浙江省紹興市柯橋區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 Word版含解析.docx

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2023學(xué)年高一第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.本科考試分為試題卷和答題卷，考生須在答題卷上答題.2.答題前，請(qǐng)?jiān)诖痤}卷的規(guī)定處用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫(xiě)學(xué)校、班級(jí)、姓名和準(zhǔn)考證號(hào).3.試卷分為選擇題和非選擇題兩部分，共6頁(yè).全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A.B.2C.D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模長(zhǎng)公式計(jì)算.【詳解】由復(fù)數(shù)得，.故選：A2.已知向量，，且，則（）A.B.2C.D.【答案】D【解析】【分析】由，可得，計(jì)算即可得的值.【詳解】由，故，故.故選：D.3.已知水平放置的四邊形的斜二測(cè)直觀圖為矩形，已知，，則四邊形的面積為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的公式，畫(huà)出復(fù)原圖即可求解.【詳解】因?yàn)?，，取的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為建立坐標(biāo)系如左圖，因斜二測(cè)直觀圖為矩形，，,則，可得原圖中（右圖），,,四邊形的面積為.故選：D.4.大善塔，位于紹興市區(qū)城市廣場(chǎng)東南隅，是紹興城地標(biāo)性建筑，其塔頂部可以近似地看成一個(gè)正六棱錐.假設(shè)該六棱錐的側(cè)面和底面的夾角為，則該六棱錐的高和底面邊長(zhǎng)之比為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】如圖正六棱錐中，取的中點(diǎn)，則為側(cè)面和底面的夾角，根據(jù)的值可求得的值. 【詳解】如圖正六棱錐中，底面中心為，取的中點(diǎn)，連接，則，所以為側(cè)面和底面的夾角，即因?yàn)榈酌?，底面，所以，所以，又，所以，所?故選：C5.某校組織高一1班，2班開(kāi)展數(shù)學(xué)競(jìng)賽，1班40人，2班30人，根據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，兩班成績(jī)的方差分別為，.記兩個(gè)班總成績(jī)的方差為，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】借助分層抽樣的方差公式計(jì)算即可得.【詳解】設(shè)兩個(gè)班的平均分分別為，，兩個(gè)班的總的平均分為，則.故選：B.6.有一座6層大樓，3人從大樓第一層進(jìn)入電梯，假設(shè)每個(gè)人自第二層開(kāi)始在每一層離開(kāi)電梯是等可能的，則這3人離開(kāi)電梯的層數(shù)之和為10的概率是（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用古典概型，根據(jù)這人離開(kāi)電梯的層數(shù)之和為的情況進(jìn)行分類求解.【詳解】假設(shè)每個(gè)人自第二層開(kāi)始在每一層離開(kāi)電梯是等可能的,則基本事件的總數(shù)，這人離開(kāi)電梯的層數(shù)之和為有4種情況：①三個(gè)人下電梯的層數(shù)分別為，有種情況，②三個(gè)人下電梯的層數(shù)分別為，有種情況，③三個(gè)人下電梯的層數(shù)分別為，有種情況，④三個(gè)人下電梯的層數(shù)分別為，有種情況，所以這3人離開(kāi)電梯的層數(shù)之和為10的概率是.故選：B.7.已知點(diǎn)是邊長(zhǎng)為1的正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面所成的角大小為，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由題意，分析可得點(diǎn)的軌跡，分別計(jì)算各段軌跡的長(zhǎng)度即可.【詳解】若點(diǎn)P在正方形內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作平面于，連接.則為直線與平面所成的角，則， 又，則，得，則點(diǎn)的軌跡為以為圓心半徑為1的圓（落在正方形內(nèi)的部分），若點(diǎn)P在正方形內(nèi)或內(nèi)，軌跡分別為線段和，因?yàn)辄c(diǎn)P不可能落在其他三個(gè)正方形內(nèi)，所以點(diǎn)的軌跡如圖所示：故點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為.故選：D8.費(fèi)馬點(diǎn)是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn).當(dāng)三角形三個(gè)內(nèi)角都小于時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)與三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成的三個(gè)角都為.已知在中，，為的費(fèi)馬點(diǎn)，若，，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意作出圖形，設(shè)，利用正弦定理將表示為關(guān)于的式子，然后利用三角恒等變形與三角函數(shù)的值域求的取值范圍即可.【詳解】設(shè)，則，，由得，解得，滿足，， 在中，，可得，同理可得，所以，因?yàn)椋援?dāng)，即時(shí)，最大值為，結(jié)合，可得的最小值為， 所以當(dāng)時(shí)，由最小值，即的取值范圍是.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于三角中有關(guān)邊的最值問(wèn)題，我們通常利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，然后利用三角公式變形求最值.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下面給出的關(guān)系式中，不正確的是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求解.【詳解】對(duì)A：由可得，而，故A說(shuō)法正確；對(duì)B：取，則成立，但不一定成立，故B說(shuō)法錯(cuò)誤；對(duì)C：表示與共線的向量，而表示與共線的向量，所以不一定成立，故C說(shuō)法錯(cuò)誤；對(duì)D：，故，故D說(shuō)法錯(cuò)誤.故選：BCD10.已知復(fù)數(shù)，，下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在一條直線上【答案】AD【解析】 【分析】根據(jù)題意，由共軛復(fù)數(shù)的定義分析A；舉反例說(shuō)明BC；由復(fù)數(shù)的幾何意義確定D.【詳解】對(duì)于A：設(shè)，若，則，故必有，A正確；對(duì)于B：若，，則有，但，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，，則有，但，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為和若，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為線段的中垂線，故在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在一條直線上，D正確.故選：AD.11.下列命題正確的是（）A.對(duì)于事件，，若，則B.若三個(gè)事件，，兩兩互斥，則C.若，，則事件，相互獨(dú)立與互斥不會(huì)同時(shí)發(fā)生D.若事件，滿足，，，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件的定義，結(jié)合獨(dú)立事件的定義、對(duì)立事件的概率公式逐一判斷即可.【詳解】A：因?yàn)?，所以事件，不是互斥事件，因此不成立，所以本選項(xiàng)不正確；B：根據(jù)互斥事件的性質(zhì)可知本選項(xiàng)正確；C：假設(shè)事件，相互獨(dú)立，則有，因此，所以和不互斥；反之，若事件，是互斥事件，則有，那么，所以事件，不獨(dú)立，因此件，相互獨(dú)立與互斥不會(huì)同時(shí)發(fā)生，所以本選項(xiàng)正確；D： 因，因?yàn)?，所以，因此本選項(xiàng)正確，故選：BCD12.如圖棱長(zhǎng)為2的正方體中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是正方體表面上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為內(nèi)（不含邊界）的一點(diǎn)，若平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A.平面與線段交點(diǎn)為線段的中點(diǎn)B.到平面的距離為C.三棱錐體積存在最大值D.直線與直線所成角的余弦值的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)A：取的中點(diǎn)，連接，可證四點(diǎn)共面即可判斷A；對(duì)B：分別取的中點(diǎn)，可證平面平面，將到平面的距離轉(zhuǎn)化為B到平面的距離，利用空間向量求解；對(duì)C：，判斷能否取得最大值即可判斷C；將直線與直線所成角的最小值轉(zhuǎn)化為與平面夾角求解. 【詳解】對(duì)A：取的中點(diǎn)，連接，則，所以四點(diǎn)共面，所以平面與線段的交點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，故A正確；對(duì)B：分別取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，同理可證：平面，又，平面，所以平面平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面，所以的軌跡為線段，所以到平面的距離為到平面的距離，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸正半軸建系，則，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則取得，到平面的距離為,所以到平面的距離為，故B正確；對(duì)C：,當(dāng)在E處時(shí)最大，而為內(nèi)(不含邊界)的點(diǎn)，故沒(méi)有最大值，所以三棱錐體積不存在最大值，故 C錯(cuò).對(duì)D：下面證明當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒有，當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)由于在經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線上知，，，所以，所以，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)即在N處時(shí)有最大值；當(dāng)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由對(duì)稱性知，當(dāng)在M處時(shí)有最大值，當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)中點(diǎn)為，則，所以在N（或M）處時(shí)有最大值；綜上知當(dāng)線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒有.平面平面，平面平面，設(shè)平面平面，∴直線與直所成角為與所成角.設(shè)夾角， 根據(jù)最小角定理（斜線與平面內(nèi)任意直線的夾角大于等于斜線與該平面的夾角）可知，大于等于與平面的夾角，作平面于H，則，而為定值，，所以，而為與平面夾角正弦值，，平面的法向量為，，∴，∴，所以直線與直線所成角的余弦值的最大值為，故D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將直線平移轉(zhuǎn)化到平面內(nèi)的直線l是關(guān)鍵的一步，這樣將與的夾角轉(zhuǎn)化為與l的夾角，進(jìn)而使用最小角定理轉(zhuǎn)化為與平面夾角問(wèn)題解決.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，，則________.【答案】【解析】【分析】計(jì)算，再求.【詳解】，，所以，所以.故答案為：14.已知點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡必通過(guò)的________.（填：內(nèi)心，外心，垂心，重心）【答案】外心【解析】【分析】為的中點(diǎn)，由，得，則點(diǎn)的軌跡必通過(guò)的外心. 【詳解】點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，設(shè)為的中點(diǎn)，，則有，所以，所以動(dòng)點(diǎn)在線段的中垂線上，則點(diǎn)的軌跡必通過(guò)的外心.故答案為：外心15.在中，角分別對(duì)應(yīng)邊，，，已知函數(shù)，若存在最大值，則正數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】由三角形的正弦定理和三角函數(shù)的恒等變換，以及正弦函數(shù)的最值，結(jié)合不等式可得正數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)的外接圓的半徑為，由正弦定理可得，又，可得，即有，所以，，因?yàn)?，若存在最大值，則，所以，即，解得. 故答案為：.16.已知三棱錐，面，，交于，交于，，記三棱錐，四棱錐的外接球的表面積分別為，，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，則________.【答案】【解析】【分析】畫(huà)出對(duì)應(yīng)圖形，有題目條件可得其中相應(yīng)線與線、線與面的位置關(guān)系，結(jié)合勾股定理可計(jì)算出相應(yīng)長(zhǎng)度，即可確定三棱錐的外接球球心及半徑，以及四棱錐的外接球球心及半徑與的關(guān)系，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，借助等體積法與基本不等式可得此時(shí)、的長(zhǎng)度，即可幫助確定四棱錐的外接球半徑的具體值，即可得解.【詳解】由、，取中點(diǎn)，則，故為三棱錐外接球球心，且其半徑，由平面，且、平面，故，，又，、平面，且，故平面，又、平面，故，，又，且、平面，，故平面，又、平面，故，，又，、平面，，故平面，又平面，故，又，故，連接，取中點(diǎn)，則為四邊形外接圓圓心，連接點(diǎn)與中點(diǎn)，則，又平面，故平面，即平面， 又，故為四棱錐的外接球球心，且其半徑，由平面，故，，由，故，有，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故三棱錐體積最大時(shí)，有，由，則，由，，則有，則有，解得，故，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè)，一是借助題目條件中所給的位置關(guān)系，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理及判定定理去確定新的位置關(guān)系，二是找?guī)缀误w的外接球球心可借助外接球的性質(zhì)，即球心到各定點(diǎn)距離相等，或想找出底面外接圓圓心，再過(guò)該點(diǎn)作垂直底面的直線，則球心定在此直線上. 四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知平面向量，的夾角為，且，，.（1）當(dāng)，求；（2）當(dāng)時(shí)，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)，，兩邊平方，利用向量數(shù)量積求；（2）當(dāng)時(shí)，有，利用向量數(shù)量積求的值.【小問(wèn)1詳解】平面向量，的夾角為，且，，當(dāng)，，則，所以.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，所以.18.《中國(guó)制造2025》提出“節(jié)能與新能源汽車”作為重點(diǎn)發(fā)展領(lǐng)域，這為我國(guó)節(jié)能與新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展指明了方向，某新能源汽車生產(chǎn)商為了提升產(chǎn)品質(zhì)量，對(duì)某款汽車的某項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行檢測(cè)后，頻率分布直方圖如圖所示：（1）求該項(xiàng)指標(biāo)的第30百分位數(shù)；（2）若利用該指標(biāo)制定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值，將該指標(biāo)小于的汽車認(rèn)為符合節(jié)能要求，已知 ，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求該款汽車符合節(jié)能要求的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用百分位數(shù)的定義求解；（2）分和，分別求出，寫(xiě)成分段函數(shù)的形式即可.【小問(wèn)1詳解】，，所以第30百分位數(shù)落在區(qū)間內(nèi)，設(shè)其為，則，解得.即該項(xiàng)指標(biāo)的第30百分位數(shù)為.小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以.19.如圖，在四棱錐中，，，，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).（1）證明：平面； （2）當(dāng)直線與平面所成角為時(shí)，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件求出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的一個(gè)法向量，根據(jù)即可得證；（2）根據(jù)條件求得P點(diǎn)坐標(biāo)，再分別求得面與面的法向量，利用向量法求解即可.【小問(wèn)1詳解】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，過(guò)點(diǎn)A且垂直于面的直線向上方向?yàn)閦軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.則.設(shè)，則由得，由圖知，故解得，所以.設(shè)，則，，，因?yàn)椋?，所以有，解得，故，則， 因?yàn)椋字娴囊粋€(gè)法向量，因?yàn)椋訣P⊥平面ABCD【小問(wèn)2詳解】由（1）知因?yàn)橹本€PB與平面ABC所成角為45°，且平面，故有，因?yàn)?，故解得，所以，則，設(shè)面的法向量為，則有，令，則則面的一個(gè)法向量，設(shè)面的法向量為，則有，令，則則面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角的平面角為，由圖知為銳角，故.即二面角的余弦值為.20.在中，內(nèi)角對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，若.（1）證明：；（2）求的取值范圍.【答案】（1）證明見(jiàn)解析 （2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理，以及余弦定理將條件變形整理可得結(jié)論；（2）由已知變形可得，然后利用換元法求的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】解法1：，即證.解法2：要證，只要證，即證只要證，因?yàn)椋猿闪?，故；【小?wèn)2詳解】，設(shè). 21.某班學(xué)生分A，，，四組參加數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)答，規(guī)則如下：四組之間進(jìn)行單循環(huán)（每組均與另外三組進(jìn)行一場(chǎng)比賽）；每場(chǎng)比賽勝者積3分，負(fù)者0分；若出現(xiàn)平局，則比賽雙方各積1分.現(xiàn)假設(shè)四個(gè)組戰(zhàn)勝或者負(fù)于對(duì)手的概率均為，出現(xiàn)平局的概率為，每場(chǎng)比賽相互獨(dú)立.（1）求A組在參加兩場(chǎng)比賽后得分為3分的概率；（2）一輪單循環(huán)結(jié)束后，求四組總積分一樣的情況種數(shù)，并計(jì)算四組總積分一樣的概率.【答案】（1）（2）7種，【解析】【分析】（1）A組在參加兩場(chǎng)比賽后得分為3分有兩種情況，一場(chǎng)勝二場(chǎng)負(fù)和一場(chǎng)負(fù)二場(chǎng)勝，根據(jù)分步乘法原理和分類加法原理可得；（2）求出6場(chǎng)比賽都出現(xiàn)平局的概率以及每組學(xué)生3場(chǎng)比賽結(jié)果均為1勝1平1負(fù)的概率，再求和即可.【小問(wèn)1詳解】A組在參加兩場(chǎng)比賽后得分為3分的概率為【小問(wèn)2詳解】四組總積分一樣，可以每次都是平局，也可以每組學(xué)生是一勝一負(fù)一平.如:A勝B負(fù)，A負(fù)C勝，AD平BC平，B勝D負(fù)，C負(fù)D勝不難發(fā)現(xiàn)，A的三種情況確定后，比賽結(jié)果是確定的，所以只要去看可能出現(xiàn)的情況，A勝B負(fù)，A負(fù)C勝，AD平，A負(fù)B勝，A勝C負(fù)，AD平A勝B負(fù)，A負(fù)D勝，AC平，A負(fù)B勝，A勝D負(fù)，AC平A勝C負(fù)，A負(fù)D勝，AB平，A負(fù)C勝，A勝D負(fù)，AB平共6+1=7種 22.如圖1，在梯形中，，是線段上的一點(diǎn)，，，將沿翻折到的位置.（1）如圖2，若二面角為直二面角，，分別是，的中點(diǎn)，若直線與平面所成角為，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值的取值范圍；（2）我們把和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，分別在線段，上（不包含端點(diǎn)），且為，的公垂線，如圖3所示，記四面體的內(nèi)切球半徑為，證明：.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)求出的范圍，將平面與平面所成銳二面角的余弦值表示為的函數(shù)，再求范圍.（2）是四面體的表面積，可證，，從而證得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】由題意知，而，是的中點(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面， 在平面內(nèi)作的垂直作為軸，所以軸，如圖以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以分別為軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系：因?yàn)?，設(shè)，所以，，，，，則，，所以，，，，.設(shè)平面的法向量，由得，取，，解得.設(shè)平面的法向量，由得，取，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則， 所以平面與平面所成銳二面角余弦值的取值范圍是.【小問(wèn)2詳解】是四面體的表面積，，令與面所成角為，，，因?yàn)槭枪咕€，上的點(diǎn)和上的點(diǎn)的最短距離是，（取不到等號(hào)，），，