四川省成都市成華區(qū)某校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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高一數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.下列關(guān)系或運(yùn)算中①，②，③，④正確的個(gè)數(shù)為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系判斷①②，根據(jù)子集概念判斷③，根據(jù)集合的交集判斷④.【詳解】①正確；②空集不含任何元素，故錯誤；③因?yàn)榭占侨魏渭系淖蛹?，故正確；④因?yàn)椋瑸辄c(diǎn)的集合，故，故錯誤.所以正確的個(gè)數(shù)為2.故選：B2.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m的值為（????）A.B.C.D.或【答案】A【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義及單調(diào)性求解即可.【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以且，解得，故選：A3.下列每組中的兩個(gè)函數(shù)是相同函數(shù)的是（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)定義域與解析式進(jìn)行判斷即可.【詳解】選項(xiàng)A中，函數(shù)，即的對應(yīng)關(guān)系不同，故不是同一函數(shù)；選項(xiàng)B中，顯然的對應(yīng)關(guān)系不同，故不是同一函數(shù)；選項(xiàng)C中，函數(shù)的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，不是同一函?shù)；選項(xiàng)D中，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以是同一個(gè)函數(shù)；故選：D．4.若角的終邊過點(diǎn)，則(　　)A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求得正確答案.【詳解】由于，所以.故選：C5.函數(shù)f（x）=A.（-2,-1）B.（-1,0）C.（0,1）D.（1,2）【答案】C【解析】【詳解】試題分析：，所以零點(diǎn)在區(qū)間（0，1）上考點(diǎn)：零點(diǎn)存在性定理 6.已知弧長為的扇形圓心角為，則此扇形的面積為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意求出扇形半徑，再根據(jù)扇形的面積公式即可得解.【詳解】解：設(shè)扇形的半徑為，因?yàn)榛￠L為的扇形圓心角為，所以，所以，所以此扇形的面積為.故選：C.7.酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全，根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：100mL血液中酒精含量達(dá)到20?79mg的駕駛員即為酒后駕車，80mg及以上認(rèn)定為醉酒駕車，都屬于違法駕車.假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量會以每小時(shí)25%的速度減少，要保證他不違法駕車，則他至少要休息(其中取)（）A.7小時(shí)B.6小時(shí)C.5小時(shí)D.4小時(shí)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件列不等式，由此求得正確答案.【詳解】設(shè)需要休息小時(shí)，依題意，，，兩邊取以為底的對數(shù)得，所以，所以至少需要小時(shí).故選：B8.已知且、都不等于，則下列不等式不一定成立的是（????）AB.若，則 C.D.【答案】D【解析】【分析】由且都不等于，則得，然后根據(jù)不等式性質(zhì)可對A判斷，利用作差法可對B判斷，利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可對C判斷，利用對數(shù)函數(shù)性質(zhì)及特殊值可對D判斷.【詳解】由題意知且都不等于，所以，對A：由，所以，故A一定成立；對B：，故B一定成立；對C：，故C一定成立；對D：由，不妨設(shè)，則，，故D不一定成立.故選：D.二、選擇題：本題共4小題，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．9.下列說法正確的是（）A.命題“”的否定為“”B.命題“，一元二次方程有實(shí)根”的否定為假命題C.“、為無理數(shù)”是“為無理數(shù)”的充分不必要條件D.“”是“”的必要不充分條件【答案】BD【解析】【分析】A.利用含有一個(gè)量詞的命題的否定的定義判斷；B.利用判別式判斷；C.舉例判斷；D.利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】A.因?yàn)槊}“”是存在量詞命題，所以其否定全稱量詞命題，即為“”，故錯誤；B.因?yàn)?，所以命題“，一元二次方程有實(shí)根”是真命題，所以其否定為假命題，故正確； C.若，則，故不充分，故錯誤；D.當(dāng)時(shí)，，故充分性不成立，當(dāng)時(shí)，則，即，且，則，故必要性成立，故正確；故選：BD10.設(shè)函數(shù)，則（）A.當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)C.當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值為D.存在正實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】CD【解析】【分析】選項(xiàng)A，舉特殊情況時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)沒有最小值；選項(xiàng)B，函數(shù)在處不連續(xù)，函數(shù)不是增函數(shù)；選項(xiàng)C，利用基本不等式求出最小值即可；選項(xiàng)D，對的取值分類討論，其中時(shí)，利用復(fù)合函數(shù)和對勾函數(shù)尋找正實(shí)數(shù)判斷單調(diào)性即可.【詳解】函數(shù)的定義域是，對于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上函數(shù)和都單調(diào)遞增，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)沒有最小值，選項(xiàng)A錯誤；對于選項(xiàng)B，定義域是，函數(shù)在處不連續(xù)，函數(shù)不是增函數(shù)，選項(xiàng)B錯誤；對于選項(xiàng)C，，則（時(shí)等號成立），函數(shù)有最小值為，選項(xiàng)C成立； 對于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)存在正實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，設(shè)，，由得：，，，所以，成立，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)存在正實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在上單調(diào)遞增；選項(xiàng)D正確；故選：CD.11.下列四組圖象中，每組分別都是兩個(gè)函數(shù)的圖象，其中兩個(gè)函數(shù)圖象與解析式對應(yīng)可能正確的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)每個(gè)選項(xiàng)中兩個(gè)函數(shù)的圖象，求出實(shí)數(shù)的取值范圍，然后觀察每個(gè)選項(xiàng)中實(shí)數(shù)的范圍是否一致，即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，可得，對數(shù)函數(shù)在上為增函數(shù)，則，A滿足條件； 對于B選項(xiàng)，對數(shù)函數(shù)在上為減函數(shù)，則，由冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象可知，，取，令，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，此時(shí)函數(shù)為奇函數(shù)，B滿足條件；對于C選項(xiàng)，函數(shù)為減函數(shù)，且該函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)，由圖可得，解得，函數(shù)的圖象在第二、四象限，則，C不滿足條件；對于D選項(xiàng)，函數(shù)為減函數(shù)，且該函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)，由圖可得，解得，由冪函數(shù)在第一象限的圖象可知，，取，令，該函數(shù)的定義域?yàn)椋?，此時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)，合乎題意，D滿足條件.故選：ABD.12.設(shè)函數(shù)滿足：對任意實(shí)數(shù)、都有,且當(dāng)時(shí)，.設(shè).則下列命題正確的是（）A.B.函數(shù)有對稱中心C.函數(shù)為奇函數(shù)D.函數(shù)為減函數(shù)【答案】ABC【解析】【分析】令，可得，再令，判斷選項(xiàng)A；令，即可判斷選項(xiàng)B；由，判斷選項(xiàng)C；令,利用函數(shù)的單調(diào)性定義進(jìn)行判斷選項(xiàng)D.【詳解】由對于任意實(shí)數(shù)，， 令，則，即,再令,則，即，故A正確;令，則，即，故B正確；由，則，即是奇函數(shù)，故C正確；對于任意,則，當(dāng)時(shí)，，則，所以單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增，故D錯誤.故選：ABC三、填空題：本題共4小題．13.函數(shù)（，且）必過定點(diǎn)__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】因?yàn)?，且，所以令，得，此時(shí)，所以函數(shù)必過定點(diǎn).故答案為：14.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且對區(qū)間上的任意，，當(dāng)時(shí)，都有．若實(shí)數(shù)滿，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系建立不等式，解之可得答案.【詳解】因?yàn)閷^(qū)間上的任意，，當(dāng)時(shí)，都有，所以函數(shù) 在上單調(diào)遞減，又函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，實(shí)數(shù)滿，所以，兩邊平方得，解得，故答案為：.15.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求出在上單調(diào)遞減，再由在上單調(diào)遞減，得到，進(jìn)而求得a的取值范圍.【詳解】令，則.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在R上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以有，解得.故答案為：16.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足，則不等式的解集是_______.【答案】 【解析】【分析】由題意利用換元法得到關(guān)于的函數(shù)，判斷出的奇偶性和單調(diào)性，然后將不等式變形，由單調(diào)性和定義域得到關(guān)于的不等式，求解即可.【詳解】令，則，由，得，所以，，因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，因?yàn)椋谄涠x域內(nèi)單調(diào)遞增，則在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以函數(shù)單調(diào)遞增，而不等式可變形為，所以，由，解得，由，解得，由，令，得，即，所以，則，綜上，. 故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，脫掉“”是解有關(guān)函數(shù)不等式的常用方法.四、解答題：本題共6小題，解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．17.計(jì)算下列各式的值：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪以及根式的運(yùn)算求解；（2）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算求解.【小問1詳解】原式=；【小問2詳解】原式=.18.已知角終邊上有一點(diǎn)，且.（1）求的值，并求與的值；（2）化簡并求的值.【答案】（1），，（2）【解析】 【分析】（1）直接利用三角函數(shù)的定義依次計(jì)算得到答案.（2）根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡得到原式等于，計(jì)算得到答案.【小問1詳解】，，解得.故，.【小問2詳解】.19.設(shè)點(diǎn)是奇函數(shù)圖象上的動點(diǎn)，且時(shí)滿足.（1）求時(shí)，函數(shù)的解析式；（2）用定義法證明：函數(shù)在上單調(diào)遞減；（3）當(dāng)時(shí)，求的最小值.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求出當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式，然后利用奇函數(shù)的性質(zhì)可求出當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式；（2）任取、且，作差，變形后判斷的符號，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義可得出結(jié)論；（3）當(dāng)時(shí)，可得出，利用基本不等式可求得的最小值.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，由得，則，當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則. 所以，.【小問2詳解】由（1）知，對任意的、且，有，因?yàn)椋?，，，所以，，即，所以，在上單調(diào)遞減.【小問3詳解】由（1）知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，故的最小值為.20.學(xué)校數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組在假期社會實(shí)踐活動中，對某公司的一種產(chǎn)品銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：受不可抗力因素影響，該種產(chǎn)品在2022年8月份（價(jià)格浮動較大的一個(gè)月，以31天計(jì)）的最后7天無法進(jìn)行銷售，日銷售單價(jià)（單位：千元/千克）與第天（，）的函數(shù)關(guān)系滿足（k為正實(shí)數(shù)）．因公司數(shù)據(jù)保存不當(dāng)，只能查到該產(chǎn)品的日銷售量（單位：千克）與的如下數(shù)據(jù)：，，，已知第4天該產(chǎn)品的日銷售收入為256千元（日銷售收入日銷售單價(jià)日銷售量）．（1）給出以下三種函數(shù)模型：①；②；③，請你根據(jù)上述數(shù)據(jù)，幫助這組同學(xué)從中選擇最合適的一種函數(shù)模型來描述該產(chǎn)品在2022年8月份的日銷售量與的關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，求出該公司在2022年8月份第1天到第12天中，該產(chǎn)品日銷售收入（單位，千元）的最小值．【答案】（1）； （2）最小值為250千元.【解析】【分析】（1）由第4天該產(chǎn)品的日銷售收入及求出k，再由銷量的變化關(guān)系及函數(shù)模型選擇函數(shù)的關(guān)系式，再代入計(jì)算作答.（2）利用（1）的函數(shù)模型求出的表達(dá)式，再求出當(dāng)時(shí)，的最小值作答.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，由，得，即，（，），因?yàn)椋?，則，而，即日銷售量數(shù)據(jù)有增有減，顯然，模型①②都是單調(diào)函數(shù)，不符合題意，選擇模型③，將，代入模型③得：，解得，所以模型③的函數(shù)解析式為.【小問2詳解】由（1）知，當(dāng)時(shí)，，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以當(dāng)時(shí)，該產(chǎn)品日銷售收入最小，最小值為250千元.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及實(shí)際應(yīng)用問題，在理解題意的基礎(chǔ)上，找出分散的數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想與題意有關(guān)的數(shù)學(xué)知識和方法，恰當(dāng)引入變量，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化、抽象為數(shù)學(xué)問題作答.21.已知函數(shù) （1）作出函數(shù)的圖象（不寫作法），并根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，且，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)及對數(shù)函數(shù)圖象作出函數(shù)圖象，再根據(jù)函數(shù)圖象寫出單調(diào)區(qū)間即可；（2）依題意的圖象與直線有四個(gè)不同的公共點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可求出，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求出的關(guān)系，進(jìn)而可得出答案.【小問1詳解】圖象如圖所示：的單調(diào)遞增區(qū)間：，的單調(diào)遞減區(qū)間：；【小問2詳解】依題意的圖象與直線有四個(gè)不同的公共點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為，且，由二次函數(shù)圖象對稱性可知：，由知，則，，，由，得， 令，則，故，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即的取值范圍為.22.已知函數(shù)是偶函數(shù)，是奇函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】22.，23.【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)偶函數(shù)性質(zhì)運(yùn)算即可求出參數(shù)，注意檢驗(yàn).（2）首先根據(jù)的單調(diào)性化簡不等式，進(jìn)一步通過換元法，將不等式轉(zhuǎn)換為恒成立即可，分類討論即可求解.【小問1詳解】由題知函數(shù)定義域均為，∵是偶函數(shù)，∴即，即此時(shí)，而此時(shí)，所以，且定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，滿足題意，∵是奇函數(shù)，∴此時(shí)， 所以，且定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，滿足題意.【小問2詳解】在上單調(diào)遞增，故有對恒成立，又，∴對恒成立.令由知.則有對恒成立.即對恒成立.令只需即可.又對稱軸為，當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增，只需即可.∴當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.∴解得∴綜上所述，的取值范圍為