浙江省Z20名校聯(lián)盟（浙江省名校新高考研究聯(lián)盟）2023屆高三上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題數(shù)學(xué)（解析版）.docx

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Z20名校聯(lián)盟（浙江省名校新高考研究聯(lián)盟）2023屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】解不等式求出，求出交集.【詳解】，，故.故選：D2.若（為虛數(shù)單位），則（）A.5B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算化簡，進而可求解模長.【詳解】由得，所以，故選：B3.已知一組樣本數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為，由這組數(shù)據(jù)得到另一組新的樣本數(shù)據(jù)，，…，，其中（，2，…，10），則（）A.兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同B.兩組樣本數(shù)據(jù)的方差不相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的極差相同D.將兩組數(shù)據(jù)合成一個樣本容量為20的新的樣本數(shù)據(jù)，該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差和極差的計算公式判斷即可.【詳解】因為，所以，故A錯； ，所以兩組樣本數(shù)據(jù)的方差相同，故B錯；新的樣本數(shù)據(jù)的極差=，所以兩組樣本數(shù)據(jù)的極差相同，故C正確；樣本容量為20的新的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故D錯.故選：C.4.已知多項式，則（）A.11B.74C.86D.【答案】B【解析】【分析】利用二項式定理分別求出與一次項的系數(shù)，再相加即可.【詳解】對于，其展開通項公式為，令，得，故，對于，其展開通項公式為，令，得，故，所以.故選：B.5.已知是邊長為1的正三角形，，，則（）A.B.C.D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖像，即可得出，，再得出，代入計算即可得出答案．【詳解】由，可知E為BC中點，所以，如圖所示： 因為，根據(jù)上圖可知故選：A6.已知正方體的棱長為1，是線段上的動點，則三棱錐的體積為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先由線面平行的判定定理證得面，從而得到，再結(jié)合錐體的體積公式即可得解.【詳解】因為在正方體中，，，所以四邊形是平行四邊形，故，又面，面，所以面，因為是線段上的動點，所以到面的距離與到面的距離相等，所以故選：B..7.已知直角的直角頂點在圓上，若點，，則 的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系進行求解即可.【詳解】因為圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，直角的直角頂點在圓上，所以有，因為直角的直角頂點為，所以點A在以為直徑圓上，因此圓心坐標(biāo)為，半徑為，因為點在圓上，所以這兩個圓位置關(guān)系為相交或內(nèi)切或外切，所以有，故選：C8.已知，，（為自然對數(shù)的底數(shù)），則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可得，進而可得，然后構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得，進而可得，即得.【詳解】因為，所以，又，，所以，設(shè)，則，由，可得，函數(shù)單調(diào)遞增，由，可得，函數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減， 所以，，所以，即，所以.故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.已知拋物線與直線有公共點，則的值可以是（）A.2B.3C.4D.5【答案】BCD【解析】【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程，利用方程的根與公共點的個數(shù)之間的關(guān)系使即可求得的取值范圍.【詳解】聯(lián)立直線和拋物線方程，消去得，，由拋物線與直線有公共點，所以方程有實數(shù)根；即，解得或（舍）因此的值可以是3，4，5.故選：BCD10.已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則（）A.的周期為B.為奇函數(shù)C.的圖象關(guān)于點對稱D.當(dāng)時，的取值范圍為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)三角恒等變換得到，再由函數(shù)圖象的變換得到 ，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐一判斷各個選項即可求解.詳解】函數(shù)，對于A選項：函數(shù)的最小正周期為，所以A選項正確；對于B選項：函數(shù)的定義域為，，則函數(shù)是上的偶函數(shù)，所以B選項錯誤；由題意，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到：，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變）得到：，即函數(shù)，對于C選項：令（），解得：（），當(dāng)時，，此時，即函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，所以C選項正確；對于D選項：當(dāng)時，，由余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)得：，即，所以D選項錯誤；故選：AC.11.新型冠狀病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019，COVID-19），簡稱“新冠肺炎”，世界衛(wèi)生組織命名為“2019冠狀病毒病”，是指2019新型冠狀病毒感染導(dǎo)致的肺炎.用核酸檢測的方法可以診斷是否患有新冠，假設(shè)，其中隨機事件表示“某次核酸檢測被檢驗者陽性”，隨機事件表示“被檢驗者患有新冠”，現(xiàn)某人群中，則在該人群中（）A.每100人必有1人患有新冠B.若，則事件與事件相互獨立C.若,則某人患有新冠，則其核酸檢測為陽性的概率為0.999D.若某人沒患新冠，則其核酸檢測為陽性的概率為0.001【答案】BD 【解析】【分析】根據(jù)相互獨立事件，對立事件和條件概率的計算公式逐項進行判斷即可求解.【詳解】因為表示每100人大約由1人患有新冠，故選項錯誤；因為，所以，又因為，由條件概率計算公式可得：，若，則，因為，所以事件與事件相互獨立，則事件與事件相互獨立，故選項正確；由題意可知：若某人患有新冠，則其核酸檢測為陽性的概率，故選項錯誤；某人沒患新冠，則其核酸檢測為陽性的概率為，因為，所以，故選項正確，故選：.12.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記.若與均為偶函數(shù)，則（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C.函數(shù)的周期為2D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)集合圖象變換可推出為偶函數(shù)，即得，利用特殊值判斷A；對進行變形處理即可判斷其對稱性從而判斷B；由為偶函數(shù)，且，代換處理即可判斷C；根據(jù)的周期即周期內(nèi)的特殊值關(guān)系得，，化簡可判斷D.【詳解】解：對于A，若為偶函數(shù)，則關(guān)于直線對稱，將縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，可得， 則函數(shù)關(guān)于直線對稱，即為偶函數(shù)，所以，則，所以，即，令得，，所以，故A正確；對于B，由可得，當(dāng)時，，即，令，則，所以，所以函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，故B正確；對于C，因為為偶函數(shù)，則，又，所以，則，所以，即，則，所以函數(shù)的周期為4，故C不正確；對于D，函數(shù)的周期為4，則函數(shù)的周期也為4，由，可得，，則，故D正確.故選：ABD. 【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性結(jié)合合理賦值確定函數(shù)的對稱性及周期性.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若實數(shù)，且，則______.【答案】0【解析】【分析】由，可得，據(jù)此可得答案.詳解】因，則，，又由換底公式推論可得，設(shè)，則，故，由換底公式，則.故答案為：014.我國南宋時期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中，提出了已知三角形三邊長求三角形面積的公式.在中，設(shè)分別為的內(nèi)角的對邊，S表示的面積，其公式為.若，，，則______.【答案】1或【解析】【分析】由正弦定理結(jié)合題設(shè)推得，利用條件解方程可得答案.【詳解】在中，由正弦定理得,而，故，結(jié)合可得即有，由，可得，整理得，解得或，故或，符合題意， 故答案為：1或15.已知實數(shù)，滿足，則的最小值是______.【答案】9【解析】【分析】將已知條件通過恒等變形，再利用基本不等式即可求解.【詳解】由已知條件得，∵，∴，又∵，，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.故答案為：9.16.已知橢圓的右焦點為，過坐標(biāo)原點的直線與橢圓交于A，B兩點.在中，，且滿足，則橢圓的離心率的取值范圍為______.【答案】.【解析】【分析】引入橢圓的另一個焦點，根據(jù)橢圓的對稱性，將轉(zhuǎn)化為焦點三角形的面積問題進行處理即可.【詳解】取橢圓的左焦點，連接，根據(jù)橢圓的對稱性：，于是四邊形為平行四邊形，由，故，記，根據(jù)橢圓定義，，在中，根據(jù)余弦定理：，即，對兩邊平方，，故，顯然，根據(jù)三角形的面積公式：，由 ，即，不等式兩邊同時除以，整理得到，結(jié)合橢圓離心率范圍解得；另一方面，由余弦定理結(jié)合基本不等式：，解得.于是，.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知正項數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列為等比數(shù)列，且，，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先利用與的關(guān)系結(jié)合已知條件等式推出數(shù)列是等差數(shù)列，從而求得數(shù)列 的通項公式；（2）利用(1)求，結(jié)合等比數(shù)列通項公式求得的表達式，然后利用錯位相減法求解即可．【小問1詳解】由可得，①，②由可得：，，，又?jǐn)?shù)列為正項數(shù)列，所以，因為，所以，所以數(shù)列為以1為首項，公差為2的等差數(shù)列，故.【小問2詳解】由(1)得：，又，，所以，∵數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，所以，所以，則，③，④得：，則.18.已知半圓的直徑，點為圓弧上一點（異于點），過點作的垂線，垂足為.（1）若，求的面積；（2）求的取值范圍. 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）連接，利用余弦的定義求解即可；（2）設(shè)，在中利用三角函數(shù)的定義及三角恒等變換求解即可.【小問1詳解】如圖，連接，在中，，，，則，在中，，所以.【小問2詳解】設(shè)，易知，在中，①，因為，所以，則，代入①式可得的取值范圍為.19.“體育強則國家強，國運興則體育興”，多參加體育運動能有效增強中學(xué)生的身體素質(zhì).籃球和排球是我校學(xué)生最為喜愛的兩項運動，為調(diào)查喜愛運動項目與性別之間的關(guān)系，某調(diào)研組在校內(nèi)隨機采訪男生、女生各50人，每人必須從籃球和排球中選擇最喜愛的一項，其中喜愛排球的歸為甲組，喜愛籃球的歸為乙組，調(diào)查發(fā)現(xiàn)甲組成員48人，其中男生18人.（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，填空下述列聯(lián)表： 甲組乙組合計男生女生合計（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有95%的把握認為學(xué)生喜歡排球還是籃球與“性別”有關(guān)?（3）現(xiàn)從調(diào)查的女生中按分層抽樣的方法選出5人組成一個小組，抽取的5人中再隨機抽取3人發(fā)放禮品，求這3人中在甲組中的人數(shù)的概率分布列及其數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中為樣本容量.參考數(shù)據(jù)：0.500.050.010.4553.8416.635【答案】（1）列聯(lián)表見解析（2）有95%的把握（3）分布列見解析，【解析】【分析】(1)根據(jù)已知條件填列聯(lián)表;(2)計算,與表格數(shù)據(jù)比較,判斷即可;(3)先應(yīng)用分層抽樣確定男女生人數(shù)，再應(yīng)用古典概型計算概率，列出分布列，再求出數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】列聯(lián)表甲組乙組合計男生183250女生302050合計4852100【小問2詳解】零假設(shè)為：學(xué)生選排球還是籃球與性別無關(guān)由列聯(lián)表可得 ；有95%的把握認為學(xué)生喜歡排球還是籃球與“性別”有關(guān).【小問3詳解】按分層抽樣，甲組中女生3人，乙組中女生2人，，∴概率分布列為123數(shù)學(xué)期望.20.如圖，在四棱錐中，已知，，，，，，為中點，為中點.（1）證明：平面平面；（2）若，求平面與平面所成夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行及面面平行的判定定理即得；（2）方法一，延長與交于，由題可得面面，過作，過作，進而可得即為面與面所成二面角的平面角，結(jié)合條件即得；方法二，利用坐標(biāo)法，根據(jù)面面角的向量求法即得.【小問1詳解】 連接，∵為中點，為中點，∴，又面，面，∴面，在中，，，，∴，即，在中，，，∴，，在中，，，，，∴，，∴，∵F為AB中點，∴，，∴，又∵面，面，∴面，又∵，CF，面，∴平面平面；【小問2詳解】解法一：延長與交于，連，則面面，在中，，，，所以，又，，，面，∴面，面，∴面面，在面內(nèi)過作，則面，∵面，∴， 過作，連，∵，面，面，∴面，面，∴，∴即為面與面所成二面角的平面角，∵，，∴，，∵，，∴，，，又，∴，，，∴.解法二：在中，，，，所以，又，，平面，所以平面，平面，所以平面平面，又∵，，∴，以為軸，為軸，過且垂直于面的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系， 則，，，，，設(shè)平面的法向量，，，，令，則，∴，設(shè)平面的法向量，，令，則，，∴，所以，∴平面與平面所成角的余弦值為.21.已知雙曲線的頂點為，，過右焦點作其中一條漸近線的平行線，與另一條漸近線交于點，且.點為軸正半軸上異于點的任意點，過點的直線交雙曲線于C，D兩點，直線與直線交于點.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求證：為定值.【答案】（1） （2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意表示出點的橫坐標(biāo)，求出縱坐標(biāo)，表示面積即可求解；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，根據(jù)韋達定理證明求解.【小問1詳解】設(shè)雙曲線，易知.由題意可知：為等腰三角形，則，代入得：，則，又，則解得，則雙曲線.【小問2詳解】設(shè)直線的方程為：，（且），，.聯(lián)立，消得：，，，，①，②聯(lián)立①②，解得：.又，同理，，把它們代入，得，故，得證. 22.已知為正實數(shù)，函數(shù).（1）若恒成立，求的取值范圍；（2）求證：（）.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，分類討論判斷單調(diào)性，結(jié)合恒成立問題運算求解；（2）根據(jù)（1）可得不等式可證，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)證明，結(jié)合裂項相消法可證.【小問1詳解】，①若，即，，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，故，滿足條件；②若，即，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，則，矛盾，不符合題意.綜上所述：.【小問2詳解】先證右側(cè)不等式，如下：由（1）可得：當(dāng)時，有，則，即，即，則有， 即，右側(cè)不等式得證.下證左側(cè)不等式，如下：構(gòu)建，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，則，即，可得，即，則有，即，∵，則，故，左側(cè)得證.綜上所述：不等式成立.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟：(1)作差或變形．(2)構(gòu)造新的函數(shù)h(x)．(3)利用導(dǎo)數(shù)研究h(x)的單調(diào)性或最值．(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個函數(shù)的最值問題．