四川省成都市成華區(qū)某校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期10月月考文科數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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2023-2024學(xué)年度高2021級（上）階段性考試（一）數(shù)學(xué)（文科）試卷第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式的求解方法，結(jié)合集合的交集，可得答案.【詳解】由不等式，分解因式可得，解得，則，所以.故選：A.2.已知（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】B【解析】【分析】由已知等式求出復(fù)數(shù)，得到復(fù)數(shù)，由復(fù)數(shù)的幾何意義得在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在象限.【詳解】由，得，則，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限.故選：B3.拋物線的準線方程是（）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】先化為標準型，利用拋物線的準線方程可得答案.【詳解】因為，所以，所以準線方程為.故選：A.4.已知函數(shù)，則（）A.B.2C.D.3【答案】C【解析】【分析】利用分段函數(shù)的定義代入求值即可.【詳解】由題意可得：.故選：C．5.已知滿足約束條件,則目標函數(shù)的最小值是（）A.1B.2C.11D.無最小值【答案】A【解析】【分析】作出可行域,將目標函數(shù)變?yōu)?通過平移直線即可求出的最小值.【詳解】根據(jù)題意,可行域如圖所示:將直線平移至剛好經(jīng)過時,取的最小值:.故選:A. 6.下列函數(shù)中，既是上的增函數(shù)，又是以為周期的偶函數(shù)的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性、在指定區(qū)間上的單調(diào)性逐項判斷作答.【詳解】顯然函數(shù)、都是奇函數(shù)，AC不是；當時，，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞減，B不是；函數(shù)是周期為的偶函數(shù)，當時，，為原函數(shù)，即在上遞增，D是.故選：D7.定義在R上的奇函數(shù)滿足是偶函數(shù)，當時，，則（）A.B.C.0D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)奇偶性的性質(zhì)分析可得，進而可得，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，從而利用周期性即可求解.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，且，又函數(shù)是偶函數(shù)，則，變形可得， 則有，進而可得，所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，則.故選：C.8.用半徑為10cm，圓心角為的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，這個圓錐的體積為（）A.B.128C.D.96【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意確定圓錐的母線長，根據(jù)扇形的弧長求出圓錐的底面半徑和高，根據(jù)圓錐體積公式即可求得答案.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為R，由題意可知圓錐母線長為，由題意可得，故圓錐的高為，故圓錐的體積為，故選：C9.下列說法正確的有（）①對于分類變量與，它們的隨機變量的觀測值越大，說明“與有關(guān)系”的把握越大；②我校高一、高二、高三共有學(xué)生人，其中高三有人.為調(diào)查需要，用分層抽樣的方法從全校學(xué)生中抽取一個容量為的樣本，那么應(yīng)從高三年級抽取人；③若數(shù)據(jù)、、、的方差為，則另一組數(shù)據(jù)、、、的方差為；④把六進制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)為：.A.①④B.①②C.③④D.①③【答案】A【解析】【分析】利用獨立性檢驗可判斷①；利用分層抽樣可判斷②；利用方差公式可判斷③；利用進位制之間的轉(zhuǎn)化可判斷④.【詳解】對于①，對于分類變量與，它們的隨機變量的觀測值越大，說明“與有關(guān)系”的把握越大，①對； 對于②，由分層抽樣可知，應(yīng)從高三年級抽取的人數(shù)為，②錯；對于③，記，則，所以，數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，其方差為，③錯；對于④，把六進制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)為：，④對.故選：A.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)圖象可求出的解析式為，再根據(jù)平移規(guī)則可得.【詳解】由圖象可知，，解得；由振幅可知；將代入可得，又，即可得， 因此，易知，故選：C.11.人們用分貝來劃分聲音的等級，聲音的等級（單位：）與聲音強度（單位：）滿足.一般兩人小聲交談時，聲音的等級約為，在有50人的課堂上講課時，老師聲音的等級約為，那么老師上課時聲音強度約為一般兩人小聲交談時聲音強度的（）A.1倍B.10倍C.100倍D.1000倍【答案】C【解析】【分析】根據(jù)所給聲音等級與聲音強度的函數(shù)關(guān)系，求出聲音等級即可比較得解.【詳解】∵聲音的等級式（單位：）與聲音強度（單位：）滿足，又∵老師的聲音的等級約為63dB，，解得，即老師的聲音強度約為，∵兩人交談時的聲音等級大約為，，解得，即兩人交談時的聲音強度約為，老師上課時聲音強度約為兩人小聲交談時聲音強度的倍.故選：C12.函數(shù)的定義域為，當時，且，若函數(shù)有四個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】將在上的圖象每次向右平移2個單位，且縱坐標變?yōu)樵瓉淼囊话耄玫皆?上的圖象，根據(jù)的圖象與有四個不同的交點，得到的取值范圍.【詳解】先作出在上的圖象，根據(jù)可知在上的圖象為在上的圖象向右平移2個單位且縱坐標變?yōu)樵瓉淼囊话氲玫?，同理得到上的圖象，如圖：函數(shù)有四個不同的零點可看作與有四個不同的交點，由圖可知，故.故選：A．第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則______．【答案】35【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式，及等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：等差數(shù)列的前n項和為，，，故答案為：35.14已知，，則___________.【答案】【解析】【分析】本題首先可通過同角三角函數(shù)關(guān)系求出，然后根據(jù)二倍角公式即可得出結(jié)果.【詳解】因為，，所以，， 則，故答案為：.15.如圖，若坐標軸和雙曲線與圓的交點將圓的周長八等分，且，則該雙曲線的漸近線方程為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合代入法、雙曲線漸近線方程進行求解即可.【詳解】設(shè)雙曲線的標準方程為，設(shè)圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點為，連接、，則，因為坐標軸和雙曲線與圓的交點將圓的周長八等分，則，故點， 將點的坐標代入雙曲線的方程可得，所以，所以該雙曲線的漸近線方程為．故答案為：16.設(shè)函數(shù)，有下列結(jié)論：①的圖象關(guān)于點中心對稱；②的圖象關(guān)于直線對稱；③在上單調(diào)遞減；④在上最小值為，其中所有正確的結(jié)論是______．【答案】②③【解析】【分析】整理化簡解析式可得，根據(jù)正弦函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)逐一進行判斷即可．【詳解】，當時，，則的圖象關(guān)于點中心對稱，故①錯誤；當時，，則的圖象關(guān)于直線對稱，故②正確；由，得，當即時，函數(shù)單調(diào)遞減，則當時，函數(shù)單調(diào)遞減，故③正確； 當時，，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴的最小值為，故④錯誤．故答案為：②③．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.最近，紀錄片《美國工廠》引起中美觀眾熱議，大家都認識到，大力發(fā)展制造業(yè)，是國家強盛的基礎(chǔ)，而產(chǎn)業(yè)工人的年齡老化成為阻礙美國制造業(yè)發(fā)展的障礙，中國應(yīng)未雨綢繆.某工廠有35周歲以上(含35周歲)工人300名，35周歲以下工人200名，為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān).現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“35周歲以上(含35周歲)”和“35周歲以下”分為兩組，在將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組:分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖.，附表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（1）從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機抽取2人，求至少抽到一名“35周歲以下組”工人的概率.（2）規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”，請你根據(jù)已知條件完成的列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”?生產(chǎn)能手非生產(chǎn)能手合計 35歲以下35歲以上合計【答案】（1）（2）列聯(lián)表見解析，有把握.【解析】【分析】（1）分析可知，35周歲以上組工人有(人)，記為；35周歲以下組工人有(人)，記為，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）根據(jù)題中信息完善列聯(lián)表，計算出的觀測值，結(jié)合獨立性檢驗的基本思想可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：由已知得，樣本中有35周歲以上組工人60名，35周歲以下組工人40名，所以，樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中，35周歲以上組工人有(人)，記為；35周歲以下組工人有(人)，記為，從中隨機抽取2名工人，所有可能的結(jié)果共有10種:，，，，至少有一名“35周歲以下組”工人可能結(jié)果共有7種：，，，，，，，故所求的概率:.【小問2詳解】解：由頻率分布直方圖可知，在抽取的100名工人中，“35周歲以上組”中的生產(chǎn)能手(人)，“35周歲以下組”中的生產(chǎn)能手(人)， 據(jù)此可得列聯(lián)表如下:生產(chǎn)能手非生產(chǎn)能手合計35歲以下10304035歲以上303060合計4060100所以得:，所以有95%的把握認為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”.18.已知向量，函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，分別是角的對邊，且，，求的周長．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用向量數(shù)量積的坐標表示，二倍角公式、輔助角公式求出并化簡，再利用正弦函數(shù)單調(diào)性求解作答.（2）由（1）求出，再利用余弦定理求解作答.【小問1詳解】依題意，，由得：，所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是.【小問2詳解】由（1）知，，即，而，則，于是，解得，由余弦定理有，即， 解得，所以的周長為.19.如圖，在四棱錐中，平面平面，底面為菱形，為等邊三角形，且，，為的中點．（1）若為線段上動點，證明：；（2）求點與平面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）因為線段上動點，明顯要證明平面，利用線面垂直判定定理，分別證明，即可；（2）利用等體積變換求距離即得.【小問1詳解】連接，．∵為等邊三角形，，，，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，，，，， 又，平面，平面，，平面又平面，【小問2詳解】由（1）知平面平面，∴．由題意，∴，，∴中，，∴中，，∴中，由余弦定理得，設(shè)點到平面的距離為，則即，，得，故點與平面的距離為20.已知橢圓：左、右焦點分別為，，過的直線與交于，兩點，的周長為8，且點在上．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與圓：交于C，D兩點，當時，求面積的取值范圍．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由的周長結(jié)合橢圓的定義得出，再將代入橢圓方程，即可求出，進而得出橢圓的方程；（2）設(shè)直線l的方程為，由點到之間距離公式及勾股定理得出，設(shè)，，由直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得出和，代入，設(shè)，，由的單調(diào)性得出值域，即可求出的范圍．【小問1詳解】因為的周長為8，所以，解得，將點的坐標代入橢圓方程，得，解得，所以橢圓E的方程為．小問2詳解】由（1）知圓的方程為，設(shè)直線l的方程為，則圓心到直線l的距離，由，可得．設(shè)，，聯(lián)立方程組，消去x得， 則，，所以，設(shè)，則，設(shè)，易知在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，因為，所以．21.已知函數(shù)，．（1）當時，求函數(shù)在點處的切線方程；（2）若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，得到，利用導(dǎo)函數(shù)幾何意義求出切線方程；（2）求定義域，求導(dǎo)，分，兩種情況，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，得到要滿足函數(shù)有2個零點，只需，構(gòu)造函數(shù)， ，求導(dǎo)，得到其單調(diào)性，求出實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】當時，，，，，所以函數(shù)在點處的切線方程為，即；【小問2詳解】函數(shù)的定義域為，，當時，恒成立，單調(diào)遞增，所以不可能有2個零點；當時，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，當時，，當時，，所以要滿足函數(shù)有2個零點，只需，即，整理得，設(shè)，函數(shù)的定義域為，，所以在定義域上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為，所以的取值范圍為； 【點睛】導(dǎo)函數(shù)處理零點個數(shù)問題，由于涉及多類問題特征（包括單調(diào)性，特殊位置的函數(shù)值符號，隱零點的探索、參數(shù)的分類討論等），需要學(xué)生對多種基本方法，基本思想，基本既能進行整合，注意思路是通過極值的正負和函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的走勢，從而判斷零點個數(shù)，較為復(fù)雜和綜合的函數(shù)零點個數(shù)問題，分類討論是必不可少的步驟，在哪種情況下進行分類討論，分類的標準，及分類是否全面，都是需要思考的地方22.數(shù)學(xué)中有許多美麗的曲線，如在平面直角坐標系xOy中，曲線E：（如圖），稱這類曲線為心形曲線.以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，當時，（1）求E的極坐標方程；（2）已知P，Q為曲線E上異于O的兩點，且，求的面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將，代入曲線E，化簡可得答案；（2）不妨設(shè)，，，，則的面積，令，可得，再利用配方計算可得答案.【小問1詳解】將，代入曲線E，得，即，所以，E的極坐標方程為；【小問2詳解】不妨設(shè)，， 即，，則的面積由于，令，則，，則，故當時，，即的面積的最大值為.