四川省南充高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考數(shù)學(xué)Word版含解析.docx

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高2022級(jí)高二上期期中考試數(shù)學(xué)試題總分150分考試時(shí)間120分鐘注意事項(xiàng)：1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)填寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上.2．答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).3．答非選擇題時(shí)，將答案書(shū)寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.4．考試結(jié)束后將答題卡交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A.B.C.D.2.水平放置的的直觀圖如圖所示，是中邊的中點(diǎn)，且平行于軸，則，，對(duì)應(yīng)于原中的線段AB，AD，AC，對(duì)于這三條線段，正確的判斷是（）A.最短的是ADB.最短的是ACC.D.3.若，，則的值是（）A.B.C.D.4.如圖，在直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角大小為（） A.B.C.D.5.已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率都為，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方式估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定表示命中，表示不命中；再以三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下12組隨機(jī)數(shù)：??????????????????????，據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為（）A.B.C.D.6.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若且，則D.若，則7.2023年7月28日、第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)將在成都東安湖體育公園開(kāi)幕．公園十二景中的第一景東安閣，閣樓整體采用唐代風(fēng)格、萃取太陽(yáng)神烏形象、蜀錦與寶相花紋（芙蓉花）元素，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)匕凑仗剖礁唛w的建筑形制設(shè)計(jì)建造，已成為成都市文化新地標(biāo)，面向世界展現(xiàn)千年巴蜀風(fēng)韻．某數(shù)學(xué)興趣小組在探測(cè)東安閣高度的實(shí)踐活動(dòng)中，選取與閣底A在同一水平面的B，C兩處作為觀測(cè)點(diǎn)，測(cè)得，，，在C處測(cè)得閣頂?shù)难鼋菫?5°，則他們測(cè)得東安閣的高度為（精確到，參考數(shù)據(jù)：，）（）A.B.C.D.8.南高學(xué)生到南充內(nèi)燃機(jī)廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長(zhǎng)方體挖去四棱錐后所得的幾何體，其中為長(zhǎng)方體的中心，E，F(xiàn)，G，H 分別為所在棱的中點(diǎn)，，，3D打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為（）gA.86.4B.172.8C.864D.950.4二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，則下列說(shuō)法正確的是（）A.共軛復(fù)數(shù)為B.C.D.10.將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲兩次，記事件“第一次出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事件“兩次點(diǎn)數(shù)之積為偶數(shù)”，事件“兩次點(diǎn)數(shù)之和為5”，則（）A.事件必然事件B.事件與事件是互斥事件C.事件包含事件D.事件與事件是相互獨(dú)立事件11.如圖所示，四邊形為梯形，其中，，，分別為中點(diǎn)，則結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.12.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)、滿足，，點(diǎn)是正方體表面上一動(dòng)點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（） A.B.平面C.若平面，則的最大值為D.若平面，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知一組數(shù)據(jù)：24，30，40，44，48，52.則這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)、第50百分位數(shù)的平均數(shù)為_(kāi)_____.14.直線，，若，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)________________.15.已知，，則三角形的面積為_(kāi)____________．16.正四面體的棱長(zhǎng)為12，點(diǎn)是該正四面體內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)到的距離為_(kāi)_________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，，．（1）若四邊形是平行四邊形，求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求點(diǎn)到直線的距離．18.如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)度都為1，且兩兩夾角為．記，，．（1）求長(zhǎng)；（2）求與夾角的余弦值． 19.如圖，在直三棱柱中，，，，分別為，的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的余弦值．20.2023年，某地為了幫助中小微企業(yè)渡過(guò)難關(guān)，給予企業(yè)一定的專項(xiàng)貸款資金支持．下圖是該地100家中小微企業(yè)的專項(xiàng)貸款金額（萬(wàn)元）的頻率分布直方圖．（1）確定的值，并估計(jì)這100家中小微企業(yè)的專項(xiàng)貸款金額的眾數(shù)；（2）從這100家中小微企業(yè)中按專項(xiàng)貸款金額分層抽樣隨機(jī)抽取20家，再?gòu)倪@20家專項(xiàng)貸款金額在內(nèi)的企業(yè)中隨機(jī)抽取3家，求這3家的專項(xiàng)貸款金額都在內(nèi)的概率．21.在中，角所對(duì)的邊分別為．已知，，．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．22.如圖，在等腰梯形中，//，，四邊形矩形，平面平面，．（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離； （3）若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，設(shè)平面與平面的夾角為，試求的取值范圍． 高2022級(jí)高二上期期中考試數(shù)學(xué)試題（命、審題人：陳昀王磊陳勇李思?。┛偡?50分考試時(shí)間120分鐘注意事項(xiàng)：1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)填寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上.2．答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).3．答非選擇題時(shí)，將答案書(shū)寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.4．考試結(jié)束后將答題卡交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用直線斜率與傾斜角的關(guān)系即可求得傾斜角為.【詳解】根據(jù)直線方程可知其斜率為，設(shè)直線傾斜角為，則，可得.故選：B2.水平放置的的直觀圖如圖所示，是中邊的中點(diǎn)，且平行于軸，則，，對(duì)應(yīng)于原中的線段AB，AD，AC，對(duì)于這三條線段，正確的判斷是（）A.最短的是ADB.最短的是ACC.D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由直觀圖與原圖的關(guān)系，結(jié)合條件，即可判斷.【詳解】因?yàn)槠叫杏谳S，所以在中，，又因?yàn)槭侵羞叺闹悬c(diǎn)，所以是的中點(diǎn)，所以.故選：A3.若，，則的值是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用余弦的差角公式得到，再根據(jù)條件即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，又，所以，故選：D.4.如圖，在直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角大小為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】以點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得異面直線與所成角大小. 【詳解】在直三棱柱中，平面，且，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，所以，，，所以，，則，所以，異面直線與所成角為.故選：A.5.已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率都為，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方式估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定表示命中，表示不命中；再以三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下12組隨機(jī)數(shù)：??????????????????????，據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)隨機(jī)數(shù)找出三次投籃恰有兩次命中的數(shù)組，再根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得.【詳解】依題意在組隨機(jī)數(shù)中三次投籃恰有兩次命中的有：，，共個(gè)，所以該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率.故選：A6.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若且，則D.若，則【答案】D 【解析】【分析】根據(jù)線面垂直以及面面垂直的性質(zhì)判斷A，B；根據(jù)線面平行的性質(zhì)判斷C；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判斷D.【詳解】對(duì)于A，若，，則或者或者相交，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，若，則或者或者相交，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，若且，則m與n可能平行、相交或異面，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，若，則，又，所以，故D正確，故選：D.7.2023年7月28日、第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)將在成都東安湖體育公園開(kāi)幕．公園十二景中的第一景東安閣，閣樓整體采用唐代風(fēng)格、萃取太陽(yáng)神烏形象、蜀錦與寶相花紋（芙蓉花）元素，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)匕凑仗剖礁唛w的建筑形制設(shè)計(jì)建造，已成為成都市文化新地標(biāo)，面向世界展現(xiàn)千年巴蜀風(fēng)韻．某數(shù)學(xué)興趣小組在探測(cè)東安閣高度的實(shí)踐活動(dòng)中，選取與閣底A在同一水平面的B，C兩處作為觀測(cè)點(diǎn)，測(cè)得，，，在C處測(cè)得閣頂?shù)难鼋菫?5°，則他們測(cè)得東安閣的高度為（精確到，參考數(shù)據(jù)：，）（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】在中，由正弦定理可求，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】在中，則，因?yàn)椋傻茫╩），在中，則， 即為等腰直角三角形，可得（m）.故選：C.8.南高學(xué)生到南充內(nèi)燃機(jī)廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長(zhǎng)方體挖去四棱錐后所得的幾何體，其中為長(zhǎng)方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，，，3D打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為（）gA.86.4B.172.8C.864D.950.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)，應(yīng)用棱錐、長(zhǎng)方體的體積求法求該模型的體積，進(jìn)而求其質(zhì)量.【詳解】由題設(shè)，，且棱錐的高為，所以，長(zhǎng)方體的體積，所以該模型體積，故該模型所需原料的質(zhì)量為g.故選：D二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的共軛復(fù)數(shù)為B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】由共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)模的公式，復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷.【詳解】復(fù)數(shù)，則，A選項(xiàng)正確； ，B選項(xiàng)正確；，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB10.將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲兩次，記事件“第一次出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事件“兩次點(diǎn)數(shù)之積為偶數(shù)”，事件“兩次點(diǎn)數(shù)之和為5”，則（）A.事件是必然事件B.事件與事件是互斥事件C.事件包含事件D.事件與事件是相互獨(dú)立事件【答案】ACD【解析】【分析】列出事件A，B，C，AC的基本事件，再利用事件的基本關(guān)系判斷.【詳解】解：事件A的基本事件有：，事件B的基本事件有：，，，事件C的基本事件有：，事件AC的基本事件有：，A.事件是必然事件，故正確；B.因?yàn)?，所以事件與事件不是互斥事件，故錯(cuò)誤；C.因?yàn)?，所以事件包含事件，故正確；D.因?yàn)?，所以，所以事件與事件是相互獨(dú)立事件，故正確；故選：ACD11.如圖所示，四邊形為梯形，其中，，，分別為的中點(diǎn)，則結(jié)論正確的是（） A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)給定條件，可得四邊形為平行四邊形，再結(jié)合向量線性運(yùn)算逐項(xiàng)分析計(jì)算作答.【詳解】對(duì)于A，四邊形為梯形，，，為中點(diǎn)，即有，則四邊形為平行四邊形，，A正確；對(duì)于B，為中點(diǎn)，，B正確；對(duì)于C，為的中點(diǎn)，，C不正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)A知，，，D不正確.故選：AB12.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)、滿足，，點(diǎn)是正方體表面上一動(dòng)點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）A.B.平面C.若平面，則的最大值為D.若平面，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為【答案】ABC【解析】【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、 軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷A、B選項(xiàng)，分別取、中點(diǎn)、，連接、、、、、、，證明面面平行，找出點(diǎn)的軌跡，結(jié)合圖形求出的最大值和點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度，可判斷C、D選項(xiàng).【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，對(duì)于A選項(xiàng)，，，，故，選項(xiàng)A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)椋O(shè)平面法向量為，則，取，則，可得，，即，因?yàn)槠矫妫云矫?，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以為中點(diǎn)，如圖分別取、中點(diǎn)、，連接、、、、、、， 因?yàn)椤⒎謩e為、中點(diǎn)，所以，又因?yàn)榍?，則四邊形為平行四邊形，所以，所以，且平面，平面，所以平面，同理可得，平面，因?yàn)?，、平面，所以平面平面，因此?dāng)點(diǎn)P為的邊上一點(diǎn)（異于點(diǎn)）時(shí)，則平面，所以平面，故點(diǎn)P的軌跡為的邊上一點(diǎn)（異于點(diǎn)），因?yàn)?，所以結(jié)合圖形可知，當(dāng)點(diǎn)P在G點(diǎn)或H點(diǎn)時(shí)，取得最大值，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，根據(jù)C選項(xiàng)的分析，P點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC【點(diǎn)睛】本題核心是將求軌跡問(wèn)題轉(zhuǎn)化為面面平行的問(wèn)題，滿足條件的點(diǎn)一定在與已知平面平行的平面上，只要做出這個(gè)平面就能畫(huà)出軌跡.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知一組數(shù)據(jù)：24，30，40，44，48，52.則這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)、第50百分位數(shù)的平均數(shù)為_(kāi)_____.【答案】36【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義得到第30百分位和第50百分位，即可求解．【詳解】因?yàn)?，故這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為30， 因?yàn)?，所以?0百分位數(shù)為，所以這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)、第50百分位數(shù)的平均數(shù)為，故答案為：36．14.直線，，若，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)________________.【答案】或【解析】【分析】根據(jù)直線垂直的充要條件計(jì)算即可.【詳解】由題意可知：，解之得或1.故答案為：或.15.已知，，則三角形的面積為_(kāi)____________．【答案】##【解析】【分析】利用空間向量求出，再利用三角形面積公式計(jì)算即得.【詳解】由，，得，則，于是，所以三角形的面積為.故答案為：16.正四面體的棱長(zhǎng)為12，點(diǎn)是該正四面體內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)到的距離為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)正四面體的體積求出內(nèi)切球的半徑，取的中點(diǎn)為，再根據(jù)數(shù)量積得到，可得當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，取得最小值，再求出球心到點(diǎn)的距離 ，從而可得點(diǎn)到的距離為，進(jìn)而求解即可．【詳解】由正四面體的棱長(zhǎng)為12，則其高為，則其體積為，設(shè)正四面體內(nèi)切球的半徑為，則，解得，如圖，取的中點(diǎn)為，則，顯然，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，取得最小值，設(shè)正四面體內(nèi)切球的球心為，可求得，則球心到點(diǎn)的距離，所以內(nèi)切球上的點(diǎn)到點(diǎn)的最小距離為，即當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)到的距離為．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查幾何體內(nèi)切球問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是先根據(jù)正四面體的體積可求出內(nèi)切球的半徑，得出點(diǎn)P到AD的距離為球心O到點(diǎn)E的距離減去半徑．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，，．（1）若四邊形是平行四邊形，求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求點(diǎn)到直線的距離．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由平行四邊形特點(diǎn)得到，進(jìn)而求出點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）先求出直線的方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)到直線的距離即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，則，，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，即，則，解得，所以；【小問(wèn)2詳解】由直線兩點(diǎn)式知AB的方程為，即，所以點(diǎn)C到直線AB的距離.18.如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)度都為1，且兩兩夾角為．記，，．（1）求的長(zhǎng)；（2）求與夾角的余弦值．【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）表達(dá)出，平方后，結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算法則計(jì)算出，求出的長(zhǎng)為；（2）計(jì)算出，，從而利用向量的夾角余弦公式求出答案.【小問(wèn)1詳解】由題意知：，，∴，又∵，∴，∴，即的長(zhǎng)為，【小問(wèn)2詳解】∵，∴，∴，，∴，即與夾角的余弦值為．19.如圖，在直三棱柱中，，，，分別為，的中點(diǎn)．（1）求證：平面； （2）求直線與平面所成角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）法一，通過(guò)構(gòu)造平行四邊形，找到線線平行，利用線面平行的判定定理即可證明；法二，通過(guò)證明面面平行，證明線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用線面角的公式即可求.【小問(wèn)1詳解】證明：（法一）：取的中點(diǎn)，連接，，∵直三棱柱中，為的中點(diǎn)，所以，且，因?yàn)?，分別，的中點(diǎn)，∴，，，，∴四邊形平行四邊形，∴，又∵平面，平面，故平面.（法二）： 取AB的中點(diǎn)，連接，，由直三棱柱可得四邊形為平行四邊形又為的中點(diǎn)，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∴，又∵平面，平面故平面．∵點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，∴，又∵平面，平面，∴平面，而，平面，平面，∴平面平面，而平面，故平面.【小問(wèn)2詳解】∵在直三棱柱中又有，∴，，兩兩垂直，分別以直線，，為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則，，，，∴，，，設(shè)是平面的法向量，則，取，則設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成的角的余弦為．20.2023年，某地為了幫助中小微企業(yè)渡過(guò)難關(guān)，給予企業(yè)一定的專項(xiàng)貸款資金支持．下圖是該地100家中小微企業(yè)的專項(xiàng)貸款金額（萬(wàn)元）的頻率分布直方圖．（1）確定的值，并估計(jì)這100家中小微企業(yè)的專項(xiàng)貸款金額的眾數(shù)；（2）從這100家中小微企業(yè)中按專項(xiàng)貸款金額分層抽樣隨機(jī)抽取20家，再?gòu)倪@20家專項(xiàng)貸款金額在內(nèi)的企業(yè)中隨機(jī)抽取3家，求這3家的專項(xiàng)貸款金額都在內(nèi)的概率．【答案】（1），萬(wàn)元（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為得到方程，即可求出，再求出眾數(shù)；（2）首先求出、 組中抽取的企業(yè)數(shù)，利用列舉法列出所有可能得結(jié)果，再根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】由頻率分布直方圖得，解得，因?yàn)閷ｍ?xiàng)貸款金額在的頻率最大，所以估計(jì)這100家中小微企業(yè)的專項(xiàng)貸款金額的眾數(shù)為萬(wàn)元【小問(wèn)2詳解】由題意知分層抽樣抽取比例為，抽樣的家中小微企業(yè)中專項(xiàng)貸款金額在內(nèi)應(yīng)抽取的企業(yè)有家．在抽取的家中小微企業(yè)中，專項(xiàng)貸款金額在內(nèi)的有家，記為，，，；專項(xiàng)貸款金額在內(nèi)的有家，記為．從這5家中小微企業(yè)中隨機(jī)抽取3家的可能情況為，，，，，，，，，共10種，其中這3家中小微企業(yè)的專項(xiàng)貸款金額都在內(nèi)的情況為，，，共4種，所以所求概率．21.在中，角所對(duì)的邊分別為．已知，，．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】 【分析】（1）根據(jù)條件，利用余弦定理即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)條件，利用同角三角函數(shù)間的關(guān)系，得到，再利用正弦定理即可求出結(jié)果；（3）法一，利用二倍角公式，求出，利用同角三角函數(shù)間的關(guān)系求出，即可求出結(jié)果；法二，利用，得到，再計(jì)算出即可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，，由余弦定理可得，整理得，解?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，，所以，由正弦定理，可得，解?【小問(wèn)3詳解】（法一）由（2）得，，，，所以，所以．（法二）由余弦定理可得， ∴，∴.22.如圖，在等腰梯形中，//，，四邊形為矩形，平面平面，．（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，設(shè)平面與平面的夾角為，試求的取值范圍．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到線面垂直，再根據(jù)線面垂直的判定定理證明即可；（2）可以應(yīng)用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離，也可以應(yīng)用向量法求出點(diǎn)到面的距離；（3）先求出兩個(gè)面的法向量，再求出法向量的夾角的余弦值的絕對(duì)值，最后根據(jù)參數(shù)的取值范圍求出余弦值的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】在等腰梯形ABCD中有//，，，所以且，所以，即，因?yàn)槠矫鍭CFE⊥平面ABCD，且平面平面，平面，所以BC⊥平面； 【小問(wèn)2詳解】法一：因?yàn)槠矫鍭CFE⊥平面ABCD，且平面平面，而，所以平面，所以，又由（1）知，所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)锽C⊥平面且平面，所以，所以，所以△ABF為等腰三角形，邊BF上的高，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由得，即，解得，所以點(diǎn)C到平面的距離為；法二：由（1）知BC⊥平面且，建立以直線CA，CB，CF為x軸，y軸，z軸的如圖所示空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，，則，，，，所以，，，設(shè)為平面ABF的一個(gè)法向量，則，令，則，所以， 所以點(diǎn)C到平面ABF的距離為；【小問(wèn)3詳解】由（1）知BC⊥平面且，建立以直線CA，CB，CF為x軸，y軸，z軸的如圖所示空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，，令（），則，，，，則，，設(shè)為平面MAB的一個(gè)法向量，則，令，則，所以，而平面平面，所以平面一個(gè)法向量為，所以，又，所以，所以，故的取值范圍為．