資源描述：
《河南省鶴壁市高中2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)Word版含解析.docx》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
鶴壁市高中2025屆高二上學(xué)期第三次段考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知等比數(shù)列{}，且，則的值為（ ?。〢.3B.C.±D.2.已知雙曲線的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點.則C的方程為（）A.B.C.D.3.已知是空間的一個單位正交基底，且，，則與夾角的余弦值為（）A.B.C.D.4.已知直線與直線，若，則（）A.B.2C.2或D.55.直線與曲線交點個數(shù)為（）A.1個B.2個C.3個D.4個6.已知，分別為橢圓的兩個焦點，P是橢圓E上的點，，且，則橢圓E的離心率為（）A.B.C.D.7.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，若數(shù)列滿足，且，則A.2B.-2C.6D.-6
8.設(shè)拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線相交于，兩點，與拋物線的準(zhǔn)線相交于點，，則與面積的比（）A.B.C.D.二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.每小題有多項符合題目要求）9.已知空間向量，，下列說法正確的是（）A.B.在方向上的投影向量為C.D.在方向上的投影數(shù)量為10.已知實數(shù)，滿足方程，則下列說法錯誤的是（）A.直線被圓截得的弦長為B.的最大值C.的最大值為D.的最大值為11.已知數(shù)列滿足，，則（）A.B.C.D.12.法國數(shù)學(xué)家加斯帕蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓若橢圓的蒙日圓為，過上的動點作的兩條切線，分別與交于，兩點，直線交于，兩點，則下列結(jié)論正確的是（）A.橢圓的離心率為
B.面積的最大值為C.到的左焦點的距離的最小值為D.若動點在上，將直線，的斜率分別記為，，則三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知空間中單位向量、，且，則的值為________.14.已知直線過點，且在軸上的截距為在軸上的截距的兩倍，則直線的方程是___________.15.已知雙曲線，且，，依次成公比為的等比數(shù)列，則過焦點與相交所得弦長為的直線有_________條.16.過拋物線上任意一點作軸垂線，垂足為，動點在直線上，則的最小值為__________．四、解答題（本大題共6小題，第17題10分，其余題12分，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.求適合下列條件曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點在軸上，長軸長等于，離心率等于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）經(jīng)過點，并且對稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的方程．18.已知圓C經(jīng)過點A（2，0），與直線x+y＝2相切，且圓心C在直線2x+y﹣1＝0上.（1）求圓C的方程；（2）已知直線l經(jīng)過點（0，1），并且被圓C截得的弦長為2，求直線l的方程.19.已知四棱錐中，PA⊥平面ABCD，，，E為PD中點.（1）求證：平面PAB；
（2）設(shè)平面EAC與平面DAC的夾角為，求三棱錐的體積.20.記是等差數(shù)列的前n項和，若，（1）求的通項公式，并求的最小值；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和21.已知數(shù)列前項和為（為常數(shù)）.（1）若，求的通項公式；（2）若，設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：.22.已知點分別為雙曲線的左頂點和右焦點，過且垂直于軸的直線與雙曲線第一象限部分交于點，的面積為．（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點，與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點，記，的面積分別為，（為坐標(biāo)原點）．若，求實數(shù)的取值范圍．
鶴壁市高中2025屆高二上學(xué)期第三次段考·數(shù)學(xué)試卷命題人：李小慧校對人：梁軟紅一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知等比數(shù)列{}，且，則的值為（ ?。〢.3B.C.±D.【答案】B【解析】【分析】求出公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式即可得解.【詳解】設(shè)公比為，因為，所以，所以，所以.故選：B.2.已知雙曲線的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點.則C的方程為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)漸近線方程得到，根據(jù)共焦點得到，解得答案.【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為，則.橢圓與雙曲線有公共焦點，則雙曲線的焦距，即，則，解得，，則雙曲線C的方程為.
故選：B.3.已知是空間的一個單位正交基底，且，，則與夾角的余弦值為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)與夾角為，利用空間向量數(shù)量積坐標(biāo)表示從而求解.【詳解】由題意得是空間的一個單位正交基底，所以=，，設(shè)與的夾角為，，所以，故D項錯誤.故選：D.4.已知直線與直線，若，則（）A.B.2C.2或D.5【答案】A【解析】【分析】解方程，再檢驗即得解.【詳解】解：若，則，所以或．當(dāng)時，重合，不符合題意，所以舍去；當(dāng)時，符合題意．故選：A5.直線與曲線的交點個數(shù)為（）A.1個B.2個C.3個D.4個【答案】B
【解析】【分析】根據(jù)題意，由曲線表示一條直線與一個圓，然后分別聯(lián)立方程，即可得到交點個數(shù).【詳解】因為曲線就是或，表示一條直線與一個圓，聯(lián)立，解得，即直線與直線有一個交點；此時，沒有意義.聯(lián)立，解得或，所以直線與有兩個交點.所以直線與曲線的交點個數(shù)為2個.故選：B6.已知，分別為橢圓的兩個焦點，P是橢圓E上的點，，且，則橢圓E的離心率為（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】由題意得，利用橢圓定義及勾股定理求得橢圓參數(shù)關(guān)系，即可求離心率.【詳解】由題意及正弦定理得：，令，則，，可得，所以橢圓的離心率為：.故選：B7.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，若數(shù)列滿足，且
，則A.2B.-2C.6D.-6【答案】C【解析】【分析】數(shù)列是周期數(shù)列且周期為，因此，利用題設(shè)的函數(shù)解析式可求函數(shù)值．【詳解】由可得，故，因此是周期數(shù)列且周期為，又，故，故選C．【點睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，以及函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用問題，（1）當(dāng)從數(shù)列的遞推關(guān)系無法求通項時，可以從先計算數(shù)列的若干初始項，找出規(guī)律后可得通項（必要時用數(shù)學(xué)歸納法證明）．（2）對于奇函數(shù)（或偶函數(shù)），若已知的解析式，則當(dāng)?shù)臅r的解析為（偶函數(shù)時為）．8.設(shè)拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線相交于，兩點，與拋物線的準(zhǔn)線相交于點，，則與面積的比（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，進(jìn)而由兩三角形相似，得出，再由拋物線的定義求得
，根據(jù)的值求得點的坐標(biāo)，進(jìn)而利用兩點式求得直線的方程，把代入，即可得點的坐標(biāo)，從而求得的值，則三角形的面積之比可得.【詳解】解：如圖過，兩點分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，因為∽，所以，由拋物線定義得，，因為，所以，因為，所以，，所以，所以直線AB的方程為，將代入上式得，，解得或，所以，，所以，所以，故選：D
【點睛】此題考了拋物線的應(yīng)用，拋物線的簡單性質(zhì)，考查了基礎(chǔ)知識的綜合運用和綜合分析問題的能力，屬于中檔題.二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.每小題有多項符合題目要求）9.已知空間向量，，下列說法正確的是（）A.B.在方向上的投影向量為C.D.在方向上的投影數(shù)量為【答案】ABD【解析】【分析】直接利用向量的坐標(biāo)運算和向量的模的運算及向量的數(shù)量積和向量的投影分別判斷即可.【詳解】已知空間向量，，對于：，故正確；對于：由于，，所以，，，則，在方向上的投影向量為，故正確；
對于：空間向量，，使,,則不存在實數(shù)，，故錯誤；對于：在方向上的投影數(shù)量為，故正確．故選：．10.已知實數(shù)，滿足方程，則下列說法錯誤的是（）A.直線被圓截得的弦長為B.的最大值C.的最大值為D.的最大值為【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)題意，利用點到直線的距離公式、兩點之間的距離公式計算，將表示為圓上的點到原點的距離的平方，、分別表示直線、與圓有公共點，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系計算依次判斷選項，即可求解.【詳解】A：實數(shù)，滿足方程，所以把看作是以為圓心，以為半徑的圓；由點到直線的距離公式得圓心到直線的距離，于是弦長，故A錯誤；B：原點到圓心的距離為，所以圓上的點到原點的距離的范圍為，所以，即，所以的最大值為，故B錯誤．C：令，則直線與圓有公共點，所以，，解得，所以的最大值為．故C正確；
D：令，則直線與圓有公共點，所以，解得，所以的最大值為．故D正確.故選：AB.11.已知數(shù)列滿足，，則（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】當(dāng)時，，此時，由此即可判斷B；由題意通過遞推關(guān)系可得，進(jìn)一步可得數(shù)列的通項公式，即可判斷剩余選項.【詳解】數(shù)列滿足，，所以時，，此時，故B錯誤；，，，化為：．當(dāng)時，．．，，故可知．故選：AD．12.法國數(shù)學(xué)家加斯帕蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓若橢圓的蒙日圓為，過上的動點作的兩條切線，分別與
交于，兩點，直線交于，兩點，則下列結(jié)論正確的是（）A.橢圓的離心率為B.面積的最大值為C.到的左焦點的距離的最小值為D.若動點在上，將直線，的斜率分別記為，，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合圓，橢圓的知識并結(jié)合直線與橢圓位置關(guān)系，韋達(dá)定理可逐項求解.【詳解】對于A:依題意，過橢圓的上頂點作軸的垂線，過橢圓的右頂點作軸的垂線，則這兩條垂線的交點在上，所以，得，所以橢圓的離心率，故A正確；對于B：因為點，，都在上，且，所以為的直徑，所以，所以面積的最大值為，故B錯誤；對于C：設(shè)，的左焦點為，連接，因為，所以又，所以，則到的左焦點的距離的最小值為，故C正確；對于D：由直線經(jīng)過坐標(biāo)原點，易得點，關(guān)于原點對稱，
設(shè)，，則，又，，又兩式相減得，所以，又，所以，故D正確．故選：ACD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知空間中單位向量、，且，則的值為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量的運算法則計算，得到答案.【詳解】，故.故答案為：.14.已知直線過點，且在軸上的截距為在軸上的截距的兩倍，則直線的方程是___________.【答案】或【解析】【分析】當(dāng)縱截距為時，設(shè)直線方程為，代入點求得的值，當(dāng)縱截距不為
時，設(shè)直線的截距式方程，代入點求解.【詳解】①當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均為時，設(shè)直線方程為，因為直線過點，所以，所以直線的方程為；②當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均不為時，設(shè)直線在軸上截距為，則在軸上的截距為，則直線的方程為，又因為直線過點，所以，解得：，所以直線的方程為，即，綜上所述：直線的方程為或，故答案為：或．15.已知雙曲線，且，，依次成公比為的等比數(shù)列，則過焦點與相交所得弦長為的直線有_________條.【答案】【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列求出雙曲線的方程，通過最短弦長和對稱性即可求解.【詳解】因為，，依次成公比為的等比數(shù)列，所以，，所以的方程可化為，則，所以兩焦點坐標(biāo)分別為，，由題意知過焦點的直線與雙曲線交于同一支時，弦長最小時為直線垂直軸時，此時直線為，弦長為，當(dāng)直線與雙曲線交于兩支時，弦長最小時直線為，此時弦長最小為，所以根據(jù)對稱性可知過焦點與相交所得弦長為的直線有條.故答案為：.
16.過拋物線上任意一點作軸的垂線，垂足為，動點在直線上，則的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】延長PQ與拋物線的準(zhǔn)線交于H,則，根據(jù)拋物線的定義轉(zhuǎn)化為,則,根據(jù)圖象可知當(dāng)在一條直線上時，有最小值，過F作交于,交拋物線于P，當(dāng)M與重合時，最小.【詳解】延長PQ與拋物線的準(zhǔn)線交于H,如圖：則，根據(jù)拋物線定義得：,所以，由圖象可知當(dāng)在一條直線上時，有最小值，因此過F作交于,交拋物線于P，當(dāng)M與重合時，最小，且，根據(jù)點到直線的距離公式可得，所以.
即所求最小值.【點睛】本題主要考查了拋物線的方程，拋物線的定義，及拋物線的簡單幾何性質(zhì)，屬于中檔題.四、解答題（本大題共6小題，第17題10分，其余題12分，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.求適合下列條件的曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點在軸上，長軸長等于，離心率等于的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）經(jīng)過點，并且對稱軸都在坐標(biāo)軸上等軸雙曲線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的長軸、離心率的定義求解；（2）利用等軸雙曲線的定義求解.【小問1詳解】因為長軸長等于，離心率等于，所以，，，又因為焦點在軸上，所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；【小問2詳解】設(shè)雙曲線方程為，代入點，得，雙曲線方程為．18.已知圓C經(jīng)過點A（2，0），與直線x+y＝2相切，且圓心C在直線2x+y﹣1＝0上.（1）求圓C的方程；（2）已知直線l經(jīng)過點（0，1），并且被圓C截得的弦長為2，求直線l的方程.
【答案】（1）（x﹣1）2+（y+1）2＝2（2）x＝0或3x+4y﹣4＝0【解析】【分析】（1）由圓C的圓心經(jīng)過直線2x+y﹣1＝0上，可設(shè)圓心為C（a，1﹣2a）.由點到直線的距離公式表示出圓心C到直線x+y＝2的距離d，然后利用兩點間的距離公式表示出AC的長度即為圓的半徑，然后根據(jù)直線與圓相切時圓心到直線的距離等于圓的半徑，列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，由a的值可確定出圓心坐標(biāo)及半徑，然后根據(jù)圓心和半徑寫出圓的方程即可.（2）分類討論，利用圓心到直線的距離為1，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】因為圓心C在直線2x+y﹣1＝0上，可設(shè)圓心為C（a，1﹣2a）.則點C到直線x+y＝2的距離d.據(jù)題意，d＝|AC|，則，解得a＝1.所以圓心為C（1，﹣1），半徑r＝d，則所求圓的方程是（x﹣1）2+（y+1）2＝2.小問2詳解】k不存在時，x＝0符合題意；k存在時，設(shè)直線方程為kx﹣y+1＝0，圓心到直線的距離1，∴k，∴直線方程為3x+4y﹣4＝0.綜上所述，直線方程為x＝0或3x+4y﹣4＝0.19.已知四棱錐中，PA⊥平面ABCD，，，E為PD中點.
（1）求證：平面PAB；（2）設(shè)平面EAC與平面DAC的夾角為，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）方法一：利用線面平行的判定定理直接證明；方法二：利用空間向量的坐標(biāo)運算證明線線垂直即可證明；（2）方法一：利用二面角的定義以及三棱錐的定義求解；方法二：利用空間向量的坐標(biāo)運算求出三棱錐的高，進(jìn)而求體積.【小問1詳解】證明：取中點,連,是中點,∴且,又∵且.∵且,∴四邊形為平行四邊形，,又∵平面，?平面，∴平面．【小問2詳解】取中點，連，過作交于，連,∵分別是中點，∴，又∵平面．∴⊥平面,平面,∴，又∵，平面，∴⊥平面，平面，∴，∴是平面與平面的夾角的平面角.
∴.,∴.∴,解法二：（1）∵⊥平面，，∴兩兩垂直，以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則有則，又⊥平面，平面，所以，又∵平面，∴⊥平面，∴是平面的一個法向量,∵，又∵平面，∴平面.（2）⊥平面，∴平面的一個法向量,
設(shè)平面的一個法向量為,則有，不妨設(shè)，則，即,,∴到平面的距離,∴.20.記是等差數(shù)列的前n項和，若，（1）求的通項公式，并求的最小值；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和【答案】（1），-36；（2）【解析】【分析】（1）求出，再求出，2，3，4時，時，，即得解；（2）對分和兩種情況討論得解.【小問1詳解】解：設(shè)的公差為d，則，，，，由得，，，2，3，4時，時，，的最小值為【小問2詳解】
解：由知，當(dāng)時，時，，，當(dāng)時，當(dāng)時，，21.已知數(shù)列的前項和為（為常數(shù)）.（1）若，求的通項公式；（2）若，設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)遞推公式，利用構(gòu)造法可得為等比數(shù)列，然后可解；（2）對數(shù)列的通項公式使用放縮法，然后由裂項相消法求和后可證.【小問1詳解】當(dāng)時，，得又，所以是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，所以，即.【小問2詳解】當(dāng)時，，則，所以是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，所以，
所以，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，當(dāng)時，，綜上，.22.已知點分別為雙曲線的左頂點和右焦點，過且垂直于軸的直線與雙曲線第一象限部分交于點，的面積為．（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點，與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點，記，的面積分別為，（為坐標(biāo)原點）．若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線方程即可寫出之間的關(guān)系，再根據(jù)三角形面積公式解得，即可得到雙曲線的方程；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用韋達(dá)定理和弦長公式即可寫出的表達(dá)式，同理可得的面積表達(dá)式，再通過構(gòu)造函數(shù)即可求得實數(shù)的取值范圍．【小問1詳解】由題意可知，所以，，由已知，可得，
則，解得，所以雙曲線的方程為.【小問2詳解】設(shè)，聯(lián)立，整理可得所以，解得，由，可得，，原點到直線的距離，所以設(shè)，，易知漸近線方程為，不妨設(shè)在漸近線上，由得，同理，所以，到直線的距離，
所以所以，，則令，則故的取值范圍是
