熱點8-1 排列組合與二項式定理（10題型+滿分技巧+限時檢測）（解析版）.docx

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熱點8-1排列組合與二項式定理排列組合問題往往以實際問題為背景，考查排列數(shù)、組合數(shù)、分類分步計數(shù)原理，難度基本穩(wěn)定在中等。雖然九省聯(lián)考給出新的命題方向，但二項式定理問題依舊有可能是高考的熱門考點，主要考查二項展開式的通項，二項式系數(shù)和及各項系數(shù)和等問題。【題型1兩種計數(shù)原理的應(yīng)用】滿分技巧1、用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，最重要的是在最開始計算之前進(jìn)行仔細(xì)分析需要分類還是需要分步；2、分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進(jìn)行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)；3、分步要做到“步驟完整”，完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)，當(dāng)然步與步之間要相互獨立，分步后再計算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)。【例1】（2023·全國·高三校聯(lián)考專題練習(xí)）現(xiàn)有12張不同的卡片，其中紅色，黃色，藍(lán)色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一顏色，且紅色卡片至多1張，則不同的取法種數(shù)為（）A．84B．172C．160D．230【答案】C【解析】根據(jù)題意，不考慮限制，從12張卡片中任取3張，共有種取法，如果取出的3張為同一種顏色，則有種情況，如果取出的3張有2張紅色卡片，則有種情況，故所求的取法共有種．故選：C．【變式1-1】學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （2023·廣東廣州·華南師大附中模擬預(yù)測）小明在某一天中有七個課間休息時段，為準(zhǔn)備“小歌手”比賽他想要選出至少一個課間休息時段來練習(xí)唱歌，但他希望任意兩個練習(xí)的時間段之間都有至少兩個課間不唱歌讓他休息，則小明一共有（）種練習(xí)的方案.A．31B．18C．21D．33【答案】B【解析】七個課間編號為，如果僅有一個課間練習(xí)，則每個課間都可以，有7種方案，若有兩個課間練習(xí)，選法有，共種方案，三個課間練習(xí)，選法為，共種，故總數(shù)為種.故選：B【變式1-2】（2024·山西·高三山西大附中?？茧A段練習(xí)）基礎(chǔ)學(xué)科對于一個國家科技發(fā)展至關(guān)重要，是提高核心競爭力，保持戰(zhàn)略領(lǐng)先的關(guān)鍵．其中數(shù)學(xué)學(xué)科尤為重要．某雙一流大學(xué)為提高數(shù)學(xué)系學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，特開設(shè)了“九章算術(shù)”，“古今數(shù)學(xué)思想”，“數(shù)學(xué)原理”，“世界數(shù)學(xué)通史”，“算術(shù)研究”五門選修課程，要求數(shù)學(xué)系每位同學(xué)每學(xué)年至多選三門，且已選過的課程不能再選，大一到大三三學(xué)年必須將五門選修課程選完，則每位同學(xué)的不同選修方式種數(shù)為（）．A．種B．種C．種D．種【答案】B【解析】若兩年修完全部五門選修課程，先將五門課程分成兩組，再從三個學(xué)年中選取兩年來安排課程，則共有種選修方式；若三年修完全部五門選修課程，則先將五門課程分成三組，再安排到三個學(xué)年中，則共有種選修方式；綜上所述：每位同學(xué)不同的選修方式種數(shù)為種.故選：B.【變式1-3】（2024·北京海淀·高三首都師范大學(xué)附屬中學(xué)校考開學(xué)考試）由三個數(shù)字1，2，3組成的五位數(shù)中，1，2，3都至少出現(xiàn)一次，這樣的五位數(shù)的個數(shù)為（）A．150B．240C．180D．236【答案】A【解析】求五位數(shù)的個數(shù)這件事可以有兩類辦法：恰有一個數(shù)字出現(xiàn)三次，另兩個各出現(xiàn)一次，有個；恰有一個數(shù)字出現(xiàn)一次，另兩個各出現(xiàn)兩次，有個，由分類計數(shù)加法原理得五位數(shù)的個數(shù)為.故選：A【變式1-4】學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （2024·湖北襄陽·高三棗陽一中校聯(lián)考期末）襄陽為“中國優(yōu)秀旅游城市”，境內(nèi)生態(tài)環(huán)境優(yōu)美，旅游資源十分豐富，景區(qū)景點給人以自然的美妙與人文的魅力.其中南漳香水河、春秋寨，谷城薤山，?？滴宓缻{，棗陽白水寺、唐梓山風(fēng)景區(qū)，襄州鹿門寺都是風(fēng)景宜人的旅游勝地，一位同學(xué)計劃在假期從上面7個景區(qū)中選擇3個游玩，其中香水河和五道峽最多只去一處，不考慮游玩的順序，則不同的選擇方案數(shù)有（）A．20B．30C．35D．40【答案】B【解析】因為香水河和五道峽最多只去一處，故可分為兩種情況討論.當(dāng)香水河和五道峽只去一處時且不考慮游玩的順序，則不同的選擇方案為；當(dāng)香水河和五道峽一處也不去時且不考慮游玩的順序，則不同的選擇方案為.綜上：滿足題意的不同選擇方案數(shù)為+=30.故選：B.【題型2隊列排序問題】滿分技巧1、解有“相鄰元素”的排列問題的方法對于某些元素必須相鄰的排列，通常采用“捆綁法”，即把相鄰元素看作一個整體和其他元素一起參與排列，再考慮這個整體內(nèi)部各元素間的順序。2、解有“不相鄰元素”的排列問題的方法對于某些元素不相鄰的排列，通常采用“插空法”，即先排不受限制的元素，使每兩個元素之間形成“空”，然后將不相鄰的元素進(jìn)行“插空”。3、解有特殊元素（位置）的排列問題的方法解有特殊元素或特殊位置的排列問題，一般先安排特殊元素或特殊位置，再考慮其他元素或位置，當(dāng)以元素為主或以位置為主?！纠?】（2024·江西·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）某班級舉辦元旦晚會，一共有個節(jié)目，其中有個小品節(jié)目．為了節(jié)目效果，班級規(guī)定中間的個節(jié)目不能安排小品，且個小品不能相鄰演出，則不同排法的種數(shù)是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】用表示不安排中間且不相鄰的位置，則有,,,,,,,,,,,共種情況，個小品有種安排方式；再安排其余個節(jié)目，共有種安排方式；不同排法的種數(shù)有種.故選：C.【變式2-1】（2024·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）體育課上，老師讓2名女生和3名男生排成一排，要求2名女生之間至少有1名男生，則這5名學(xué)生不同的排法共有（）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．24種B．36種C．72種D．96種【答案】C【解析】讓2名女生和3名男生排成一排，不同的排法共有種，讓2名女生相鄰，不同的排法共有種，所以符合題設(shè)的不同的排法共有種.故選：C.【變式2-2】（2024·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）有5輛車停放6個并排車位，貨車甲車體較寬，?？繒r需要占兩個車位，并且乙車不與貨車甲相鄰?fù)７?，則共有（）種停放方法．A．72B．144C．108D．96【答案】A【解析】先停入貨車甲，若貨車甲不靠邊，共有種停法，則乙車有種停法，除甲、乙外的其它三輛車共有種停法；若貨車甲靠邊，共有種停法，則乙車有種停法，除甲、乙外的其它三輛車的排法共有種，故共有種停放方法，故選：A.【變式2-3】（2024·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）苗族四月八日“姑娘節(jié)”是流傳于湖南省綏寧縣的民俗活動，國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一.假設(shè)在即將舉辦的“姑娘節(jié)”活動中，組委會原排定有8個“歌舞”節(jié)目，現(xiàn)計劃增加2個“對唱”節(jié)目.若保持原來8個節(jié)目的相對順序不變，則不同的排法種數(shù)為（）A．56B．90C．110D．132【答案】B【解析】根據(jù)題意分兩類，第一種兩個“對唱”節(jié)目相鄰：，第一種兩個“對唱”節(jié)目不相鄰：，則不同的排法種數(shù)為.故選：B【變式2-4】（2024·全國·高三專題練習(xí)）某班在一次班團活動中，安排2名男生和4名女生講演，為安排這六名學(xué)生講演的順序，要求兩名男生之間不超過1人講演，且第一位和最后一位出場講演的是女生．則不同的安排方法總數(shù)為（　?。〢．168B．192C．240D．336【答案】C【解析】第一位和最后一位出場講演的是女生，有種，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 中間4人，為2男2女，任意排列有種，若中間2名女生，則有種，則滿足條件的有種，則共有種不同的安排方法．故選：C．【題型3數(shù)字排序問題】滿分技巧數(shù)字排序問題要特別注意首位不為0的情況?！纠?】（2024·河南焦作·高三統(tǒng)考期末）小明將1，4，0，3，2，2這六個數(shù)字的一種排列設(shè)為自己的六位數(shù)字的銀行卡密碼，若兩個2之間只有一個數(shù)字，且1與4相鄰，則可以設(shè)置的密碼種數(shù)為（）A．48B．32C．24D．16【答案】C【解析】1與4相鄰，共有種排法，兩個2之間插入1個數(shù)，共有種排法，再把組合好的數(shù)全排列，共有種排法，則總共有種密碼．故選：C【變式3-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）用1、2、3、4、5這五個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為（）A．36B．30C．40D．60【答案】A【解析】奇數(shù)的個位數(shù)字為1、3或5，偶數(shù)的個位數(shù)字為2、4.故奇數(shù)有個．故選：A【變式3-2】（2023·四川成都·高三成都七中校考開學(xué)考試）從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這十個數(shù)字中任意取出三個不同的數(shù)，若這三個數(shù)的和為不小于9的奇數(shù)，則不同的取法有（）種.A．54B．53C．47D．46【答案】B【解析】根據(jù)題意，將10個數(shù)分為2組，一組為奇數(shù)：1?3?5?7?9，一組為偶數(shù)0、2?4?6?8，若取出的3個數(shù)和為奇數(shù)，分2種情況討論：①取出的3個數(shù)全部為奇數(shù)，有種情況，都符合題意，②取出的3個數(shù)有1個奇數(shù)，2個偶數(shù)，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 若奇數(shù)取9，有種情況；若奇數(shù)取7，有種情況；若奇數(shù)取5，有種情況；若奇數(shù)取3，有種情況；若奇數(shù)取1，有種情況；綜上，三個數(shù)的和為不小于9的奇數(shù)，不同的取法有種.故選：B.【變式3-3】（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考一模）從0，1，2，3，4，5這6個數(shù)中任選2個偶數(shù)和1個奇數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為（）A．36B．42C．45D．54【答案】B【解析】當(dāng)任選2個偶數(shù)中含有0時，0可以放在個位或十位，共2種情況，再從3個奇數(shù)中選一個，2個偶數(shù)中選一個，放在剩余的數(shù)位上，共種選擇，此時共種情況，當(dāng)任選2個偶數(shù)中不含有0時，從3個奇數(shù)中選一個，并和2,4進(jìn)行全排列，共種情況，綜上，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)個數(shù)為.故選：B【變式3-4】（2023·河南駐馬店·高三駐馬店高級中學(xué)校聯(lián)考期末）用2個0，2個1和1個2組成一個五位數(shù)，則這樣的五位數(shù)有（）A．8個B．12個C．18個D．24個【答案】C【解析】當(dāng)首位為2時，這樣的五位數(shù)有個；當(dāng)首位為1時，這樣的五位數(shù)有個.綜上，這樣的五位數(shù)共有個.故選：C.【題型4涂色問題】滿分技巧涂色的規(guī)則是“相鄰區(qū)域涂不同的顏色”在處理涂色問題時，可按照選擇顏色的總數(shù)進(jìn)行分類討論，每減少一種顏色的使用，便意味著多出一對不相鄰的區(qū)域涂相同的顏色（還要注意兩兩不相鄰的情況），先列舉出所有不相鄰區(qū)域搭配的可能，再進(jìn)行涂色即可。學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【例4】（2024·重慶·高三重慶一中?？奸_學(xué)考試）用四種不同的顏色給如圖所示的六塊區(qū)域A，B，C，D，E，F(xiàn)涂色，要求相鄰區(qū)域涂不同顏色，則涂色方法的總數(shù)是（）A．120B．72C．48D．24【答案】A【解析】先涂，有4種選擇，接下來涂，有3種選擇，再涂,有2種選擇，①當(dāng),顏色相同時涂色方法數(shù)是：，②當(dāng),顏色不相同時涂色方法數(shù)是：，滿足題意的涂色方法總數(shù)是：．故選：A．【變式4-1】（2024·廣東中山·高三中山紀(jì)念中學(xué)開學(xué)考試）（多選）用種不同的顏色涂圖中的矩形，要求相鄰的矩形涂色不同，不同的涂色方法總種數(shù)記為，則（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】當(dāng)時，分四步：第一步，涂處，有3種涂色方案；第二步，涂處，有2種涂色方案；第三步，涂處，有2種涂色方案；第四步，涂處，有1種涂色方案.所以不同的涂色方法共種數(shù)為，所以，故A正確；當(dāng)時，分四步：第一步，涂處，有4種涂色方案；第二步，涂處，有3種涂色方案；第三步，涂處，有3種涂色方案；第四步，涂處，有2種涂色方案.所以不同的涂色方法共種數(shù)為，所以，故B錯誤；當(dāng)時，分四步：第一步，涂處，有5種涂色方案；第二步，涂處，有4種涂色方案；第三步，涂處，有4種涂色方案；第四步，涂處，有3種涂色方案.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以不同的涂色方法共種數(shù)為，所以，故C錯誤；當(dāng)時，分四步：第一步，涂處，有6種涂色方案；第二步，涂處，有5種涂色方案；第三步，涂處，有5種涂色方案；第四步，涂處，有4種涂色方案.所以不同的涂色方法共種數(shù)為，所以，故D正確.故選：AD.【變式4-2】（2024·江西宜春·高三宜豐中學(xué)校考階段練習(xí)）中國是世界上最早發(fā)明雨傘的國家，傘是中國勞動人民一個重要的創(chuàng)造．如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成個區(qū)域，每個區(qū)域分別印有數(shù)字，，，，現(xiàn)準(zhǔn)備給該傘面的每個區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個區(qū)域所涂顏色不能相同，對稱的兩個區(qū)域如區(qū)域與區(qū)域所涂顏色相同．若有種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（）A．種B．種C．種D．種【答案】B【解析】由題意可得，只需確定區(qū)域，，，的顏色，即可確定整個傘面的涂色．先涂區(qū)域，有種選擇，再涂區(qū)域，有種選擇，當(dāng)區(qū)域與區(qū)域涂的顏色不同時，區(qū)域有種選擇，剩下的區(qū)域有種選擇；當(dāng)區(qū)域與區(qū)域涂的顏色相同時，剩下的區(qū)域有種選擇，故不同的涂色方案有種．故選：B．【變式4-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）用四種顏色給下圖的6個區(qū)域涂色，每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰區(qū)域不同色，若四種顏色全用上，則共有多少種不同的涂法（）A．72B．96C．108D．144【答案】B【解析】設(shè)四種顏料為，①先涂區(qū)域B，有4中填涂方法，不妨設(shè)涂顏色1；學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ②再涂區(qū)域C，有3中填涂方法，不妨設(shè)涂顏色2；③再涂區(qū)域E，有2中填涂方法，不妨設(shè)涂顏色3；④若區(qū)域A填涂顏色2，則區(qū)域D、F填涂顏色1，4，或4，3，若區(qū)域A填涂顏色4，則區(qū)域D、F填涂顏色1，3或4，3，共4中不同的填涂方法，綜合①②③④，由分步計數(shù)原理可得，共有種不同的填涂法．故選B．【變式4-4】（2023·浙江·模擬預(yù)測）五行是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想，多用于哲學(xué)?中醫(yī)學(xué)和占卜方面，五行學(xué)說是華夏文明重要組成部分.古代先民認(rèn)為，天下萬物皆由五類元素組成，分別是金?木?水?火?土，彼此之間存在相生相克的關(guān)系.下圖是五行圖，現(xiàn)有5種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如水克火，木克土，可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數(shù)有（）??A．3125B．1000C．1040D．1020【答案】D【解析】五行相克可以用同一種顏色，也可以不用同一種顏色，即無限制條件.五行相生不能用同一種顏色，即相鄰位置不能用同一種顏色.故問題轉(zhuǎn)化為如圖五個區(qū)域，有種不同的顏色可用，要求相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，即色區(qū)域的環(huán)狀涂色問題.分為以下兩類情況：第一類：三個區(qū)域涂三種不同的顏色，第一步涂區(qū)域，從種不同的顏色中選種按序涂在不同的個區(qū)域上，則有種方法，第二步涂區(qū)域，由于顏色不同，有種方法，第三步涂區(qū)域，由于顏色不同，則有種方法，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 由分步計數(shù)原理，則共有種方法；第二類：三個區(qū)域涂兩種不同的顏色，由于不能涂同一色，則涂一色，或涂同一色，兩種情況方法數(shù)相同.若涂一色，第一步涂區(qū)域，可看成同一區(qū)域，且區(qū)域不同色，即涂個區(qū)域不同色，從種不同的顏色中選種按序涂在不同的個區(qū)域上，則有種方法，第二步涂區(qū)域，由于顏色相同，則有種方法，第三步涂區(qū)域，由于顏色不同，則有種方法，由分步計數(shù)原理，則共有種方法；若涂一色，與涂一色的方法數(shù)相同，則共有種方法.由分類計數(shù)原理可知，不同的涂色方法共有種.故選：D.【題型5分組分配問題】滿分技巧1、解題思路：先分組后分配，分組是組合問題，分配是排列問題；2、分組方法：①完全均勻分組，分組后除以組數(shù)的階乘；②部分均勻分組，有組元素個數(shù)相同，則分組后除以；③完全非均勻分組，只要分組即可；3、分配：①相同元素的分配問題，常用“擋板法”；②不同元素的分配問題，分步乘法計數(shù)原理，先分組后分配；③有限制條件的分配問題，采用分類求解；【例5】（2022·河南·高三校聯(lián)考期末）某班擬選派包括甲、乙在內(nèi)的六名同學(xué)參加四場同一時間舉行的比賽，每場比賽至少一名同學(xué)參加，且甲、乙兩名同學(xué)必須參加同一場比賽，則不同的參賽方案種數(shù)為（）A．180B．240C．360D．480【答案】B【解析】6名同學(xué)分配到四場比賽，1場比賽至少分配1名同學(xué)，則分配到四場比賽的人數(shù)為1，1，1，3或1，1，2，2，因為甲、乙兩名同學(xué)必須參加同一場比賽，若甲、乙一組3個人，則從剩余的4人中，選1人和甲乙一組，共有參賽種數(shù)，若人數(shù)為1，1，2，2，則甲乙一組，剩余的4人分為3組，則共有參賽種數(shù)，、所以共有參賽種數(shù).故選：B【變式5-1】學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （2024·安徽·高三池州市第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）近期，哈爾濱這座“冰城”火了，2024年元旦假期三天接待游客300多萬人次，神秘的鄂倫春族再次走進(jìn)世人的眼簾，這些英雄的后代講述著英雄的故事，讓哈爾濱大放異彩．現(xiàn)安排6名鄂倫春小伙去三個不同的景點宣傳鄂倫春族的民俗文化，每個景點至少安排1人，則不同的安排方法種數(shù)是（）A．240B．420C．540D．900【答案】C【解析】若三個景點安排的人數(shù)之比為，則有種安排方法；若三個景點安排的人數(shù)之比為，則有種安排方法；若三個景點安排的人數(shù)之比為，則有種安排方法，故不同的安排方法種數(shù)是．故選：C．【變式5-2】（2023·江蘇鹽城·高三鹽城中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）將甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者安排到四個社區(qū)進(jìn)行暑期社會實踐活動，要求每個社區(qū)至少安排一名志愿者，那甲恰好被安排在社區(qū)的不同安排方法數(shù)為（）A．24B．36C．60D．96【答案】C【解析】分兩種情形：①社區(qū)只有甲，則另4人在3個社區(qū)，此時有；②社區(qū)還有另一個志愿者，此時有，，甲恰好被安排在A社區(qū)有60種不同安排方法.故選：C.【變式5-3】（2024·山西運城·高三統(tǒng)考期末）第33屆夏季奧運會預(yù)計2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉辦，這屆奧運會將新增2個競賽項目和3個表演項目．現(xiàn)有三個場地A，B，C分別承擔(dān)這5個新增項目的比賽，且每個場地至少承辦其中一個項目，則不同的安排方法有（）A．150種B．300種C．720種D．1008種【答案】A【解析】若三個場地分別承擔(dān)個項目，則有種安排，若三個場地分別承擔(dān)個項目，則有種安排，綜上，不同的安排方法有種.故選：A【變式5-4】（2024·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）將3個相同的紅球和3個相同的黑球裝入三個不同的袋中，每袋均裝2個球，則不同的裝法種數(shù)為（）A．7B．8C．9D．10學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【答案】A【解析】將個紅球分成組，每組球的數(shù)量最多個最少個，則有，兩種組合形式，當(dāng)紅球分組形式為時，將紅球放入三個不同的袋中有放法，此時三個不同的袋中依次補充上黑球，使每個袋子中球的總個數(shù)為個即可.當(dāng)紅球分組形式為時，將紅球放入三個不同的袋中有種放法，此時三個不同的袋中依次補充上黑球，使每個袋子中球的總個數(shù)為個即可.綜上所述：將3個相同的紅球和3個相同的黑球裝入三個不同的袋中，每袋均裝2個球，不同的裝法種數(shù)為種.故選：A.【題型6最短路徑問題】滿分技巧最短路徑問題的關(guān)鍵點在于確定好最短路徑中橫向與縱向需要走幾步?！纠?】（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）由于用具簡單，趣味性強，象棋成為流行極為廣泛的棋藝活動．某棋局的一部分如圖所示，若不考慮這部分以外棋子的影響，且“馬”和“炮”不動，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，從“兵”吃掉“馬”的最短路線中隨機選擇一條路線，則能順帶吃掉“炮”的可能路線有（）A．條B．條C．條D．條【答案】C【解析】由題意可知：“兵”吃掉“馬”的最短路線，需橫走三步，豎走兩步；其中能順帶吃掉“炮”的路線可分為兩步：第一步，橫走兩步，豎走一步，有種走法；第二步，橫走一步，豎走一步，有種走法．能順帶吃掉“炮”的可能路線共有（條）．故選：C.【變式6-1】（2023·河北·校聯(lián)考三模）在我國古代，楊輝三角是解決很多數(shù)學(xué)問題的有力工具，像開方問題、數(shù)列問題、網(wǎng)格路徑問題等．某一城市街道如圖1所示，分別以東西向、南北向各五條路組成方格網(wǎng)，行人在街道上行走（方向規(guī)定只能由西向東、由北向南前行）．若從這個城市的最西北角處前往最東南角處，則有70種走法，如圖2．現(xiàn)在由平面擴展到空間，即立體交通方格網(wǎng)的路徑問題，如圖3，則從點到點的最短距離走法種數(shù)為（）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ??A．60B．70C．80D．90【答案】A【解析】根據(jù)題意，由西向東、由南向北前行中，最近的走法為5步，其中由西向東3步，由南向北2步，所以共有種不同的走法，又由在每種走法中，其中由6個位置能向上走一步，所以有種不同的走法，根據(jù)分步計數(shù)原理得，從點到點的最短距離走法種數(shù)共有種.故選：A.【變式6-2】（2023·四川成都·高三石室中學(xué)校考開學(xué)考試）小明與小紅兩位同學(xué)計劃去養(yǎng)老院做義工．如圖，小明在街道E處，小紅在街道F處，養(yǎng)老院位于G處，小明與小紅到養(yǎng)老院都選擇最短路徑，兩人約定在老年公寓門口匯合，事件A：小明經(jīng)過F；事件B：小明經(jīng)過H；事件C：從F到養(yǎng)老院兩人的路徑?jīng)]有重疊部分（路口除外），則下面說法正確的個數(shù)是（）（1）；（2）；（3）．A．3B．2C．1D．0【答案】A【解析】小明到養(yǎng)老院能選擇的最短路徑條數(shù)為條；小明到F的最短路徑走法有條，再從F到養(yǎng)老院的最短路徑有條，小明經(jīng)過F到養(yǎng)老院能選擇的最短路徑條數(shù)為條，所以，故（1）正確；小明從H到養(yǎng)老院的最短路徑有條，即，從H到F的最短路徑有條，從F到養(yǎng)老院的最短路徑有3條，即，所以，故（2）正確；學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 又，所以，故（3）正確．故選：A.【變式6-3】（2022·陜西西安·統(tǒng)考一模）（多選）如圖所示，各小矩形都全等，各條線段均表示道路.某銷售公司王經(jīng)理從單位處出發(fā)到達(dá)處和處兩個市場調(diào)查了解銷售情況，行走順序可以是，也可以是，王經(jīng)理選擇了最近路徑進(jìn)行兩個市場的調(diào)查工作.則王經(jīng)理可以選擇的最近不同路線共有（）A．31條B．36條C．210條D．315條【答案】CD【解析】設(shè)小矩形的長為，寬為，則從的最近路線為，從的最近路線為，若，則選擇行走順序為，先從，最近路線需要走3個長，2個寬，則不同路線有種，從，最近路線需要走5個長，2個寬，則不同路線有種，所以從的不同路線有種；若，則選擇行走順序為，先從，最近路線需要走2個長，4個寬，則不同路線有種，從，最近路線需要走5個長，2個寬，則不同路線有種，所以從的不同路線有種.綜上，王經(jīng)理可以選擇的最近不同路線共有210條或315條.故選：CD.【題型7二項展開式的特定項】滿分技巧求二項展開式的特定項的常用方法1、對于常數(shù)項，隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項)；2、對于有理項，一般是先寫出通項公式，其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項．解這類問題必須合并通項公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)集，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解；3、對于二項展開式中的整式項，其通項公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù)，求解方式與求有理項一致．【例7】（2024·廣東·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若，則（）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】B【解析】因為的展開通項公式為，則，故B正確．故選：B．【變式7-1】（2023·河北邢臺·高三寧晉中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知，則（）A．7B．6C．5D．4【答案】C【解析】令，則，對于，即，又，其中展開式的通項為（且），所以展開式中的項為，所以.故選：C【變式7-2】（2024·湖南長沙·長郡中學(xué)?？家荒＃┑恼归_式中含項的系數(shù)為（）A．20B．-20C．30D．-30【答案】C【解析】，又的二項展開式的通項公式為，故的二項展開式中、的系數(shù)為0，的系數(shù)為，故的展開式中含項的系數(shù)為，故選：C.【變式7-3】（2024·浙江·校聯(lián)考一模）展開式中含項的系數(shù)為（）A．30B．C．10D．【答案】B【解析】由題意得，展開式中含的項為，所以展開式中含項的系數(shù)為.故選：B學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式7-4】（2024·江西·新余市第一中學(xué)校聯(lián)考一模）的展開式中的系數(shù)為．【答案】【解析】二項式的展開式通項公式為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此展開式中含的項為，故所求系數(shù)為.【題型8二項式系數(shù)與系數(shù)最值】滿分技巧1、二項式系數(shù)先增后減中間項最大（1）如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項的二項式系數(shù)最大；（2）如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，則中間兩項，的二項式系數(shù)，相等且最大．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展開式系數(shù)最大的項，一般是采用待定系數(shù)法，設(shè)展開式各項系數(shù)分別為A1，A2，…，An＋1，且第k項系數(shù)最大，應(yīng)用從而解出k來，即得．【例8】（2024·甘肅·高三武威第六中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知的展開式中，前三項的系數(shù)依次成等差數(shù)列，則展開式中二項式系數(shù)最大的項是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】展開式中的第項為，所以前三項的系數(shù)依次為，依題意，有，即，整理得，解得（舍去）或.由二項式系數(shù)的性質(zhì)可知，展開式中第5項的二項式系數(shù)最大，即.故選：C.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式8-1】（2024·山東·高三省實驗中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，則（）A．9B．10C．11D．12【答案】B【解析】因為的展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，所以展開式一共有項，即.故選：B【變式8-2】（2023·山東日照·高三五蓮縣第一中學(xué)校考期中）的展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，則的展開式中系數(shù)最大的項的系數(shù)為.【答案】1792【解析】由得，所以的展開式的通項為，當(dāng)展開式的項的系數(shù)最大時，為偶數(shù)，比較，，，，，所以當(dāng)時，展開式中項的系數(shù)最大，該項系數(shù)為1792.【變式8-3】（2023·江西南昌·江西師大附中?？既＃┤舻恼归_式中有且僅有第五項的二項式系數(shù)最大，則展開式中系數(shù)最大的是（）A．第二項B．第三項C．第四項D．第五項【答案】B【解析】因為的展開式中有且僅有第五項的二項式系數(shù)最大，所以，解得，則的展開式通項為，當(dāng)為奇數(shù)時，系數(shù)為負(fù)數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時，系數(shù)為正數(shù)，所以展開式中系數(shù)最大時，為偶數(shù)，由展開式通項可知，，，，，所以展開式中系數(shù)最大的是第三項，故選：B學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式8-4】（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）的展開式中，系數(shù)最小的項是（）A．第4項B．第5項C．第6項D．第7項【答案】C【解析】依題意，的展開通項公式為，其系數(shù)為，當(dāng)為奇數(shù)時，才能取得最小值，又由二項式系數(shù)的性質(zhì)可知，是的最大項，所以當(dāng)時，取得最小值，即第6項的系數(shù)最小.故選：C．【題型9系數(shù)和問題】滿分技巧系數(shù)和問題常用“賦值法”求解：賦值法是指對二項式中的未知元素賦值，從而求得二項展開式的各項系數(shù)和的方法．求解有關(guān)系數(shù)和題的關(guān)鍵點如下：①賦值，觀察已知等式與所求式子的結(jié)構(gòu)特征，確定所賦的值，常賦的值有：－1，0，1等．②求參數(shù)，通過賦值，建立參數(shù)的相關(guān)方程，解方程，可得參數(shù)值．③求值，根據(jù)題意，得出指定項的系數(shù)和．【例9】（2024·北京·高三北京市第五中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知，則（）A．B．2C．4D．12【答案】B【解析】由于，故令，即得，即，故選：B【變式9-1】（2024·山東臨沂·高三統(tǒng)考期末）已知，則（）A．2024B．C．1D．【答案】B【解析】由，等式的兩邊同時求導(dǎo)數(shù)，可得，令，可得.故選：B.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式9-2】（2023·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）若，則下列結(jié)論中正確的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，對于A中，令，可得，所以A錯誤；對于B中，，由二項展開式的通項得，所以B錯誤；對于C中，與的系數(shù)之和相等，令即，所以C正確；對于D中，令，則，令，則，解得，，可得，所以D錯誤.故選：C.【變式9-3】（2023·安徽黃山·屯溪一中校考模擬預(yù)測）已知，則下列描述正確的是（）A．B．除以5所得的余數(shù)是1C．D．【答案】B【解析】對于A：令得：；令，得．，因此A錯誤；對于B：，因此B正確對于C：因為二項展開式的通項公式為，由通項公式知，二項展開式中偶數(shù)項的系數(shù)為負(fù)數(shù)，所以，由，令，得到，令，得到，所以，因此C錯誤對于D：對原表達(dá)式的兩邊同時對求導(dǎo)，得到，令，得到，令，得學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以，，所以選項D錯誤．故選：B【變式9-4】（2024·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）（多選）若，則（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】將代入得，解得，A正確；由二項式定理可知展開式的通項為，令得，所以，B錯誤；將代入得，即，C正確；將代入得，即①，將代入得，即②，①+②得，所以，①-②得，所以，所以，D正確；故選：ACD【題型10楊輝三角形及應(yīng)用】滿分技巧1、在同一行中，每行兩端都是1，與這兩個1等距離的項的系數(shù)相等；2、在相鄰的兩行中，除1以外的其余各數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)字之和.由此可知，當(dāng)二項式次數(shù)不大時，可借助“楊輝三角”直接寫出各項的二項式系數(shù).【例10】（2023·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，“楊輝三角”是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《解析九章算法》一書中出現(xiàn)，比歐洲發(fā)現(xiàn)早500年左右．現(xiàn)從楊輝三角第20行隨機取一個數(shù)，該數(shù)大于2023的概率為（）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】A【解析】由楊輝三角的性質(zhì)知第20行的數(shù)為，一共有21個數(shù)，其中，由楊輝三角的對稱性可知，第20行中大于2023的數(shù)的個數(shù)為，故所求概率為.故選：A.【變式10-1】（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模）如圖為“楊輝三角”示意圖，已知每行的數(shù)字之和構(gòu)成的數(shù)列為等比數(shù)列且記該數(shù)列前項和為，設(shè)，將數(shù)列中的整數(shù)項依次取出組成新的數(shù)列記為，則的值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意知：第行數(shù)字之和構(gòu)成的數(shù)列的通項為，，；則數(shù)列的整數(shù)項為：，數(shù)列的奇數(shù)項是以為首項，為公差的等差數(shù)列；偶數(shù)項是以為首項，為公差的等差數(shù)列，，，.故選：B.【變式10-2】（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考三模）如圖，在“楊輝三角”中從第2行右邊的1開始按箭頭所指的數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列：1，2，3，3，6，4，10，5，，則此數(shù)列的前項的和為（）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．680B．679C．816D．815【答案】D【解析】根據(jù)“楊輝三角”，得，因此，此數(shù)列的前30項和為：..故選：D.【變式10-3】（2023·甘肅·模擬預(yù)測）“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，它揭示了二項式展開式中的組合數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示，則下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論錯誤的是（）A．第6行的第7個數(shù)、第7行的第7個數(shù)及第8行的第7個數(shù)之和等于第9行的第8個數(shù)B．第2023行中第1012個數(shù)和第1013個數(shù)相等C．記“楊輝三角”第行的第個數(shù)為，則D．第34行中第15個數(shù)與第16個數(shù)之比為【答案】D【解析】第6行的第7個數(shù)為1，第7行的第7個數(shù)為7，第8行的第7個數(shù)為28，它們之和等于36，第9行的第8個數(shù)是，A正確；第行是二項式的展開式的系數(shù)，故第行中第個數(shù)為，第個數(shù)為，又，B正確；“楊輝三角”第行是二項式的展開式的系數(shù)，所以，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ，C正確；第34行是二項式的展開式的系數(shù)，所以第15個數(shù)與第16個數(shù)之比為，D不正確.故選：D.【變式10-4】（2023·吉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在我國古代，楊輝三角（如圖1）是解決很多數(shù)學(xué)問題的有力工具，從圖1中可以歸納出等式：?類比上述結(jié)論，借助楊輝三角解決下述問題：如圖2，該“芻童垛”共2021層，底層如圖3，一邊2023個圓球，另一邊2022個圓球，向上逐層每邊減少個圓球，頂層堆6個圓球，則此“芻童垛”中圓球的總數(shù)為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由楊輝三角中觀察得可得.推廣，得到即由題意，2021層“芻童垛”小球的總個數(shù)為故選:B（建議用時：60分鐘）1．（2023·江西南昌·高三南昌市外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）某植物園要在如圖所示的5個區(qū)域種植果樹，現(xiàn)有5種不同的果樹供選擇，要求相鄰區(qū)域不能種同一種果樹，則共有（）種不同的方法.A．120B．360C．420D．480學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【答案】C【解析】分兩類情況：第一類：2與4種同一種果樹，第一步種1區(qū)域，有5種方法；第二步種2與4區(qū)域，有4種方法；第三步種3區(qū)域，有3種方法；最后一步種5區(qū)域，有3種方法，由分步計數(shù)原理共有種方法；第二類：2與4種不同果樹，第一步在1234四個區(qū)域，從5種不同的果樹中選出4種果樹種上，是排列問題，共有種方法；第二步種5號區(qū)域，有2種方法，由分步計數(shù)原理共有種方法.再由分類計數(shù)原理，共有種不同的方法.故選：C.2．（2023·四川資陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某社區(qū)計劃在該小區(qū)內(nèi)如圖所示的一塊空地布置花卉，要求相鄰區(qū)域布置的花卉種類不同，且每個區(qū)域只布置一種花卉，若有5種不同的花卉可供選擇，則不同的布置方案有（）A．360種B．420種C．480種D．540種【答案】D【解析】如圖，先在區(qū)域A布置花卉，有5種不同的布置方案，再在區(qū)域E布置花卉，有4種不同的布置方案，再在區(qū)域D布置花卉，有3種不同的布置方案．若區(qū)域B與區(qū)域E布置同一種花卉，則區(qū)域C有3種不同的布置方案；若區(qū)域B與區(qū)域E布置不同的花卉，則區(qū)域B有2種不同的布置方案，區(qū)域C有3種不同的布置方案．故不同的布置方案有種．故選：D3．（2024·河北·高三校聯(lián)考期末）中國刺繡是我國民族傳統(tǒng)工藝之一，始于宋代的雙面繡更是傳統(tǒng)工藝一絕，它是在同一塊底料上，在同一繡制過程中，繡出正反兩面圖案對稱而色彩不一樣的繡技．某中學(xué)為弘揚中國傳統(tǒng)文化開設(shè)了刺繡課，并要求為下圖中三片花瓣圖案做一幅雙面繡作品，現(xiàn)有四種不同顏色繡線可選，且雙面繡每面三片花瓣相鄰區(qū)域不能同色，則雙面繡作品不同色彩設(shè)計方法有（）種學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．144B．264C．288D．432【答案】B【解析】4種色彩設(shè)為1、2、3、4，正面相鄰區(qū)域不能同色必定用三種顏色，則有種不同方法，對于中的一種再考慮反面設(shè)計，如正面用三色為1、2、3，則反面顏色也可選1、2、3，但與正面不能同色，故對應(yīng)為2、3、1和3、1、2兩種．反面顏色也能選1、2、4，與正面1、2、3對應(yīng)分別為2、1、4，2、4、1，4、1、2三種．同理反面顏色選1、3、4也為3種，反面選2、3、4也為3種，則正面用三色為1、2、3，反面顏色對應(yīng)有11種，所以雙面繡不同色彩設(shè)計方法共有種．故選：B．4．（2023·重慶永川·高三永川北山中學(xué)校?？计谥校┍鄙街袑W(xué)在學(xué)?！?36”發(fā)展目標(biāo)的引領(lǐng)下，不斷推進(jìn)教育教學(xué)工作的高質(zhì)量發(fā)展，學(xué)生社團得到迅猛發(fā)展．現(xiàn)有高一新生中的五名同學(xué)打算參加“地理行知社”“英語ABC”“籃球之家”“生物研啟社”四個社團．若每個社團至少有一名同學(xué)參加，每名同學(xué)至少參加一個社團且只能參加一個社團，且同學(xué)甲不參加“生物研啟社”，則不同的參加方法的種數(shù)為（）A．72B．108C．180D．216【答案】C【解析】根據(jù)題意分析可得，必有2人參加同一社團.首先分析甲，甲不參加“生物研啟社”，則有3種情況，再分析其他4人，若甲與另外1人參加同一個社團，則有（種）情況；若甲是單獨1個人參加一個社團，則有（種）情況．則除甲外的4人有（種）參加方法．故不同的參加方法的種數(shù)為故選：C5．（2024·吉林白山·統(tǒng)考一模）2023年12月初，某校開展憲法宣傳日活動，邀請了法制專家楊教授為廣大師生做《大力弘揚憲法精神，建設(shè)社會主義法制文化》的法制報告，報告后楊教授與四名男生、兩名女生站成一排合影留念，要求楊教授必須站中間，他的兩側(cè)均為兩男1女，則總的站排方法共有（）A．300B．432C．600D．864【答案】B【解析】楊教授站中間，只有1種方法；四名男生分成兩組放在兩邊方法數(shù)；兩名女生放在兩邊方法數(shù)，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 每一邊兩名男生與一名女生再排序，得出總的方法數(shù)為.故選：B.6．（2024·江蘇·高三統(tǒng)考期末）某學(xué)校廣播站有6個節(jié)目準(zhǔn)備分2天播出，每天播出3個，其中學(xué)習(xí)經(jīng)驗介紹和新聞報道兩個節(jié)目必須在第一天播出，談話節(jié)目必須在第二天播出，則不同的播出方案共有（）A．108種B．90種C．72種D．36種【答案】A【解析】第一步，從無限制條件的3個節(jié)目中選取1個，同學(xué)習(xí)經(jīng)驗介紹和新聞報道兩個節(jié)目在第一天播出，共有種；第二步，某談話節(jié)目和其他剩余的個節(jié)目在第二天播出，有種播出方案，綜上所述，由分步乘法計數(shù)原理可知，共有種不同的播出方案.故選：A7．（2024·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有（）A．20種B．16種C．12種D．8種【答案】B【解析】因為乙和丙之間恰有人，所以乙丙及中間人占據(jù)首四位或尾四位，①當(dāng)乙丙及中間人占據(jù)首四位，此時還剩末位，故甲在乙丙中間，排乙丙有種方法，排甲有種方法，剩余兩個位置兩人全排列有種排法，所以有種方法；②當(dāng)乙丙及中間人占據(jù)尾四位，此時還剩首位，故甲在乙丙中間，排乙丙有種方法，排甲有種方法，剩余兩個位置兩人全排列有種排法，所以有種方法；由分類加法計數(shù)原理可知，一共有種排法，故選：B.8．（2024·湖南常德·高三常德市一中?？茧A段練習(xí)）畢業(yè)十周年校友們重返母校，銀杏樹下，有五名校友站成一排拍照留念，其中甲不排在乙的右邊，且不與乙相鄰，則不同的站法共有（）A．66種B．60種C．36種D．24種【答案】C【解析】先排甲、乙外的3人，有種排法，再插入甲、乙兩人，有種方法，共有種方法，又甲排乙的左邊和甲排乙的右邊各占，故所求不同和站法有（種）.故選：C.9．（2023·山西臨汾·?？寄M預(yù)測）8名同學(xué)站成兩排參加文藝演出，要求兩排人數(shù)相等，A不站在前排，D不站在后排，E和F左右相鄰，則不同的排列方式共有（）A．1152種B．1728種C．2304種D．2880種【答案】C【解析】由題意可知：D站在前排，A站在后排，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 若E和F站在前排，則不同的排列方式共有；若E和F站在后排，則不同的排列方式共有；所以不同的排列方式共有種.故選：C.10．（2024·山西朔州·高三統(tǒng)考期末）將4個1和2個0隨機排成一個六位數(shù)，則2個0不相鄰的六位數(shù)的概率為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】將4個1和2個0隨機排成一個六位數(shù)，可利用插空法，4個1產(chǎn)生4個空（最高位不能為0），若2個0相鄰，則有種排法；若2個0不相鄰，則有種排法，所以2個0不相鄰的概率為.故選：D.11．（2024·遼寧·高三校聯(lián)考期末）某人將用“”進(jìn)行排列設(shè)置6位數(shù)字密碼，其中兩個“1”相鄰的概率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根據(jù)已知條件：用“”進(jìn)行排列設(shè)置6位數(shù)字密碼共有種排列方法，其中兩個“1”相鄰的情況共有種方法，所以兩個“1”相鄰的概率是.故選：C.12．（2023·全國·高三階段練習(xí)）已知的展開式中唯有第5項的系數(shù)最大，則a的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】的展開式的通項為，由題可知，解得．故選：A13．（2023·湖南長沙·高三湖南師大附中校考階段練習(xí)）若，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，對原式兩邊求導(dǎo)可得：，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 令，可得.故選：C．14．（2022·山東德州·統(tǒng)考二模）已知，二項式的展開式中所有項的系數(shù)和為64，則展開式中的常數(shù)項為（）A．36B．30C．15D．10【答案】C【解析】令，則可得所有項的系數(shù)和為且，解得，∵的展開式中的通項，∴當(dāng)時，展開式中的常數(shù)項為.故選：C15．（2024·山東青島·高三青島二中?？计谀┱归_式的常數(shù)項為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】的展開式通項為，由可得，且，所以，展開式中的常數(shù)項為.故選：C.16．（2024·安徽池州·高三統(tǒng)考期末）的展開式中的系數(shù)為（）A．10B．C．20D．【答案】A【解析】，展開式的通項公式為，時，，所以的系數(shù)為．故選：A.17．（2024·安徽蚌埠·統(tǒng)考模擬預(yù)測）的展開式中，的系數(shù)為（）A．1B．2C．4D．5【答案】B【解析】依題意，，，所以的展開式中，的系數(shù)為.故選：B18．（2024·浙江·高三甌海中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）的展開式中含項的系數(shù)為（）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．B．0C．15D．30【答案】D【解析】的展開式通項為，令，則，的展開式通項為，令，則，則的展開式中含項的系數(shù)為，故選：D.19．（2024·山西晉城·統(tǒng)考一模）若的展開式存在常數(shù)項，則常數(shù)項為（）A．B．35C．D．21【答案】C【解析】若的展開式存在常數(shù)項，則，且常數(shù)項為．故選：C20．（2023·浙江·高三富陽中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記為圖中所選數(shù)1，構(gòu)成的數(shù)列的第項，則的值為（）A．252B．426C．462D．924【答案】C【解析】由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記為圖中所選數(shù)，構(gòu)成的數(shù)列的第項，根據(jù)數(shù)字的構(gòu)成規(guī)律，可得數(shù)列的奇數(shù)項為每行數(shù)列的項，偶數(shù)項為每行的第項，則即第11行的第項，結(jié)合二項展開式的二項式系數(shù)的性質(zhì)，可得.故選：C.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司