四川省成都市某校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)Word版含解析.docx

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2023-2024學(xué)年度高2023級（上）階段性考試（二）暨半期考試數(shù)學(xué)試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．解選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后再選涂其他答案標(biāo)號．解非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.集合（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先解不等式，再根據(jù)元素是自然數(shù)求出集合內(nèi)的元素即可.【詳解】解不等式，解得，又因為，所以滿足的的值有，所以集合為，故選：C2.命題：“，都有”的否定是（）A.，都有B.，有C.，都有D.，有【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題判斷即可.【詳解】命題：“，都有”為全稱量詞命題，其否定為：，有.故選：D 3.在中國，周朝時期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并證明此定理的為公元前6世紀(jì)古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派，他們用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和．若一個直角三角形的斜邊長等于6，則這個直角三角形面積的最大值為（）A.6B.9C.12D.18【答案】B【解析】【分析】設(shè)直角三角形兩直角邊長分別、，則，再利用基本不等式計算可得.【詳解】設(shè)直角三角形兩直角邊長分別為、，依題意可得，所以三角形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故選：B4.已知冪函數(shù)的圖象過點，則的值為（）A.9B.3C.D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)求出，即可求出函數(shù)解析式，再代入計算可得.【詳解】設(shè)，則，所以，則，所以.故選：A5.函數(shù)的定義域為（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根據(jù)偶次方根的被開方數(shù)非負(fù)，分母不為零，零指數(shù)冪的底數(shù)不為零得到不等式組，解得即可.【詳解】對于函數(shù)，則，解得或，即函數(shù)的定義域為.故選：C6.已知函數(shù)是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】依題意可得，解得即可.【詳解】因為為增函數(shù)，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故選：B7.定義在R上的偶函數(shù)對都有，若，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，并比較的大小，再結(jié)合函數(shù)是偶函數(shù)，即可判斷選項.【詳解】由題意可知，任意，，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，，，所以，所以，再根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)，可得.故選：D8.若關(guān)于x的方程有兩個不等的實數(shù)解，則實數(shù)m的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得與的圖象有兩個交點，畫出的圖象如圖，結(jié)合圖象可得出答案.【詳解】關(guān)于x的方程有兩個不等的實數(shù)解，即與的圖象有兩個交點，畫出的圖象如圖， 由圖象可得：.故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)在區(qū)間上不具有單調(diào)性，則a的值可以是（）A.B.C.9D.4【答案】BD【解析】【分析】求出二次函數(shù)的對稱軸，從而得到，求出，得到答案.【詳解】的對稱軸為，由于在區(qū)間上不具有單調(diào)性，故，解得，所以AC錯誤，BD正確.故選：BD10.若不等式的解集為或，則（）A.B.不等式的解集為C.D.集合只有1個真子集【答案】ACD【解析】【分析】利用一元二次不等式解集的性質(zhì)，求出，后，依次代入計算可判斷各選項.【詳解】因為不等式的解集為或,所以，為方程的兩根，所以,，解得，，所以，故正確；將的值代入得，解得，故錯誤；，故正確；將的值代入可得，解得， 所以只有一個真子集，故正確.故選：.11.下列結(jié)論，正確的是（）A.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是B.函數(shù)（且）的圖像恒過定點C.函數(shù)與是同一函數(shù)D.函數(shù)的值域為【答案】BC【解析】【分析】求出函數(shù)的定義域，參數(shù)分離結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)，即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；解，即可得出函數(shù)圖象上的頂點；求出的定義域，化簡函數(shù)解析式，即可判斷C項；換元得出，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出函數(shù)的值域.【詳解】對于A項，因為，定義域為.根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，故A錯誤；對于B項，由可得，，，所以，函數(shù)的圖象恒過點.故B正確；對于C項，由可得，，所以定義域為；由可得，，所以定義域為，定義域相同.且，所以，為同一個函數(shù).故C正確；對于D項，令，則，所以，.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時，該函數(shù)在處取得最小值，無最大值. 所以，函數(shù)的值域為.故D錯誤.故選：BC.12.已知函數(shù)對任意的x，都有，且當(dāng)時，，則下列說法正確的是（）A.B.為偶函數(shù)C.在上有最大值D.的解集為【答案】AC【解析】【分析】令可判斷A；令，結(jié)合奇偶函數(shù)的定義可判斷B；由抽象函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合單調(diào)性的定義可判斷C；利用奇偶性和單調(diào)性解不等式可判斷D.【詳解】令，則，解得：，故A正確；令，則，所以為奇函數(shù)，故B錯誤；，，，，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以在上有最大值，故C正確；由，為奇函數(shù)，可得，又因為在上單調(diào)遞增，所以，即，解得：或,故D錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13計算：________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)根式的性質(zhì)及冪的運算法則計算可得. 【詳解】.故答案為：14.已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則當(dāng)時，________．【答案】【解析】【分析】利用奇函數(shù)的定義，卡好變量范圍，代入解析式中求解即可.【詳解】是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，，故答案為：15.命題，若是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】得到為真命題，只需，，求出的單調(diào)性，得到，得到答案.【詳解】若是假命題，則為真命題，故，只需，其中，故上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，其中，， 故，所以，故答案為：16.已知函數(shù)的最大值為m，若正數(shù)a，b滿足，則的最小值為_________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，，求出，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，即可得出，.根據(jù)“1”的代換，推得，結(jié)合基本不等式，即可得出答案.【詳解】設(shè)，，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且.作出函數(shù)的圖象，可知的最大值為A點的縱坐標(biāo)，即，所以，，則.又因為， 所以，.當(dāng)且僅當(dāng)，且，即，時等號成立.所以，的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知集合．（1）設(shè)全集，若，求﹔（2）若______（請從①，②是的充分條件，③這三個條件中選一個填入），求實數(shù)a的取值范圍．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出集合，由交集和補集的定義求解即可；（2）選①②③，可得出，即，解不等式即可求出答案.【小問1詳解】由得：，故所以或由得：，故故當(dāng)時，故【小問2詳解】選①，∵，∴ ∴解得：，故a的取值范圍是，選②，因為是的充分條件，∴，選③，因為，所以，注：選②或③，解法及其結(jié)果同①，具體過程同上．18.已知函數(shù)是奇函數(shù)，且．（1）求a，b的值：（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明你的判斷．【答案】（1）（2）函數(shù)上單調(diào)遞減，證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)已知結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)得出，列出方程組，求解得出的值，代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的定義域，檢驗即可得出答案；（2），且，作差整理得出，進而判斷符號，即可推得.【小問1詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù)，且，所以，所以，，解得，所以，，定義域為. ，都有，所以，是奇函數(shù)，滿足題意，故.【小問2詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減．由（1）知，，且，則.因為，且，所以，，，，故，所以，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減．19.已知函數(shù)是二次函數(shù)，且滿足．（1）求函數(shù)的解析式：（2）求函數(shù)在區(qū)間的最小值．【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）設(shè)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式.（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)討論單調(diào)性即可得到最小值.【小問1詳解】由題意設(shè)，則，，∴由得，∴，即.故函數(shù)的解析式為.【小問2詳解】由（1）知函數(shù)的對稱軸為直線，開口向上，①當(dāng)，即時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時；②當(dāng)，即時在區(qū)間上先減后增，此時；③當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時.綜上所述，.20.已知函數(shù)（，且）在上的最大值比最小值大2．（1）求的值；（2）設(shè)函數(shù)，求證：為奇函數(shù)的充要條件是． 【答案】（1）2；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）對參數(shù)分類討論分別求出最大值和最小值，然后代入求出的值即可；（2）先將代入證明奇函數(shù)得到充分性，再由奇函數(shù)求出得到必要性即可.【小問1詳解】當(dāng)時，此時單調(diào)遞增，，此時有，解得或（舍）；當(dāng)時，此時單調(diào)遞減，，此時有，方程無解，所以的值為2；【小問2詳解】由（1）知先證充分性：當(dāng)時，，所以，所以此時為奇函數(shù)；再證必要性：因為為奇函數(shù)，且的定義域為，所以，即，所以，綜上可知為奇函數(shù)的充要條件是．21.某地區(qū)上年度居民生活水價為2.8元/，年用水量為，本年度計劃將水價降到2.3元/到2.6元/之間，而用戶期望水價為2元/ ．經(jīng)測算，下調(diào)水價后新增用水量和實際水價與用戶的期望水價的差成反比（比例系數(shù)為k），已知該地區(qū)的水價成本價為1.8元/（1）寫出本年度水價下調(diào)后水務(wù)部門的收益y（單位：元）關(guān)于實際水價x（單位：元/）的函數(shù)解析式：（收益=實際水量×（實際水價一成本價））（2）設(shè)，當(dāng)水價最低定為多少時，仍可保證水務(wù)部門的收益比上年至少增長20%？（3）設(shè)，當(dāng)水價定為多少時，本年度水務(wù)部門的收益最低？并求出最低收益．【答案】（1）（2）2.4元/（3）當(dāng)水價定為2.4元/時，本年度水務(wù)部門的收益最低，最低收益為1.8a元【解析】【分析】（1）由題意分析得到實際水量為進而求解即可；（2）表示出本年度最低收益為，列出不等式進行求解即可；（3）令，將函數(shù)化成，運用基本不等式求解即可.【小問1詳解】由題意知，新增水量為：所以實際水量為：所以：.【小問2詳解】由題意值：即，化簡得：，解得：或，又∵，∴，故當(dāng)水價最低定為2.4元/時，仍可保證水務(wù)部門的收益比上年至少增長20%． 【小問3詳解】由題意知：令，則，由均值不等式有：（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）∴當(dāng)，即時，y取得最小值，最小值為1.8a，故當(dāng)水價定為2.4元/時，本年度水務(wù)部門的收益最低，最低收益為1.8a元．22.已知函數(shù)的定義域為，其中．（1）求的取值范圍．（2）當(dāng)時，是否存在實數(shù)滿足對，都使得成立？若存在，求實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在；【解析】【分析】（1）不等式在上恒成立.分類討論即可得出答案；（2）由題意，根據(jù)題意可得即可，令，分類討論求解即可.【小問1詳解】由題知：不等式在上恒成立.當(dāng)時，不等式變?yōu)?，顯然在上恒成立，符合題意.當(dāng)時，要不等式在上恒成立，則，解得：.綜上：a的取值范圍是.【小問2詳解】假設(shè)存在實數(shù)滿足題意． ∵，∴.令，則，∵對，都使得成立.∴不等式，即在區(qū)間恒成立，①當(dāng)時，不等式顯然組成立，此時：②當(dāng)時，不等式可化為，，由均值不等式有：（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），∴，即，由不等式恒成立有：.③當(dāng)時，不等式可化為：，由均值不等式有：（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），∴即，由不等式恒成立有：：