安徽省宣城中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第一次(10月)月考數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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2023～2024學(xué)年度高二年級第一學(xué)期第一次月考測試數(shù)學(xué)試題本試卷滿分150分，考試時間120分鐘一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.在三棱柱中，可以作為空間向量一組基底的是（）A.，，B.，，C.，，D.，，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三棱柱的性質(zhì)和空間向量基底的定義逐個分析判斷【詳解】對于A，因為向量，，是共面向量，∥，所以，，是共面向量，所以不能作為基底，所以A錯誤，對于B，因為，，是共面向量，所以不能作為基底，所以B錯誤，對于C，因為，，這三個向量不共面，所以能作為一組基底，所以C正確，對于D，因為，，是共面向量，所以不能作為基底，所以D錯誤，故選：C2.設(shè)直線l的斜率為，且，則直線的傾斜角的取值范圍為（）A.B. C.D.【答案】D【解析】【分析】分、兩種情況討論，求出對應(yīng)的的取值范圍，綜合可得結(jié)果.【詳解】由題意可知，，當(dāng)時，則為鈍角，且；當(dāng)時，此時，.綜上所述，直線的傾斜角的取值范圍為.故選：D.3.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖，四棱錐為陽馬，平面，且，若，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量線性運算，以為基底表示出，從而確定取值.【詳解】，， ，，，，.故選：A.4.過點的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（）A.B.C.或D.或【答案】D【解析】【分析】可以分截距都為零和截距不為零兩種情況進行考慮，截距為零，直線過原點，求出方程即可，截距部位零，利用截距式，設(shè)出方程求解即可；也可以設(shè)出方程，求出截距，進行計算即可.【詳解】解法一當(dāng)直線過原點時，滿足題意，此時直線方程為，即；當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線方程為，因為直線過點，所以，解得，此時直線方程為.故選：解法二易知直線斜率不存在或直線斜率為0時不符合題意.設(shè)直線方程為，則時，，時，，由題意知，解得或，即直線方程為或.故選：5.如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長都是a，且，，E為的中點，則點E到直線的距離為（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用基底向量，即可由空間向量的模長，結(jié)合點到直線的距離公式即可求解.【詳解】在平行六面體中，不妨設(shè)，，．,，，，所以，，，所以E到直線的距離為，故選：A6.直線關(guān)于直線對稱的直線方程是（　　）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】在直線上任取一點，設(shè)其關(guān)于直線的對稱點為，然后根據(jù)對稱關(guān)系列方程可表示出，再代入中化簡可得答案【詳解】在直線上任取一點，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為， 則，解得，即，因為點在直線上，所以，即，所以所求直線方程為，故選：A.7.如下圖，一次函數(shù)的圖象與軸，軸分別交于點，，點是軸上一點，點，分別為直線和軸上的兩個動點，當(dāng)周長最小時，點，的坐標(biāo)分別為（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】作關(guān)于軸的對稱點，作關(guān)于的對稱點，連接交軸于，交于，有，即此時周長最小，求出點坐標(biāo)，可得直線方程，與聯(lián)立求出點坐標(biāo)，令可得點坐標(biāo).【詳解】作關(guān)于軸的對稱點，作關(guān)于的對稱點，連接交軸于，交于，所以， 此時周長最小，即，由，直線方程為，所以，解得，所以，可得直線方程為，即，由，解得，所以，令可，所以.故選：C.8.在正方體中，點M，N分別是上的動點，當(dāng)線段的長最小時，直線與平面所成角的正弦值為（）AB.C.D.【答案】A【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，作出輔助線，找到為的公垂線，即線段的長最小，進而表達出的坐標(biāo)，從而利用線面角的夾角公式進行求解.【詳解】以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因為平面，平面，所以， 因為正方形中，，且，平面，所以⊥平面，因為點M，N分別是上的動點，當(dāng)點為交點時，⊥，過點作于點，此時為的公垂線，即線段的長最小，設(shè)正方體邊長為，則，，因為，所以，故，解得：，，過點作于點，故，即，解得：，，故，，平面的法向量為，設(shè)與平面所成角大小為，則.故選：A 二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．）9.下列結(jié)論不正確的是（）．A.過點，的直線的傾斜角為B.直線恒過定點C.直線與直線之間的距離是D.已知，，點P在x軸上，則的最小值是5【答案】ABC【解析】【分析】A選項，求出過點，的直線的斜率，進而得到傾斜角不為；B選項，變形后得到方程組，求出恒過點；C選項，直線變形為，利用兩平行線間距離公式求出答案；D選項，在坐標(biāo)系中畫出點的坐標(biāo)，利用對稱性求出的最小值.【詳解】A選項，過點，的直線的斜率為，設(shè)直線傾斜角為，則，由于，故過點，的直線的傾斜角不為，A錯誤；B選項，直線變形得到，令，解得，故直線恒過點，B錯誤；C選項，直線變形為，故與直線之間的距離是，故C錯誤；D選項，在平面直角坐標(biāo)系中畫出，，兩點都在軸上方，畫出關(guān)于軸的對稱點，連接，與軸交于點， 則即為的最小值，則，D正確.故選：ABC10.在平面直角坐標(biāo)系中，下列四個結(jié)論中正確的是（）A.每一條直線都有點斜式方程B.方程與方程可表示同一條直線C.直線l過點，傾斜角為，則其方程為D.直線恒過點【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)直線方程各種形式的意義求解即可.【詳解】直線點斜式方程不能表示斜率不存在的直線，所以A錯誤；點不在方程所表示的直線上，所以B錯誤；傾斜角為的直線，過，直線方程為，C正確；由直線的點斜式方程知，不論k為何值，直線恒過點，故D正確.故選：CD11.下列選項正確的是（??????）A.空間向量與向量共線B.已知向量，，，若，，共面，則 C.已知空間向量，，則在方向上的投影向量為D.點是直線上一點，是直線的一個方向向量，則點到直線的距離是【答案】ABC【解析】【分析】利用空間向量的共線判斷A；利用向量共面定理判斷B；利用投影向量的求法判斷C；利用點到直線的距離公式判斷D．【詳解】對于A，，，，與共線，故A正確；對于B，設(shè)，即，則，得，故B正確；對于C，，在方向上的投影向量為，故C正確，對于D，，是直線的一個單位方向向量，點P到直線l的距離為，故D錯誤．故選：ABC．12.若正方體的棱長為，是中點，則下列說法正確的是（）A.平面B.到平面的距離為 C.平面和底面所成角的余弦值為D.若此正方體每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面只能是三角形和六邊形【答案】ACD【解析】【分析】以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷ABC選項；分析可知平面可與平面平行或重合，作出截面圖形，可判斷D選項.【詳解】以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、、，對于A選項，，，，所以，，，所以，，，又因為，、平面，因此，平面，A對；對于B選項，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得， 又因為，則點到平面的距離為，B錯；對于C選項，易知平面的一個法向量為，，所以，平面和底面所成角的余弦值為，C對；對于D選項，取三棱錐，則，且、、兩兩垂直，易知點在平面內(nèi)的射影為等邊的中心，設(shè)、、與平面所成的角分別為、、，設(shè)點到平面的距離為，則，，，所以，，又因為、、，故，即、、與平面所成角相等，因為正方體每條棱所在直線與平面所成的角都相等，若平面與平面平行或重合時，平面截此正方體所得截面的圖形如下面兩幅圖所示，截面分別為三角形、六邊形，則平面與此正方體的截面圖形只能為三角形或六邊形，若平面在其它位置且與正方體各棱所在直線所成角相等時，同理可知，平面與此正方體的截面圖形只能為三角形或六邊形，D對.故選：ACD.【點睛】方法點睛：求空間角的常用方法： （1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13.若直線與直線的距離為，則實數(shù)的值為________．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)兩平行直線間的距離公式列方程，化簡求得的值.【詳解】依題意，解得或.故答案：或14.已知向量，，，若向量與所成角為鈍角，則實數(shù)的范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)求出的值，再求出與的坐標(biāo)，依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到不等式求出參數(shù)的取值范圍，再檢驗兩向量共線的情況.【詳解】解：因為，，，所以，解得，所以，所以，，因為向量與所成角為鈍角， 所以，解得，若向量與共線，則，解得，此時與共線同向，綜上可得.故答案為：15.如圖所示，點是直線上一點，過點作的垂線交曲線于點.若，則______.【答案】【解析】【分析】設(shè)出點坐標(biāo)，求得點坐標(biāo)，然后根據(jù)求得的值.【詳解】由圖可知，設(shè)，則直線，由解得，則，到直線的距離為，依題意，， 所以，整理得.故答案為：16.如圖，三棱柱的各條棱長均為是2，側(cè)棱與底面ABC所成的角為60°，側(cè)面底面ABC，點P在線段上，且平面平面，則______．【答案】【解析】【分析】取中點，連接，，由已知可得，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，，，為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得平面與平面的一個法向量，可求得結(jié)論．【詳解】側(cè)面底面，則點在平面上的射影在直線上，為直線與底面所成的角，，三棱柱的各條棱長均為2，是等邊三角形，取中點，連接，，則，∵側(cè)面底面，側(cè)面底面，面，所以面，如圖所示，以為坐標(biāo)原點，建立的空間直角坐標(biāo)系， 則，故，設(shè)，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，，平面的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，，平面的一個法向量為，平面平面，∴，，，．故答案為：．點睛】關(guān)鍵點點睛：取中點，證明，，兩兩垂直，是解決本題的關(guān)鍵.四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.已知，．（1）求；（2）當(dāng)時，求實數(shù)的值． 【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積得運算律結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)公式計算即可；（2）由，得，再根據(jù)數(shù)量積得運算律結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)公式計算即可.【小問1詳解】已知，，則，，，所以；【小問2詳解】因為，所以，解得或．18.如圖，已知正三棱柱的各條棱長都相等，P為上的點.且求：（1）λ的值；（2）異面直線PC與所成角的余弦值．【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點坐標(biāo)，表示出的坐標(biāo)，根據(jù)，可得 ，即可求得答案；（2）根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案.【小問1詳解】設(shè)正三棱柱的棱長為2，設(shè)AC的中點為O，連接，因為為正三角形，故，以AC的中點O為原點，為軸，以過點O和平行的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，于是，，，因為，故，則，故，因為，所以，即.【小問2詳解】由（1）知，所以，，所以，，所以，由于異面直線所成角的范圍為， 所以異面直線PC與所成角的余弦值是.19.在中，點，邊上中線所在直線方程為，的內(nèi)角平分線所在直線方程為.（1）求點的坐標(biāo)；（2）求的邊所在直線的方程.（請用直線方程的一般式作答）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1），結(jié)合題干條件，列出方程組，即得解；（2）求解點A關(guān)于平分線：的對稱點，結(jié)合在直線上，求解即可.【小問1詳解】，則，解得，.【小問2詳解】設(shè)點關(guān)于平分線：的對稱點，則由，解得，即，在直線上， 故，直線的方程為：直線的方程為.20.已知直線的方程為：（1）求證：不論為何值，直線必過定點；（2）過點引直線，使它與兩坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）將直線方程改寫成形式，解方程組即可.（2）設(shè)出直線的方程，分別令、求出相對于的y值、x值，結(jié)合三角形面積公式及基本不等式即可求得結(jié)果.【小問1詳解】證明：由可得：，令，所以直線過定點．【小問2詳解】由（1）知，直線恒過定點，所以設(shè)直線的方程為，令，則；令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，三角形面積最小，此時的方程為． 21.如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，．（1）求證：；（2）在線段上，是否存在一點M，使得二面角的大小為，如果存在，求與平面所成角的正弦值，如果不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在；【解析】【分析】（1）利用直角梯形的性質(zhì)求出，的長，根據(jù)勾股定理的逆定理得出，由平面得出，故平面，于是；（2）假設(shè)存在點，做出二面角的平面角，根據(jù)勾股定理求出到平面的距離從而確定的位置，利用棱錐的體積求出到平面的距離，根據(jù)勾股定理計算，則即為所求角的正弦值．【小問1詳解】證明：如圖，由已知得四邊形ABCD是直角梯形，由，，可得是等腰直角三角形，即，∵平面，∴，又平面PAC,∴平面，∴．【小問2詳解】(方法1)過點M作交于點N，則， ∵平面，∴平面．過點M作交于點G，連接，則是二面角的平面角．若，則，又，∴，∴，，∴M是的中點．在三棱錐中，可得，設(shè)點B到平面的距離是h，則，∴，解得．在中，可得．設(shè)與平面所成的角為，則．(方法2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，．設(shè)，則點M的坐標(biāo)為， ∴．設(shè)平面的法向量是，則得則可?。质瞧矫娴囊粋€法向量，∴，解得，即點M是線段的中點．此時平面的一個法向量可取，．設(shè)BM與平面所成的角為，則．22.如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓的內(nèi)接正三角形，且的邊長為，點在母線上，且，．（1）求證：直線平面，并求三棱錐的體積：（2）若點為線段上的動點，當(dāng)直線與平面所成角的正弦值最大時，求此時點到平面的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，由正弦定理和三角形相似關(guān)系可證得，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可證得平面，由此可得，由線面平行的判定可得結(jié)論；由平行關(guān)系可得，根據(jù)棱錐體積公式可求得結(jié)果； （2）以為坐標(biāo)原點可建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)線面角的向量求法，可確定當(dāng)時，取得最大值，由此可確定，利用點到面的距離的向量求法可求得結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)，連接，為底面圓的內(nèi)接正三角形，，為中點，又，，；，，，，，∽，，；平面，平面，平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，，平面，平面，平面；為中點，，即，又平面，平面，，，，平面，平面，，，，又，平面，.【小問2詳解】 ，為中點，又，為中點，，，，以為坐標(biāo)原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，，設(shè)，；設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，，設(shè)直線與平面所成角為，，令，則，，， ，當(dāng)，即時，，，此時，，點到平面的距離.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題求解點到面距離的關(guān)鍵是能夠通過共線向量和線面角的向量求法，將線面角的正弦值表示為關(guān)于變量的函數(shù)的形式，通過函數(shù)最值的求法確定正弦值的最大值，從而確定動點的位置.