九大考點+真題模擬題練選填04二項式定理（解析版）.docx

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選填04二項式定理【考點01求展開式中的指定項】【例1】若的展開式中各項系數(shù)之和為，則展開式中的系數(shù)為（????）A．B．945C．2835D．【答案】D【分析】根據(jù)賦值法求系數(shù)和得，即可根據(jù)展開式的通項公式求解.【詳解】令，得，得，則的展開式的通項，令，得，則，故展開式中的系數(shù)為，故選：D．【例2】設，若.則.學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【答案】4【分析】由二項展開式通項公式可確定，可構造關于的方程，解方程求得結果.【詳解】展開式的通項公式為：，分別令，，，則，即，解得：.故答案為：4.【變式1-1】在的展開式中，含的項的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）【答案】【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式可直接寫出含項的系數(shù)，求得答案.【詳解】因為在，所以含的項為：，所以含的項的系數(shù)是.故答案為：【變式1-2】的展開式中各項系數(shù)之和為64，則的展開式中常數(shù)項為．【答案】84【分析】先把代入得出值，再利用二項式的通項公式即可得到答案.【詳解】令，得二項式的展開式中各項系數(shù)和為，得．二項式即，其通項，由得，所以展開式中常數(shù)項為．故答案為：.【變式1-3】已知，則．【答案】【分析】直接利用二項式定理計算得到答案.【詳解】展開式的通項為，取得到.故答案為：.學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【考點02配湊后求展開式中的指定項】【例3】若，則（????）A．6B．16C．36D．90【答案】C【分析】將變形為，然后令展開式的通項公式中即可求得結果.【詳解】因為，展開式的通項為，令，可得，所以，故選：C.【例4】若，則（????）A．40B．C．80D．【答案】C【分析】由，應用二項式定理寫出展開式通項，進而求項系數(shù).【詳解】由，故，所以時，，即80.故選：C【變式2-1】已知，則（????）A．B．C．30D．60【答案】D【分析】設，則，變換，利用二項式定理計算得到答案.【詳解】設，則，所以．的展開式的通項，取得．故選：D．【變式2-2】若，．【答案】學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【分析】把寫成，再用二項式定理展開，求的系數(shù)即可.【詳解】因為所以：.故答案為：【變式2-3】對任意的實數(shù)x，，則值為（???）A．60B．120C．240D．480【答案】C【分析】首先分析題意，利用二項式定理和結合賦值法進行計算.【詳解】.故選：C.【考點03有理項的個數(shù)】【例5】在二項式的展開式中的指數(shù)為整數(shù)的項的個數(shù)為（????）A．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】由題意將二項展開式的通項寫出來，然后結合已知即可求解.【詳解】二項式展開為，.當時，的指數(shù)為整數(shù)，共有四項.故選：D.【例6】的展開式中所有有理項系數(shù)之和為（　?。〢．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)的展開式的通項，要使為有理項，需，又因為的展開式的通項為，則兩個二項式的展開式的系數(shù)相等，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以問題可以轉(zhuǎn)化為求的展開式的所有偶數(shù)項的系數(shù)之和，然后利用賦值法求解.【詳解】的展開式的通項為，要使為有理項，需，又因為的展開式的通項為，則兩個二項式的展開式的系數(shù)相等，所以問題可以轉(zhuǎn)化為求的展開式的所有偶數(shù)項的系數(shù)之和，令，令，則①，令，則②，則①+②可得：，則的展開式中所有有理項系數(shù)之和為.故選：C．【變式3-1】（多選）在的展開式中，有理項恰有兩項，則的可能取值為（????）A．7B．9C．12D．13【答案】BD【分析】利用二項式定理的通項公式得到滿足題意的項【詳解】展開式各項表達式為當時，，所以為6的倍數(shù)，所以，6，即可取6，8，10；當時，所以為3的奇數(shù)倍，所以，9，即可取9，11，13.即取值集合為.故選：BD.【變式3-2】的展開式中有理項的個數(shù)為.【答案】3學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【分析】先化簡二項式展開式的通項公式，由此求得正確答案.【詳解】展開式的通項為，要為有理項，則為整數(shù)，故可取，共有3項有理項.故答案為：【變式3-3】在的展開式中，系數(shù)是有理數(shù)的項共有項．【答案】4【分析】利用二項展開式通項得，再研究為整數(shù)的情況即可得到答案.【詳解】，令，∵系數(shù)為有理數(shù)，∴2，8，14，20．∴共有4項系數(shù)為有理數(shù)．故答案為：4.【考點04賦值法求系數(shù)和】【例7】已知，則（????）A．B．C．D．【答案】ABCD【分析】賦值求；利用二項式定理的通項公式法，求；賦值和，判斷CD.【詳解】A.令，得，故A正確；B.中，含有項的系數(shù)為，故B正確；C.當時，，①所以，故C正確；D.當時，，②學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ①+②，得，所以，故D正確.故選：ABCD【例8】，則（????）A．31B．1023C．1024D．32【答案】B【分析】根據(jù)二項展開式的通項，可得的，結合賦值法，即可求解.【詳解】由二項式的展開式的通項為，所以，當時，可得為正數(shù)，當時，可得為負數(shù)，令，可得，令，可得，所以.故選：B.【變式4-1】（多選）已知，則（????）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】利用賦值法逐項分析判斷.【詳解】因為，對于選項A：令，可得，故A正確；對于選項BC：令，可得，所以，，故B正確，C錯誤；學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 對于選項D：令，可得，所以，故D正確；故選：ABD.【變式4-2】已知，則.【答案】【分析】賦值法求系數(shù)和即可.【詳解】令得，所以.故答案為：【變式4-3】若，且，則實數(shù)的值為.【答案】【分析】根據(jù)，分別令，，得到，求解.【詳解】解：因為，令，得，令，得，所以，，則，所以，解得，故答案為：【考點05兩個多項式乘積的指定項】【例9】的展開式中的系數(shù)為（????）A．30B．25C．45D．15【答案】D學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【分析】寫出的展開式通項，然后求出展開式中含的項即可.【詳解】因為的展開式通項為，所以的展開式中含的項為．即展開式中的系數(shù)為.故選：D.【例10】已知，，且，則（????）A．4B．5C．7D．8【答案】A【分析】利用二項式的通項公式求出的表達式，根據(jù)題意列方程，即可求得n的值.【詳解】的通項公式為，二項式的展開式中項的系數(shù)為，項的系數(shù)為，，，即，即，（負值舍），故選：A.【變式5-1】若二項式的展開式中項的系數(shù)是,則實數(shù)的值為（　?。〢．-2B．2C．-4D．4【答案】C【分析】分別求出和展開式中項的系數(shù)，即可求出的值.【詳解】，的展開式的通項公式為，，所以展開式中項的系數(shù)是，展開式中項的系數(shù)是，所以，解得，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 故選：C.【變式5-2】展開式中的系數(shù)是（????）A．B．C．D．【答案】A【分析】將原式化為，根據(jù)二項式定理，分別求出展開式中，，的系數(shù)，即可得出結果.【詳解】的展開式中通項是，，則，要求展開式中的系數(shù)，只需，故展開式中的系數(shù)是.故選：A.【變式5-3】若，則.【答案】196【分析】以為整體，將原式變形為，再考慮的展開式中含的項和含的項的系數(shù)，由此求解出結果.【詳解】由，以為整體，展開式的通項為，所以.故答案為：.【考點06三項展開式的指定項】【例11】展開式中含項的系數(shù)為（????）A．30B．C．10D．【答案】B【分析】根據(jù)排列組合與二項式定理知識直接計算即可.【詳解】由題意得，展開式中含的項為，所以展開式中含項的系數(shù)為.學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 故選：B【例12】的展開式中的系數(shù)為12，則（　?。〢．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)乘法的運算法則，結合組合數(shù)的性質(zhì)、二倍角的余弦公式進行求解即可.【詳解】的展開式中的系數(shù)可以看成：6個因式中選取5個因式提供，余下一個因式中提供或者6個因式中選取4個因式提供，余下兩個因式中均提供，故的系數(shù)為，∴，∴，故選：C【變式6-1】若的展開式中的系數(shù)為，則實數(shù)．【答案】2【分析】將三項的多項式的冪的形式組合成兩項的冪的形式，運用兩次二項式展開式的通項公式得出的通項公式，令，解此不定方程得出，的值，得到關于的方程，即可得解.【詳解】,所以的展開式的通項為:，其中，令，所以或，當時，的系數(shù)為，當時，的系數(shù)為，因為的系數(shù)為，所以，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 即，即，所以.故答案為：2.【變式6-2】（多選）設，則下列關于的計算正確的是（????）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】根據(jù)所給式子的結構特點，利用二項式定理將表達式按不同的方式展開，即可求解.【詳解】考慮，則，故A正確．考慮，則，故B正確．考慮，其中含有的項為，所以，故C錯誤．考慮，其中含有的項為，所以，故D正確．故選:ABD．【變式6-3】設，則，的最小值是．【答案】28【分析】先將等式左邊的式子展開，然后和右邊的式子對應后列出方程，再根據(jù)代換及基本不等式即可解答．學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【詳解】，∴有，解得，可知，即，∴，，（當時等號成立），故最小值為8．故答案為：2；8【考點07（二項式）系數(shù)的最值問題】【例13】（多選）在二項式的展開式中，下列說法正確的是（????）A．第6項的二項式系數(shù)最大B．第6項的系數(shù)最大C．所有項的二項式系數(shù)之和為D．所有項的系數(shù)之和為1【答案】ACD【分析】由系數(shù)和二項式的系數(shù)的性質(zhì)可判斷A，B，C；由賦值可判斷D.【詳解】通項公式為，，其二項式系數(shù)為，二項式的展開式共項，中間項的二項式系數(shù)最大，故第6項的二項式系數(shù)是最大的，故A正確；二項式系數(shù)和為，所以C正確；令得所有項的系數(shù)和為1，故D正確；因為展開式中第六項的系數(shù)為負數(shù)，所以第六項的系數(shù)不可能為最大，故B選項錯誤，故選：ACD.【例14】已知的展開式中只有第6項的系數(shù)最大，則正整數(shù)n的值為（????）A．9B．10C．11D．12【答案】B【分析】利用二項式系數(shù)的性質(zhì)，直接計算結果.【詳解】由二項展開式的形式可知，每一項的系數(shù)和二項式系數(shù)相等，所以第6項的二項式系數(shù)是，所以，得.故選：B.學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式7-1】（多選）已知的展開式中所有項的系數(shù)之和為1，則（????）A．展開式的常數(shù)項為B．C．展開式中系數(shù)最大的項的系數(shù)為80D．所有冪指數(shù)為非負數(shù)的項的系數(shù)和為【答案】ACD【分析】令，根據(jù)系數(shù)可得，根據(jù)二項式定理展開，進而逐項分析判斷.【詳解】令，得，解得，B錯誤；因為的展開式的通項公式為，可得，則，則有：展開式的常數(shù)項為，A正確；展開式中系數(shù)最大的項的系數(shù)為80，C正確；所有冪指數(shù)為非負數(shù)的項的系數(shù)和為，D正確．故選：ACD.【變式7-2】（多選）在的展開式中，下列命題正確的是（????）A．不含常數(shù)項B．二項式系數(shù)之和為32C．系數(shù)最大項是D．各項系數(shù)之和為【答案】ABC【分析】對于A：寫出展開式的通項公式，然后令的次數(shù)為即可求解；對于B：直接根據(jù)二項式定理求解；對于C：求出系數(shù)為正的正數(shù)，即可求最大值；對于D：令計算可得答案.【詳解】對于A：的展開式的通項為.令，得（不符題意），A正確；對于B：二項式系數(shù)之和，B正確；對于C：系數(shù)為正依次是，故系數(shù)最大項是，C正確；對于D：令，得各項系數(shù)之和為，D錯誤.學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 故選：ABC.【變式7-3】在的二項展開式中，系數(shù)最大的項為和，則展開式中含項的系數(shù)為．【答案】7【分析】首先由系數(shù)最大的項為和，得，再結合二項展開式的通項公式求含x項的系數(shù)即可.【詳解】，因為系數(shù)最大的項為和，所以為奇數(shù)，，且，解得．所以含項的系數(shù)為．故答案為：7【考點08二項式定理與導數(shù)】【例15】已知，則（????）A．2024B．C．1D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，等式的兩邊同時求導數(shù)，再令，即可求解.【詳解】由，等式的兩邊同時求導數(shù)，可得，令，可得.故選：B.【例16】若，則（????）A．B．C．D．【答案】C【分析】依題意觀察式子特征可知對二項式兩邊同時求導，并由賦值法即可求得結果.【詳解】根據(jù)題意，對原式兩邊求導可得：，令，可得.故選：C．【變式8-1】（多選）若，則下列正確的是（????）A．學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 B．C．D．【答案】ABC【分析】通過賦值法即可對A、B、C逐項求解判斷，通過對兩邊同時求導后再利用賦值法從而可對D求解判斷.【詳解】對于A：令，則，故A正確；對于B：令，則，故B正確；對于C：令，則，故C正確；對于D，由，兩邊同時求導得，令，則，故D錯誤.故選：ABC.【變式8-2】（多選）已知，則（????）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】利用賦值法，結合導數(shù)的求導法則逐一判斷即可.【詳解】A：在已知等式中，令，則有，所以本選項正確；B：在已知等式中，令，則有，所以本選項正確；C：因為，所以項的系數(shù)，D：對已知等式，兩邊同時求導，得，在該式中，令學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ，則有，所以本選項正確，故選：ABD【變式8-3】已知，則.（用數(shù)字作答）【答案】405【分析】兩邊求導，令即可得結果.【詳解】對兩邊求導得：，令，可得.故答案為：.【考點09楊輝三角】【例17】將楊輝三角中的每一個數(shù)都換成，得到如圖所示的萊布尼茨三角形．萊布尼茨三角形具有很多優(yōu)美的性質(zhì)，如從第0行開始每一個數(shù)均等于其“腳下”兩個數(shù)之和，如果（n為正整數(shù)），則下列結論中正確的是（????）第0行?????????????????第1行??????????????????第2行?????????????????????第3行??????????????????????……?????????????……A．當時，中間的兩項相等，且同時取得最大值B．當時，中間一項為C．第6行第5個數(shù)是D．【答案】C【分析】根據(jù)萊布尼茨三角形的數(shù)的排列規(guī)律，明確每行的數(shù)的個數(shù)，以及數(shù)的分布規(guī)律，即可判斷A，B，C；結合從第0行開始每一個數(shù)均等于其“腳下”兩個數(shù)之和，即可判斷D.學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【詳解】對于A，由萊布尼茨三角形知，當n為奇數(shù)時，中間兩項相等，且同時取到最小值，為奇數(shù)，故A錯誤；對于B，當時，這一行有2025個數(shù)，最中間為第1013個數(shù)，即，B錯誤；對于C，第6行有7個數(shù)，第5個數(shù)是，C正確；對于D，由于從第0行開始每一個數(shù)均等于其“腳下”兩個數(shù)之和，故，D錯誤，故選：C【例18】楊輝三角（如下圖所示）是數(shù)學史上的一個偉大成就，楊輝三角中從第2行到第2023行，每行的第3個數(shù)字之和為（????）A．B．C．D．【答案】B【分析】由組合性質(zhì)進行計算.【詳解】,由題意可得，第2行到第2023行，每行的第3個數(shù)字之和為,故選：B．學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式9-1】“楊輝三角”是中國古代數(shù)學文化的瑰寶之一，最早在中國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)．如圖所示的楊輝三角中，第8行，第3個數(shù)是（????）第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641A．21B．28C．36D．56【答案】B【分析】根據(jù)楊輝三角的規(guī)律可知第行的第個數(shù)為，代入具體值根據(jù)組合數(shù)的計算公式求解即可.【詳解】根據(jù)楊輝三角的規(guī)律可知第行的第個數(shù)為，則第8行，第3個數(shù)是，故選：B.【變式9-2】（多選）“楊輝三角”是中國古代數(shù)學文化的瑰寶之一，最早出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》一書中.“楊輝三角”揭示了二項式系數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示.下列關于“楊輝三角”的結論錯誤的是（????）A．B．第2023行中從左往右第1011個數(shù)與第1012個數(shù)相等C．記第行的第個數(shù)為，則學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 D．第20行中第12個數(shù)與第13個數(shù)之比為【答案】AB【分析】對于A：利用性質(zhì)計算即可；對于B：利用的展開式的二項式系數(shù)計算；對于C：代入，利用二項式定理計算即可；對于D：利用的展開式的二項式系數(shù)計算【詳解】對于A：，A錯誤；對于B：第2023行中的數(shù)為的展開式的二項式系數(shù)，則從左往右第1011個數(shù)為，第1012個數(shù)為，，B錯誤；對于C：第行的第個數(shù)為，則，C正確；對于D：第20行中的數(shù)為的展開式的二項式系數(shù)，則從左往右第12個數(shù)為，第13個數(shù)為，則，D正確.故選：AB.【變式9-3】（多選）我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》就給出了著名的楊輝三角，由此可見我國古代數(shù)學的成就是非常值得自豪的，以下關于楊輝三角的敘述正確的是（????）第1行???????1??1第2行??????1??2??1第3行?????1??3??3???1第4行????1??4??6???4???1第5行???1??5??10??10??5??1第6行??1??6??15??20??15??6??1……?????????????……A．第9行中從左到右第6個數(shù)是126B．C．D．學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【答案】ABD【分析】根據(jù)楊輝三角，利用組合數(shù)的計算判斷ABD，利用二項式系數(shù)的性質(zhì)判斷C.【詳解】對于A，第9行中從左到右第6個數(shù)是，A正確；對于B，，B正確；對于C，由二項式系數(shù)的性質(zhì)，得，C錯誤；對于D，，D正確.故選：ABD一、一、單選題1．（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預測）在的展開式中，含的項的系數(shù)為（????）A．8B．28C．56D．70【答案】B【分析】先寫出展開式的通項公式，然后令求得的值并代入計算可求結果.【詳解】展開式的通項公式，當時，即時，有，所以含的項的系數(shù)為，故選：B.2．（2024·全國·模擬預測）的展開式中，常數(shù)項為（???）A．B．C．70D．72【答案】C【分析】方法一：由，利用通項公式求解；方法二：由，利用通項公式求解.學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【詳解】解：方法一：展開式中，第項，所以常數(shù)項為，方法二：展開式中，第項，當時，展開式中常數(shù)項為；當時，展開式中常數(shù)項為；當時，，所以的展開式中，常數(shù)項為70，故選：C．3．（2024·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）的展開式中的系數(shù)為（????）A．B．C．20D．30【答案】A【分析】利用二項式定理展開式的通項公式進行計算即可.【詳解】，其展開式的通項公式為，令，則，而的展開式的通項公式為：，令，則的展開式中的系數(shù)為:學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ,故選：A.4．（2023·湖北·模擬預測）展開式中無理項的個數(shù)為（????）A．6B．7C．8D．9【答案】C【分析】先根據(jù)題意得出展開式中的通項為，則要求展開式中無理項的個數(shù)，需求出不是整數(shù)的個數(shù)即可．【詳解】由，則其通項為，其中，，若不是整數(shù)時，即得到展開式中的無理項，當，時，的值為；當，時，的值為；當，或時，的值為或；當，或時，的值為或；當，或或時，的值為或或；當，或或時，的值為或或，綜上，展開式中無理項的個數(shù)為8．故選：C．5．（2023·安徽黃山·屯溪一中校考模擬預測）已知，則下列描述正確的是?????????（????）A．B．除以5所得的余數(shù)是1學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 C．D．【答案】B【分析】結合賦值法，求導數(shù)法，二項式展開式的通項公式可得答案.【詳解】對于A：令得：；令，得．，因此A錯誤；對于B：，因此B正確對于C：因為二項展開式的通項公式為，由通項公式知，二項展開式中偶數(shù)項的系數(shù)為負數(shù)，所以，由，令，得到，令，得到，所以，因此C錯誤對于D：對原表達式的兩邊同時對求導，得到，令，得到，令，得所以，所以選項D錯誤．故選：B6．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預測）已知的展開式中前三項的二項式系數(shù)和為，則展開式中系數(shù)最大的項為第（????）A．項B．項C．項D．項【答案】D【分析】根據(jù)展開式中前三項的二項式系數(shù)和為求出的值，然后利用不等式法可求出展開式中系數(shù)最大的項對應的項數(shù).學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【詳解】的展開式中前三項的二項式系數(shù)和為，整理可得，且，解得，的展開式通項為，設展開式中第項的系數(shù)最大，則，即，解得，因為，故，因此，展開式中系數(shù)最大的項為第項.故選：D.二、多選題7．（2022·全國·模擬預測）楊輝三角是中國古代數(shù)學的杰出研究成果之一，它把二項式系數(shù)圖形化，把組合數(shù)內(nèi)在的一些代數(shù)性質(zhì)直觀地從圖形中體現(xiàn)出來，是一種離散型的數(shù)與形的結合.根據(jù)楊輝三角判斷下列說法正確的是（????）A．B．已知，則C．已知的展開式中第3項與第9項的二項式系數(shù)相等，則所有項的系數(shù)和為D．【答案】AD【分析】A選項直接由二項展開式進行判斷；B選項令即可判斷；C選項先解出，再令即可；D選項直接由公式依次遞推即可.【詳解】A選項；等式為標準二項展開式的結果，故A正確；B選項：將看成，則，令，則，故B錯誤；C選項：第3項與第9項的二項式系數(shù)相等，可轉(zhuǎn)化為，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 則，令，則所有項的系數(shù)和為，故C錯誤；D選項：根據(jù)楊輝三角得，，，∴，同理可得，故D正確.故選：AD.8．（2023·遼寧撫順·?？寄M預測）在的展開式中，各項系數(shù)的和為1，則（????）A．B．展開式中的常數(shù)項為C．展開式中的系數(shù)為160D．展開式中無理項的系數(shù)之和為【答案】BC【分析】先根據(jù)各項系數(shù)和結賦值法得判斷A，然后結合二項式展開式的通項公式求解常數(shù)項、含的系數(shù)及無理項系數(shù)之和判斷BCD.【詳解】根據(jù)題意令，得的展開式中各項系數(shù)和為，則，A錯誤；則，又的展開式的通項為，，所以展開式中的常數(shù)項為，B正確；含的項為，其系數(shù)為160，C正確；展開式中無理項的系數(shù)之和為，D錯誤.故選：BC.9．（2023·山西晉中·統(tǒng)考二模），若，則下列結論正確的有（????）A．B．C．D．的展開式中第1012項的系數(shù)最大【答案】BC【分析】利用二項式展開式的通項公式求解含x項的系數(shù)，從而求解a，即可判斷選項A，賦值法即可求解系數(shù)和問題，從而判斷選項B、C，利用展開式系數(shù)符合規(guī)律判斷選項D學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【詳解】對于A，，可得，故A錯誤；對于B，因為，令，則，故B正確；對于C，令，則，令，則，故C正確；對于D，由展開式知，，，故第1012項的系數(shù)，不會是展開式中系數(shù)最大的項，故D錯誤.故選：BC10．（2022·河北張家口·統(tǒng)考三模）已知的展開式中x項的系數(shù)為30，項的系數(shù)為M，則下列結論正確的是（????）A．B．C．M有最大值10D．M有最小值【答案】ABC【分析】由題可得，進而可判斷AB，由題可得，利用導數(shù)可判斷CD.【詳解】∵，又的展開式的通項公式為，∴，，故B正確；，又，，故A正確；由題可得，所以，，由，得，∴，，∴M在處取得最大值10，無最小值，故C正確，D錯誤.學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 故選：ABC.三、填空題11．（2023·河北邢臺·寧晉中學?？寄M預測）已知（a為常數(shù)）的展開式中所有項的系數(shù)和為0，則展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）【答案】【分析】令，則即為展開式中所有項的系數(shù)和，可計算出的值，結合二項展開式的通項公式計算即可得.【詳解】令，則，即，則對，有，令，即，有，即有，令，則，舍去；故展開式中的系數(shù)為.故答案為：.12．（2023·浙江·模擬預測）若二項式的展開式中常數(shù)項為10，則常數(shù)項的二項式系數(shù)為，展開式的所有有理項中最大的系數(shù)為．【答案】580【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式確定出的取值，從而確定出常數(shù)項的二項式系數(shù)；先根據(jù)展開式的通項確定出有理項，再分析有理項中系數(shù)最大的項.【詳解】二項式的通項公式為，令，解得，所以常數(shù)項，得，則常數(shù)項的二項式系數(shù)為，所以該二項式的通項公式為，由，，．可得，2或4，因此展開式中的所有有理項為，，，其中最大的系數(shù)為．故答案為：；.學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【點睛】本題考查二項展開式中的二項式系數(shù)和項的系數(shù)的求解，難度一般.求解的時候注意：二項式系數(shù)是根據(jù)直接求解，項的系數(shù)是根據(jù)展開式的通項進行求解的.13．（2023·河南安陽·安陽一中?？寄M預測）已知，則，，．【答案】1【分析】第一空，根據(jù)二項式展開式的通項公式可得答案；第二空，利用賦值法可得答案；第三空，判斷項的系數(shù)的正負，脫掉絕對值符號，利用賦值法可得答案.【詳解】由題意，可知二項式展開式的通項為，故；令，則，故，由可知為負值，為正值，故，令，則，故，故答案為：14．（2023·湖南郴州·安仁縣第一中學校聯(lián)考模擬預測）已知多項式，則的值為.【答案】80【分析】令，可將多項式化簡為，求出的通項，分別令或，即可求出答案.【詳解】令，則，則的通項為，令，則，故學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 令，則，故，.故答案為：80.1．（2023年北京高考數(shù)學真題）的展開式中的系數(shù)為（????）．A．B．C．40D．80【答案】D【分析】寫出的展開式的通項即可【詳解】的展開式的通項為令得所以的展開式中的系數(shù)為故選：D【點睛】本題考查的是二項式展開式通項的運用，較簡單.2．（2021年天津高考數(shù)學試題）在的展開式中，的系數(shù)是．【答案】160【分析】求出二項式的展開式通項，令的指數(shù)為6即可求出.【詳解】的展開式的通項為，令，解得，所以的系數(shù)是.故答案為：160.3．（2022年新高考天津數(shù)學高考真題）的展開式中的常數(shù)項為.【答案】學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【分析】由題意結合二項式定理可得的展開式的通項為，令，代入即可得解.【詳解】由題意的展開式的通項為，令即，則，所以的展開式中的常數(shù)項為.故答案為：.【點睛】本題考查了二項式定理的應用，考查了運算求解能力，屬于基礎題.4．（2022年新高考全國I卷數(shù)學真題）的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．【答案】-28【分析】可化為，結合二項式展開式的通項公式求解.【詳解】因為，所以的展開式中含的項為，的展開式中的系數(shù)為-28故答案為：-285．（2022年新高考北京數(shù)學高考真題）若，則（????）A．40B．41C．D．【答案】B【分析】利用賦值法可求的值.【詳解】令，則，令，則，故，故選：B.學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 6．（2023年天津高考數(shù)學真題）在的展開式中，項的系數(shù)為．【答案】【分析】由二項式展開式的通項公式寫出其通項公式，令確定的值，然后計算項的系數(shù)即可.【詳解】展開式的通項公式，令可得，，則項的系數(shù)為.故答案為：60.7．（2021年北京市高考數(shù)學試題）在的展開式中，常數(shù)項為．【答案】【分析】利用二項式定理求出通項公式并整理化簡，然后令的指數(shù)為零，求解并計算得到答案.【詳解】的展開式的通項令，解得，故常數(shù)項為．故答案為：.8．（2021年浙江省高考數(shù)學試題）已知多項式，則，.【答案】;.【分析】根據(jù)二項展開式定理，分別求出的展開式，即可得出結論.【詳解】，，所以，，所以.學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 故答案為：.9．（2022年新高考浙江數(shù)學高考真題）已知多項式，則，．【答案】【分析】第一空利用二項式定理直接求解即可，第二空賦值去求，令求出，再令即可得出答案．【詳解】含的項為：，故；令，即，令，即，∴，故答案為：；．學科網(wǎng)（北京）股份有限公司