為______.15.已知函數(shù)的定義域為，是奇函數(shù)，，，則______.16.已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，左、右頂點分別為，，以為直徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于點P，且，則雙曲線C的離心率為______.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.17.（本小題滿分10分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且.（1）求的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的前n項和.18.（本小題滿分12分）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求角B的大??； （2）若B的角平分線交AC于點D，且，求面積的最小值.19.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，，，，E為PC的中點.（1）求證：平面PAD；（2）若，平面平面ABCD，求二面角的余弦值.20.（本小題滿分12分）某人準(zhǔn)備應(yīng)聘甲、乙兩家公司的高級工程師，兩家公司應(yīng)聘程序都是：應(yīng)聘者先進(jìn)行三項專業(yè)技能測試，專業(yè)技能測試通過后進(jìn)入面試.已知該應(yīng)聘者應(yīng)聘甲公司，每項專業(yè)技能測試通過的概率均為；該應(yīng)聘者應(yīng)聘乙公司，三項專業(yè)技能測試通過的概率依次為，，m，其中.技能測試是否通過相互獨立.（1）若，分別求該應(yīng)聘者應(yīng)聘甲、乙兩家公司，三項專業(yè)技能測試恰好通過兩項的概率；（2）若甲、乙兩家公司的招聘在同一時間進(jìn)行，該應(yīng)聘者只能應(yīng)聘其中一家，若以專業(yè)技能測試通過項目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，該應(yīng)聘者更希望通過乙公司的技能測試，求m的取值范圍.21.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）若，，求a的取值范圍；（2）當(dāng)時，記函數(shù)的最大值為M，證明：.22.（本小題滿分12分）已知橢圓C：的左、右焦點別為，，離心率為，P是橢圓C上一動點，面積的最大值為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）不過原點O的動直線l與橢圓C交于A，B兩點，平面上一點D滿足，連接BD交橢圓 C于點E（點E在線段BD上且不與端點重合），若，求原點O到直線l的距離的取值范圍.2024屆高三入學(xué)摸底考試·數(shù)學(xué)參考答案1.【答案】A【解析】由不等式，可得，即集合，又集合，所以.故選A.2.【答案】B【解析】因為，所以，所以，所以z對應(yīng)的點位于第二象限，故選B.3.【答案】C【解析】由已知圓臺的體積為，故選C.4.【答案】D【解析】由題設(shè)可設(shè)圓心為，則圓的半徑為a.故圓的方程為，再把點代入得，解得，故圓的方程為，故所求圓的圓心為，故圓心到直線的距離.故選D.5.【答案】D【解析】由得.根據(jù)函數(shù)的圖象及，得，，所以.令，根據(jù)對勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)易得在上單調(diào)遞增，所以.故，故選D. 6.【答案】B【解析】因為函數(shù)的兩條相鄰的對稱軸之間的距離為，所以，即，解得，從而，即，所以，解得，，又，所以，故選B.7.【答案】C【解析】記事件A：甲和乙選擇的景點不同，事件B：甲和乙恰好有一人選擇大峽谷景點，由題知，，，所以，故選C.8.【答案】B【解析】由題意知：定義域為，，令，則，令，則，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時，恒成立，∴大致圖象如圖所示，則當(dāng)，即時，與有兩個不同交點，此時有兩個零點，所以有兩個極值點；因為時，成立，有兩個極值點，但時，若，，所以沒有極值點，所以 是函數(shù)有兩個極值點的必要不充分條件，故選B.9.【答案】BCD【解析】對于A，在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，故A錯誤；對于B，因為，故該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為第6個數(shù)和第7個數(shù)的平均數(shù)10，故B正確；對于C，由殘差定義，如果樣本數(shù)據(jù)點分布的帶狀區(qū)域越狹窄，說明該模型的擬合精度越高，故C正確；對于D，根據(jù)正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì)知，∴，，，故D正確.故選BCD.10.【答案】ACD【解析】由題意，螺線與坐標(biāo)軸依次交于，，，，，…，可知，故選項A正確；可得，，，所以，故選項C正確；的面積為，故選項B錯誤；因為，又的面積為169，可得，解得.故選項D正確.故選ACD.11.【答案】ACD【解析】對于A，如下圖所示，正方體的棱切球O的半徑，所以球O的表面積為，故A正確；對于B，若球體、正方體的體積分別為，，球O在正方體外部的體積 ，故B錯誤；對于C，設(shè)CD中點為Q，連接MQ，PQ，若P為中點，則平面ABCD，MN在面ABCD內(nèi)，所以，在中，，，所以，故，因為，PQ，平面NPQ，所以平面NPQ，因為平面NPQ，所以，故C正確；對于D，過點P作平面ABCD，連接NH，則直線NP與平面ABCD所成角為，所以，當(dāng)P在時，，所以，故D正確.故選ACD.12.【答案】ABD【解析】由已知，故A正確；因為點P在準(zhǔn)線l上的射影為點R，即，所以，因為，即PQ為的角平分線，所以，故B正確；點Q是斜率為的直線與拋物線準(zhǔn)線的交點，，如圖所示，設(shè)，則直線PQ為 ，令，得，由，整理可得，則，得，故，故選項C錯誤；由，得直線PQ為，令得，又，從而，所以四邊形FPRQ的面積為，故D正確.故選ABD.13.【答案】【解析】設(shè)向量，夾角為，由已知，得，又，所以.14.【答案】【解析】因為，所以，所以，所以，所以.15.【答案】2【解析】因為是奇函數(shù)，所以，又，可得，所以，所以，所以是周期為4的周期函數(shù)，因為，所以，， 所以.16.【答案】【解析】連接OP，由已知，在中，，在中，，則，又，則由余弦定理得，解得，由知，即（由題意，聯(lián)立方程，可求得點P的坐標(biāo)為），所以在中，，即，則，所以雙曲線C的離心率.17.【解析】（1）由已知為等差數(shù)列，記其公差為d.當(dāng)時，，兩式相減得，……2分所以，解得，……3分當(dāng)時，，得，所以，……4分所以；……5分（2）由（1）知，所以，……7分又，所以數(shù)列是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，……8分所以（或；）.……10分18.【解析】（1）因為，所以……1分 ，所以，……3分由于，則，所以，……4分即，又，所以；……6分（2）因為B的角平分線交AC于點D，且，，根據(jù)三角形面積公式可得，……8分又，得，得，當(dāng)時等號成立，……10分所以，即的面積最小值為.……12分19.【解析】（1）取CD的中點O，連接EO，BO，∵E為PC中點，∴，而平面PAD，平面PAD，∴平面PAD，……2分∵，，∴，又，∴，∴,∴為等邊三角形，∴，又，∴，……4分而平面PAD，平面PAD，∴平面PAD，又，∴平面平面PAD，而平面EOB，∴平面PAD；……6分（2）∵，∴.∵平面平面ABCD，∴平面ABCD，又為等邊三角形，∴，……7分∵在中，，，∴，∵，∴，在等邊中，∵，∴，.……8分以O(shè)為坐標(biāo)原點，OB，OD，OP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則，，，，∴，，，……9分設(shè)平面PCB的法向量為， 所以，令，則，……10分∵，∴平面ABCD，平面平面ABCD，∴平面ABCD，∴平面PCD的一個法向量為，……11分∴，故二面角的余弦值為.……12分另解：又為等邊三角形，∴，又平面平面ABCD，平面平面，∴平面PCD，過點O作，連接BH，則，故為二面角的平面角.……9分∵在中，，，∴，∵，∴，在等邊中，∵，∴，.∴，，……11分所以.故二面角的余弦值為.……12分20.【解析】（1）設(shè)該應(yīng)聘者應(yīng)聘甲公司恰好通過兩項技能測試為事件A，應(yīng)聘乙公司恰好通過兩項技能測試為事件B，根據(jù)題意可得，……2分 ；……5分（2）設(shè)該應(yīng)聘者應(yīng)聘甲公司通過的項目數(shù)為X，應(yīng)聘乙公司通過的項目數(shù)為Y，根據(jù)題意可知，，則，……6分，……7分，……8分，，……9分則隨機(jī)變量Y的分布列為Y0123P……10分，……11分若，則，故，即m的取值范圍是.……12分21.【解析】（1）由，，得，……1分令，，則，……2分又時，，可知，所以在上單調(diào)遞減，……4分所以，故；……5分（2）由可知的定義域為， 因為，……6分，所以在上單調(diào)遞減，……7分，，存在，使得，即，……8分當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以在處取得唯一極大值，也是最大值，……9分所以，……10分令，，則，單調(diào)遞增，……11分故，所以.……12分22.【解析】（1）設(shè)橢圓半焦距為c，點，則，則，即.……2分又，，求得，，，……3分所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；……4分（2）如圖所示，設(shè)，，當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l：，與聯(lián)立可得，且有，， .……5分，……6分由可得點A為OD中點，可得，且有，所以可得，即點E的坐標(biāo)為，……7分將點E代入橢圓，可得，化簡后，得，……8分由于點A，B分別滿足，，代入上式可得，即.……9分代入韋達(dá)定理可得，滿足（*）式，……10分點O到直線l的距離，由于，可得，，所以；……11分當(dāng)直線l的斜率不存在時，此時有，，代入，可得，又，可得，所以直線l的方程為，點O到直線l的距離為. 故原點O到直線l的距離的取值范圍為.……12分