重慶市開州中學2023-2024學年高二上學期第一次月考數(shù)學 Word版含解析.docx

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重慶市開州中學高2025屆2023秋季第一次質量檢測數(shù)學試題一、單選題（每小題5分，共40分）1.直線的傾斜角為（）A.0B.C.D.不存在【答案】B【解析】【分析】利用傾斜角定義分析運算即可得解.【詳解】解：直線即為軸，軸和軸垂直，又知傾斜角范圍是，∴由定義可知直線傾斜角為.故選：B.2.若平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，且，則的值是（）A.－3B.－4C.3D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩平面平行得到兩法向量平行，進而得到方程組，求出，得到答案.【詳解】∵，∴，故存在實數(shù)，使得，即，故，解得，∴.故選：A 3.已知，則點A關于平面的對稱點的坐標是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)坐標平面的對稱性求解．【詳解】點A關于平面的對稱點的坐標是，故選：B．4.某節(jié)物理課上，物理老師講解光線的入射、反射與折射，為了更好地解釋光線的路徑，物理老師將此問題坐標化如下：已知入射光線從射出，經過直線的點后第一次反射，若此反射光線經過直線上的點時再次反射，反射后經過點，則可以求得直線的斜率為（）A.B.C.4D.3【答案】D【解析】【分析】分別求出關于的對稱點，關于的對稱點，所求斜率即為的斜率，【詳解】作出圖形如圖所示，分別作關于的對稱點，以及關于直線的對稱點，則.故選：D5.一次函數(shù)與為常數(shù)，且，它們在同一坐標系內的圖象可能為（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圖象分析b、k取值符號進行判斷即可．【詳解】對于選項A中，直線的直線的∴A錯；對于選項B中，直線的直線的，∴B錯；對于選項C中，直線的直線的∴C對；對于選項D中，直線的直線的∴D錯．故選：C．6.已知直線過點，直線的一個方向向量為，則到直線的距離等于（）A.B.C.D.5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)點線距公式求得正確答案.【詳解】，，， 所以到直線的距離為.故選：C7.如圖，兩條異面直線a，b所成角為，在直線a，b上分別取點，E和點A，F(xiàn)，使且．已知，，．則線段的長為（）A.2或B.4C.2或4D.4或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運算可得，兩邊平方，利用向量的數(shù)量積運算，結合題意可得結果.【詳解】由題意知，所以，展開得，異面直線，所成角為，代入得，所以或，故選：C.8.已知，，若，則（）A.B.C.或D.【答案】D【解析】【分析】都為平面內的點集，即兩點集對應的幾何圖形無公共點，數(shù)形結合解決問題. 【詳解】集合表示平面內一條直線，但不包含點；由，得，不論取何值，直線恒過，對于的每一個取值，集合都表示平面內過定點的一條直線.當時，集合表示的直線的方程為，此時直線與直線重合，有無數(shù)個公共點，即，不滿足題意；當時，直線與直線不重合，相交于點，又，即，滿足題意.故選：D.二、多選題（每小題至少兩個選項正確，選不全得2分，選錯得0分，共20分）9.下列命題正確的是（）A.任何直線方程都能表示為一般式B.兩條直線相互平行的充要條件是它們的斜率相等C.直線與直線的交點坐標是D.直線方程可化為截距式為【答案】AC【解析】 【分析】根據(jù)具體條件對相應選項作出判斷即可.【詳解】對A：直線的一般是方程為：，當時，方程表示水平線，垂直軸；當時，方程表示鉛錘線，垂直軸；當時，方程表示任意一條不垂直于軸和軸的直線；故A正確.對B：兩條直線相互平行的充要條件是它們的斜率相等且不重合，故B錯.對C：聯(lián)立，解得，故C正確.對D：若或時，式子顯然無意義，故D錯.故選：AC.10.下列結論正確的是（）A.兩個不同的平面的法向量分別是，則B.直線的方向向量，平面的法向量，則C.若，則點在平面內D.若是空間的一組基底，則向量也是空間一組基底【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)平面向量的法向量垂直判斷A，根據(jù)直線與平面的關系判斷B，根據(jù)空間中共面基本定理判斷C，由空間向量基本定理判斷D.【詳解】因為，所以，故A正確；因為直線的方向向量，平面的法向量，不能確定直線是否在平面內，故B不正確；因為，所以，，共面，即點在平面內，故C正確；若是空間的一組基底， 則對空間任意一個向量，存在唯一的實數(shù)組，使得，于是，所以也是空間一組基底，故D正確.故選：ACD.11.如圖，在棱長為1的正方體中，為線段的中點，則下列說法正確的是（????）A.四面體的體積為B.向量在方向上的投影向量為C.直線與直線垂直D.直線與平面所成角的正弦值為【答案】AB【解析】【分析】以為原點，所在的直線分別為軸、軸、軸，建立空間坐標系，利用體積公式判斷A；利用空間向量法判斷BCD.【詳解】以為原點，所在的直線分別為軸、軸、軸，建立空間坐標系，如圖所示： 則，，，，，，，對于A，因為，故正確；對于B，因，，所以，，，所以在方向上的投影向量為：，故正確；對于C，因為，，，所以與不垂直，即直線與直線不垂直，故錯誤；對于D，，在正方體中，易知平面，得平面，即平面的法向量，設直線與平面的夾角為，則，故錯誤.故選：AB12.已知點，，直線上存在點P滿足，則直線可能為（????）A.-2B.0C.1D.3【答案】CD【解析】【分析】變形后求出直線過定點，且斜率為，結合，故只需 與線段有交點，結合，，求出，得到，得到答案.【詳解】變形為，故直線過定點，且斜率為，又，要想直線上存在點P滿足，即與線段有交點，因為，，故，解得，故CD滿足要求，AB錯誤.故選：CD三、填空題（每小題5分，共20分）13.直線過點，且斜率是傾斜角為的直線斜率的二倍，則直線的方程為_______【答案】【解析】【分析】根據(jù)傾斜角與斜率的關系，結合點斜式方程，可得答案. 【詳解】傾斜角為的直線的斜率，則直線的斜率，由點斜式方程可得，整理可得：.故答案為：.14.已知，則在上的投影向量為_______(用坐標表示)【答案】【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義，結合數(shù)量積的坐標運算即可求解.【詳解】由得，在上的投影向量為，故答案為：15.已知直線，，則直線與之間的距離最大值為______.【答案】5【解析】【分析】分別求出直線，過的定點，，當與兩直線垂直時距離最大，且最大值為，由此即可求解．【詳解】直線化簡為：，令且，解得，，所以直線過定點，直線化簡為：，令且，解得，，所以直線過定點，，當與直線，垂直時，直線，的距離最大，且最大值為， 故答案為：5．16.棱長為的正方體中，分別是平面和平面內動點，，則的最小值為_______【答案】##【解析】【分析】利用對稱將的最小值問題轉化為求解點到平面的距離，再建立直角坐標系，利用法向量方法求解點面距.【詳解】如圖，取點關于平面的對稱點，設點到平面的距離為,則，，以為坐標原點，以為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為，則點是線段靠近的三等分點，又正方體棱長為，則，則，且，設平面的法向量為，則，取，則，則， 則點到平面的距離.【點睛】空間幾何體中的距離之和的最值問題處理一般有以下方法：（1）借助參數(shù)表達，轉化為函數(shù)最值求解；（2）利用展開圖，將空間距離和轉化為平面內距離和問題，再利用兩點之間線段最短求解；（3）借助對稱，化線（面）的同側為線（面）的異側，轉化為點點（點線、點面）距離求解，等等.四、解答題（第17題10分，第18、19、20、21、22題每題12分，共70分）17.已知點，直線過點，（1）若A到直線距離為2，求直線方程；（2）若A、B到直線距離相等，求直線的方程.【答案】（1）或者（2）或者【解析】【分析】（1）先考慮斜率不存在的情況，再考慮斜率存在的情況，設出直線寫出點到直線的距離公式求解即可；（2）先考慮斜率不存在情況，再考慮斜率存在的情況，設出直線分別寫出兩點到直線的距離，相等求解即可；【小問1詳解】①若直線斜率不存在，此時過點的直線為直線，點到直線的距離為2，符合要求；②若直線斜率存在，設為，則直線方程為，所以點到直線的距離為，解得， 直線為，即，所以直線方程為或者；【小問2詳解】①若直線斜率不存在，此時過點的直線為直線，點到直線的距離為2，點到直線的距離為0，不符合條件；②若直線斜率存在，設為，則直線方程為，此時點到直線的距離為，點到直線的距離為，又，所以，解得或者，所以直線為或者，即或者.18.已知向量．（1）若，求實數(shù)；（2）若向量與所成角為鈍角，求實數(shù)的范圍．【答案】（1）（2）且【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量平行的坐標運算求解即可得到答案.（2）根據(jù)題意得到，再結合（1）的情況即可得到答案.【小問1詳解】，，因為，所以，即，所以.【小問2詳解】 ，，因為向量與所成角為鈍角，所以，即，解得.當與平行時，由（1）知：，所以向量與所成角為鈍角，實數(shù)的范圍且.19.如圖，棱長為1的正四面體OABC中，，點M滿足，點N為BC中點，（1）用表示；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量線性運算求解即可.（2）根據(jù)，再平方求解即可.【小問1詳解】連接，如圖所示： 因為，，所以.【小問2詳解】因為正四面體的棱長為1，所以，所以，所以.20.已知直線，且，（1）求的值；（2）直線過點與交于，，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)直線與直線平行的充要條件，列出方程求解即可；（2）根據(jù)兩平行線間距離可判斷垂直，利用斜率關系即可求解直線的斜率，進而可求解方程.【小問1詳解】因為，所以，整理得，解得或．當時，，，符合題意， 當時，，，與重合，不滿足題意．綜上，．【小問2詳解】由（1）得，，所以兩直線之間的距離為，而，所以直線與均垂直，由于，所以，故直線方程為21.如圖，四棱錐的底面是正方形，每條側棱的長都是底面邊長的倍，為側棱上的點，且平面.（1）求平面與平面所成的角；（2）側棱上是否存在一點，使得平面，若存在，求出點的位置；若不存在，試說明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）連接，交于點，利用線面垂直判定可證得平面，以為坐標原點建立空間直角坐標系，利用面面角的向量求法可求得結果；（2）假設，滿足平面，由線面平行的向量判定方法可構造方程求得 的值，由此可得結論.【小問1詳解】連接，交于點，連接，四邊形為正方形，為中點，；，，，，，平面，平面，以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，設，則，，，，，，，，平面，平面，平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，，即平面與平面所成角的余弦值為，平面與平面所成的角為.【小問2詳解】假設在上存在一點，滿足，使得平面， ，，，，又，，，平面的一個法向量為，，解得：，在上存在一點，滿足，使得平面.22.如圖，將一塊直角三角形木板置于平面直角坐標系中，已知，，點是三角形木板內一點，現(xiàn)因三角形木板中陰影部分受到損壞，要把損壞部分鋸掉，可用經過點P的任一直線將三角形木板鋸成，設直線的斜率為k.（1）用k表示出直線的方程，并求出M、N的坐標；（2）求鋸成的的面積的最小值.【答案】（1），，. （2）.【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求得直線的方程，再聯(lián)立直線方程組即可求得M、N的坐標；（2）先由題意確定的范圍，再利用（1）結論可得到與M到直線的距離，由此得到的面積關于的關系式，利用基本不等式即可求解.【小問1詳解】設直線，因為直線過點，所以，即，所以，又因為，，易得直線，直線，聯(lián)立，解得；聯(lián)立，解得，故，.【小問2詳解】因為，，所以，所以，因為，設M到直線的距離為d，則，所以， 當且僅當，即時，等號成立，所以S的最小值為.