河南省南陽市南召縣2022-2023學年高一下學期期中數(shù)學試題 Word版含解析.docx

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2022-2023年春期南召縣高一期中質量檢測數(shù)學試卷注意事項：1．答題前考生務必將自己的姓名．考生號填寫在試卷和答題卡上并將考生的條形碼貼在答題卡指定位置上2．回答選擇題時，選出每小題答案之后用鉛筆把答題卡對應題目的標號涂黑，如需改動用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束之后，將本卷和答題卡一并收回．一、選擇題（每題5分共40分）1.的值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用誘導公式計算可得出的值.【詳解】，故選：B.2.函數(shù)的最小正周期為π，將的圖象向左平移個單位長度后，得到一個偶函數(shù)的圖象，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)最小正周期求出，寫出平移后的解析式，根據(jù)其為偶函數(shù)得到，，根據(jù)的范圍即可得到答案.【詳解】由最小正周期，可得，的圖象向左平移個單位長度后為偶函數(shù)的圖象， 故，，，．，，故選：B．3.函數(shù)的部分圖像大致為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先求出函數(shù)的定義域，再判斷函數(shù)的奇偶性，最后利用特殊值及排除法判斷即可.【詳解】因為，則，解得且，所以函數(shù)的定義域為，令，則，即為偶函數(shù)，又為奇函數(shù)，所以為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關于原點對稱，故排除D，又，故排除B、C；故選：A4.已知某摩天輪的半徑為，其中心到地面的距離為，摩天輪啟動后按逆時針方向勻速轉動，每分鐘轉動一圈．已知當游客距離地面超過時進入最佳觀景時間段，則游客在摩天輪轉動一圈的過程中最佳觀景時長約有（） A.分鐘B.分鐘C.分鐘D.分鐘【答案】B【解析】【分析】求出游客到地面的距離為關于轉動時間（單位：分鐘）的函數(shù)關系式，然后解不等式，可得出結果.【詳解】設游客到地面的距離為，設關于轉動時間（單位：分鐘）的函數(shù)關系式為，則，，可得，函數(shù)的最小正周期為，則，當時，游客位于最低點，可取，所以，，由，即，可得，所以，，解得，因此，游客在摩天輪轉動一圈的過程中最佳觀景時長約有分鐘.故選：B.5.若，，，的夾角為，則等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義，即可得出答案.【詳解】由已知可得，.故選：B.6.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，則下列結論錯誤的是（）A.B.為直角三角形C.若，則外接圓半徑為5D.若P為內一點，滿足 ，則與的面積相等【答案】C【解析】【分析】AB選項，由正弦定理得到，并判斷出三角形為直角三角形；C選項，由正弦定理求解外接圓半徑；D選項，經(jīng)過分析得到點在三角形的中線上，得到答案.【詳解】A選項，由正弦定理得，A正確；B選項，由A知，故，故為直角三角形，B正確；C選項，由B知，，因為，由正弦定理得，故外接圓半徑為，C錯誤；D選項，取的中點，則，因為，所以，即點在三角形的中線上，故與的面積相等，D正確.故選：C7.在中，的角平分線交于點，，，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先在中，由余弦定理求得，即可知為等腰三角形，再解出和，然后在中，由正弦定理求解即可.【詳解】如圖所示，在中，由余弦定理得， ∴，∴等腰三角形，，，又∵為角平分線，∴，∴在中，，由正弦定理得得，.故選：A．8.某同學因興趣愛好，自己繪制了一個迷宮圖，其圖紙如圖所示，該同學為讓迷宮圖更加美觀，在繪制過程中，按單位長度給迷宮圖標記了刻度，該同學發(fā)現(xiàn)圖中A，B，C三點恰好共線，則（）A.7B.C.D.8【答案】C【解析】【分析】利用向量共線的坐標表示可得.【詳解】由圖可知，所以，，因為，所以，解得.故選：C二、多選題（每題5分共20分）9.已知函數(shù) 的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.該圖象對應的函數(shù)解析式為B.函數(shù)的圖象關于直線對稱C.函數(shù)的圖象關于點對稱D.函數(shù)在區(qū)間上單調遞減【答案】AB【解析】【分析】先依據(jù)圖像求得函數(shù)的解析式，再去代入驗證對稱軸、對稱中心、單調區(qū)間，即可判斷.【詳解】由圖象可知，，即，所以，又，可得，又因為，所以，所以，故A正確；當時，，所以函數(shù)的圖象關于直線對稱，故B正確；當時，，故函數(shù)的圖象不關于點對稱，故C錯誤；當時，則，因為在上不單調，所以函數(shù)在上不單調遞減，故D錯誤． 故選：AB10.筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟又環(huán)保，明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（圖1）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動．如圖2，將筒車抽象為一個半徑為R的圓，設筒車按逆時針方向每旋轉一周用時60秒，當，盛水筒M位于點，經(jīng)過t秒后運動到點，點P的縱坐標滿足（，，），則下列敘述正確的是（）A.筒車轉動角速度B.當筒車旋轉50秒時，盛水筒M對應的點P的縱坐標為C.當筒車旋轉50秒時，盛水筒M和初始點的水平距離為D.盛水筒M第一次到達最高點需要的時間是25秒【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意，結合正弦型函數(shù)的性質逐一判斷即可.【詳解】A：因為筒車按逆時針方向每旋轉一周用時秒，所以，因此A正確；B：因為當時，盛水筒位于點，所以，所以有，因為，所以，即，所以，因此B正確； C：由B可知：盛水筒的縱坐標為，設它的橫坐標為，所以有，因為筒車旋轉秒時，所以此時盛水筒在第三象限，故，盛水筒和初始點的水平距離為，因此C錯誤；D：因為，所以筒車在秒的旋轉過程中，盛水筒第一次到達最高點所需要的時間是，因此D正確.故選：ABD.11.下列說法錯誤的是（）A.若與是共線向量，則點A，B，C，D必在同一條直線上B.若，則一定有使得C.若，且，則和在上的投影向量相等D.若，則與的夾角為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)向量共線，數(shù)量積的幾何意義，以及向量夾角和模的公式，即可判斷選項.【詳解】A.若與是共線向量，則與方向相同或相反，點A，B，C，D不一定在同一條直線上，故A錯誤；B.若，，時，不存在使得，故B錯誤；C.根據(jù)投影向量的定義和公式，可知C正確；D.由，兩邊平方后得，且，兩邊平方后得，，，所以與的夾角為，故D錯誤.故選：ABD12.如圖甲所示，古代中國的太極八卦圖是以同圓內的圓心為界，畫出相等的兩個陰陽魚，陽魚的頭部有眼，陰魚的頭部有個陽殿，表示萬物都在相互轉化，互相滲透，陰中有陽，陽中有陰，陰陽相合，相生相克，蘊含現(xiàn)代哲學中的矛盾對立統(tǒng)一規(guī)律其平面圖形記為圖乙中的正八邊形ABCDEFGH，其中，則以下結論正確的是（） A.與的夾角為B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)已知條件建立平面直角坐標系，寫出相關點的坐標，利用向量的夾角及向量的模的公式的坐標表示，結合向量的線性運算及向量的數(shù)量積的坐標表示即可求解.【詳解】由題意可知，分別以所在的直線為軸和軸，建立平面直角坐標系如圖所示，因為正八邊形ABCDEFGH，所以,作,則,因為，所以，所以，同理可得其余各點坐標：,,,,，對于A，由，，得 ，而，所以與的夾角不為，故A錯誤對于B，由，得，故B正確；對于C，由，所以，故C正確；對于D，由，得，故D錯誤.故選：BC.【點睛】關鍵點睛：解決此題的關鍵是建立平面直角坐標系，利用向量的坐標運算即可.三、填空題（每題5分共20分）13.計算的結果為__________．【答案】##【解析】【分析】利用誘導公式化簡，結合特殊角的三角函數(shù)值可得結論.【詳解】因為，，，所以， 故答案為：.14.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若將函數(shù)圖象上所有的點向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，則的值為______．【答案】##【解析】【分析】由函數(shù)圖象求得參數(shù)，可得的解析式，根據(jù)圖象的平移變換即得的解析式，即可求得答案.【詳解】由的圖象可知，故，則，則,即，而，故，所以，則，故，故答案為：15.已知向量，滿足，，，則向量，的夾角為__________.【答案】##【解析】 【分析】設與的夾角為，，得到，解得答案.【詳解】設與的夾角為，，則，解得，，故.故答案為：16.設，，，為空間中4個單位向量，滿足，，，且．則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】設，得到，由題意求得，設，轉化為且，進而求得，得到，即可求解.【詳解】設，且，因為，可得，又由，因為，可得，設，可得，代入上式，可得且，所以，所以，即的最小值為.故答案為：. 四、解答題（共70分）17.已知向量，，函數(shù).（1）求的最小正周期以及單調遞增區(qū)間；（2）將的圖象向左平移單位后得到的圖象，當，求的值域.【答案】（1），增區(qū)間（2）【解析】【分析】（1）求得，根據(jù)周期公式可求得最小正周期，令可求得單調遞增區(qū)間；（2）由求得，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質即可求解.【小問1詳解】由題意知：，所以，令，則所以的最小正周期為，增區(qū)間為.【小問2詳解】由題意知：所以當時，所以.即的值域為.18.在銳角中，角的對邊分別是，，，若（1）求角的大小； （2）若，求中線長的范圍（點是邊中點）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，利用正弦定理進行邊角轉化，可得到，從而求出結果；（2）先利用向量的中線公式得到，再利用正、余弦定理及條件求出的范圍，進而求出結果.【小問1詳解】因為，由正弦定理可得：即，所以，因為，所以，所以，因為，所以.【小問2詳解】由（1）得，且，由余弦定理知，，得到，因為點D是邊BC中點，所以，兩邊平方可得:，所以，因為，又，，所以,又因為為銳角三角形，所以，，得到，所以，由的圖像與性質知，， 所以，所以，得到故.19.如圖，在直角三角形中，．點分別是線段上的點，滿足．（1）求的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量線性運算即可求解，（2）利用向量垂直數(shù)量積為0即可求解.【小問1詳解】在直角三角形中，，，,，所以；【小問2詳解】 所以，解得或，由于，故，存在實數(shù)，使得.20.已知函數(shù)，是函數(shù)的對稱軸，且在區(qū)間上單調．（1）從條件①、條件②、條件③中選一個作為已知，使得的解析式存在，并求出其解析式；條件①：函數(shù)的圖象經(jīng)過點；條件②：是的對稱中心；條件③：是的對稱中心．（2）根據(jù)（1）中確定，若的值域為，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到和，再根據(jù)選擇的條件得到第三個方程，分析方程組即可求解；（2）先求出所在的范圍，正弦函數(shù)的性質得到，解得即可.【小問1詳解】因為在區(qū)間上單調，所以， 因為，且，解得；又因為是函數(shù)的對稱軸，所以；若選條件①：因為函數(shù)的圖象經(jīng)過點，所以，因為，所以，所以，，即，當時，，滿足題意，故.若選條件②：因為是的對稱中心，所以，所以，，此方程無解，故條件②無法解出滿足題意得函數(shù)解析式.若條件③：因為是的對稱中心，所以，所以，，解得，所以.【小問2詳解】由（1）知，因為，所以，又在上的值域為，所以，解得，即.21.已知的內角的對邊分別為，設 .（1）求；（2）現(xiàn)給出三個條件：①②③.試從中選出兩個可以確定的條件，寫出你的方案，并以此為依據(jù)求的面積（寫出一種方案即可）【答案】（1）（2）選①②：；選①③：【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理角化邊，再根據(jù)余弦定理求解即可；（2）選①②：由正弦定理可得，再根據(jù)結合三角形面積公式求解即可；選①③：由余弦定理可得，再根據(jù)三角形面積公式求解即可.【小問1詳解】由正弦定理可得，，即，由余弦定理，又，故.【小問2詳解】選①②：由正弦定理，可得，又，故選①③：由余弦定理：，故，解得，此時，.選②③：由可得，三角形不存在.22.若函數(shù)滿足，且，，則稱為“型函數(shù)”. （1）判斷函數(shù)是否為“型函數(shù)”，并說明理由；（2）已知為定義域為的奇函數(shù)，當時，，函數(shù)為“型函數(shù)”，當時，，若函數(shù)在上的零點個數(shù)為9，求的取值范圍.【答案】（1）函數(shù)是“型函數(shù)”，理由見解析（2）【解析】【分析】（1）判斷出關于直線對稱，且最小正周期為，由定義可判斷出答案；（2）由題意得到的零點為，0，1，即或或，由對稱性和周期性畫出在上的圖象，數(shù)形結合求出.【小問1詳解】由，得，所以的周期為，由，，得的圖象關于直線對稱，因為，所以的圖象關于直線對稱，又的最小正周期為，所以函數(shù)是“型函數(shù)”.【小問2詳解】令，得，因為是定義域為的奇函數(shù)，所以的零點為，0，1.令，所以或0或1，即或或.畫出在上的圖象，由的圖象關于直線對稱， 可畫出在上圖象.由的最小正周期為，可畫出在上的圖象.故在上的圖象如圖所示，所以函數(shù)在上的零點個數(shù)等于在上的圖象與直線，，的交點個數(shù)之和.當，即時，在上的圖象與直線，，的交點個數(shù)之和為9.故的取值范圍為【點睛】函數(shù)零點問題：將函數(shù)零點問題或方程解的問題轉化為兩函數(shù)的圖象交點問題，將代數(shù)問題幾何化，借助圖象分析，大大簡化了思維難度，首先要熟悉常見的函數(shù)圖象，包括指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，三角函數(shù)等，還要熟練掌握函數(shù)圖象的變換，包括平移，伸縮，對稱和翻折等，涉及零點之和問題，通?？紤]圖象的對稱性進行解決.