天津市靜海區(qū)第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期3月學(xué)業(yè)能力調(diào)研數(shù)學(xué)Word版含解析.docx

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靜海一中2022-2023第二學(xué)期高一（3月）學(xué)生學(xué)業(yè)能力調(diào)研數(shù)學(xué)試卷考生注意：本試卷分第Ⅰ卷基礎(chǔ)題（81分）和第Ⅱ卷提高題（39分）兩部分，共120分。其中學(xué)習(xí)習(xí)慣占8分（含3分卷面分）知識(shí)與技能學(xué)習(xí)能力內(nèi)容平面向量的概念平面向量的運(yùn)算平面向量在平面幾何中的應(yīng)用正余弦定理平面向量與三角函數(shù)的綜合老學(xué)法新學(xué)法分?jǐn)?shù)62622421335第Ⅰ卷基礎(chǔ)題（共81分）一、選擇題:每小題3分，共21分.1.下列命題：①若，則；②若，，則；③的充要條件是且；④若，，則；⑤若、、、是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形為平行四邊形的充要條件.其中，真命題的個(gè)數(shù)是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的概念可判斷①；利用相等向量的定義可判斷②；利用相等向量的定義以及充分條件、必要條件的定義可判斷③⑤；取可判斷④.【詳解】對(duì)于①，因?yàn)?，但、的方向不確定，則、不一定相等，①錯(cuò)； 對(duì)于②，若，，則，②對(duì)；對(duì)于③，且或，所以，所以，“且”是“”的必要不充分條件，③錯(cuò)；對(duì)于④，取，則、不一定共線，④錯(cuò)；對(duì)于⑤，若、、、是不共線的四點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則且，此時(shí)，四邊形為平行四邊形，當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，由相等向量的定義可知，所以，若、、、是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形為平行四邊形的充要條件，⑤對(duì).故選：A.2.在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，不解三角形，確定下列判斷正確的是（）A.，，，有兩解B.，，，有一解C.，，，有一解D.，，，無解【答案】D【解析】【分析】已知，前提下，利用直角構(gòu)造出關(guān)于的不等式，即可得出三角形的個(gè)數(shù)解.【詳解】因?yàn)?，，如圖于，由直角可得.當(dāng)或時(shí)，有一解；當(dāng)時(shí)，無解；當(dāng)時(shí)，有兩解.結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)，可知，選項(xiàng)A，B，C三項(xiàng)錯(cuò)誤. 故選：D3.已知，，，則（）A.M，N，P三點(diǎn)共線B.M，N，Q三點(diǎn)共線C.M，P，Q三點(diǎn)共線D.N，P，Q三點(diǎn)共線【答案】B【解析】【分析】利用平面向量共線定理進(jìn)行判斷即可．【詳解】，，，，，由平面向量共線定理可知，與為共線向量，又與有公共點(diǎn)，，，三點(diǎn)共線，故選：B．4.在中，若滿足，則A等于（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理、余弦定理化簡已知條件，求得的值，進(jìn)而求得.【詳解】由正弦定理得，，由于，所以.故選：D5.已知向量，，且，則向量的夾角是（）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】由可求得，根據(jù)向量夾角公式可求得結(jié)果.【詳解】，，，又，.故選：D.6.在中，若，，，則的值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用三角形的面積公式、正弦定理、余弦定理進(jìn)行求解.【詳解】在中，設(shè)角所對(duì)的邊分別為，由題知，，又，，所以，由余弦定理有：，解得，所以由正弦定理有：，故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B.7.設(shè)O是所在平面內(nèi)一定點(diǎn),P是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),若,則點(diǎn)O是的A.內(nèi)心B.外心C.重心D.垂心【答案】B【解析】【分析】設(shè)的中點(diǎn)分別為，可得，再由已知可得，得，同理可得，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)分別為， ，，所以，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，同理點(diǎn)在線段的垂直平分線上，所以為的外心.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查三角形外心的向量表示，考查向量線性運(yùn)算以及垂直的向量表示，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.二、填空題：每小題4分，共24分.8.已知向量、不共線，且，若與共線，則實(shí)數(shù)的值為___________【答案】或【解析】【分析】利用向量共線的充要條件以及一元二次方程求解.【詳解】已知向量、不共線，，所以，若與共線，則存在實(shí)數(shù)，使，即，所以，即，解得或.故答案為：或.9.在銳角中，角、、的對(duì)邊分別為、、，若，則角的值__________．【答案】【解析】【詳解】在中，由，整理得，即，，為內(nèi)角，或，因?yàn)棣BC為銳角三角形，，故答案為.【思路點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理及特殊角的三角函數(shù)，屬于簡單題. 對(duì)余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.10.已知一貨輪航行到處，測(cè)得燈塔在貨輪的北偏東，與燈塔相距20海里，隨后貨輪按北偏西的方向航行30分鐘后，又測(cè)得燈塔在貨輪的東北方向，則貨輪的速度為______海里每小時(shí).【答案】【解析】【分析】設(shè)貨輪最后的位置為，根據(jù)題意，畫出示意圖，利用正弦定理求出的長，即可求解貨輪的速度，得到答案．【詳解】設(shè)貨輪最后的位置為，由題意如圖所示，，在中，，，因?yàn)?，所以，所以貨輪速度為海里每小時(shí).故答案為：.11.若，且，那么是____________三角形【答案】等邊三角形 【解析】【分析】根據(jù)余弦定理得到，再根據(jù)正弦定理結(jié)合余弦定理得到，得到答案.【詳解】由題設(shè)可得，故，故，根據(jù)正弦定理得到：，故，即，即，即該三角形是等邊三角形．故答案為：等邊三角形.【點(diǎn)睛】本題考查了利用正弦定理和余弦定理判斷三角形形狀，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.12.如圖，在中，是的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)作一條直線與邊分別相交于點(diǎn)，若，則__________．【答案】##0.6【解析】【分析】利用線性運(yùn)算得到，然后根據(jù)三點(diǎn)共線得到，最后解不等式即可.【詳解】，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，解得.故答案：.13.在邊長為6的正三角形中，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)在線段上且．若與交于M，則_____． 【答案】【解析】【分析】先以為基底表示出，再利用向量數(shù)量積的定義即可求得的值.【詳解】令，則令，則由，可得，則，解之得則，則故答案為：三、解答題：(本大題共3小題，共36分)14.平面內(nèi)給出三個(gè)向量＝(3,2)，＝(－1,2)，＝(4，1)，求解下列問題：（1）求向量在向量方向上的投影向量的坐標(biāo)；（2）若向量與向量的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若(＋k)(2－)，求實(shí)數(shù)k的值.【答案】（1） （2）且（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)投影向量坐標(biāo)公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)與的夾角為銳角得到且與不同向共線，然后列不等式求解即可；（3）根據(jù)得到，然后解方程即可.【小問1詳解】在方向上的投影向量坐標(biāo)為.【小問2詳解】，，因?yàn)榕c的夾角為銳角，所以，且與不同向共線，即，解得且.【小問3詳解】，，因?yàn)?，所以，解?15.在中，內(nèi)角所對(duì)邊長分別為，且滿足.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理的邊化角公式得出； （2）由正弦定理得出，再由面積公式求解.【小問1詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，因?yàn)?，所以因?yàn)闉槿切蔚膬?nèi)角，所以【小問2詳解】因?yàn)?，，，由正弦定理可得：，所以因?yàn)闉槿切蔚膬?nèi)角，所以.16.如圖，在邊長為2的等邊三角形中，D是的中點(diǎn).（1）求向量與向量的夾角；（2）若O是線段上任意一點(diǎn)，求的最小值；（3）通過本題的解答，試總結(jié)利用平面向量解決平面問題的基本方法【答案】（1）；（2）；（3）詳見解析.【解析】【分析】（1）利用向量夾角公式即可求得向量與向量的夾角；（2）先求得的代數(shù)表達(dá)式，再利用二次函數(shù)最值即可求得的最小值； （3）合理使用平面向量基本定理和向量數(shù)量積是解決平面向量問題的基本方法.【小問1詳解】由題意可得，，，.因?yàn)?，故向量與向量的夾角為.【小問2詳解】.當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為.【小問3詳解】用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決．求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用數(shù)量積的幾何意義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算．具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時(shí)要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用．第Ⅱ卷提高題（共39分）四、填空題：(每小題6分，共6分)17.如圖，在平面四邊形中，，，，且 ，則___________，若是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是___________.【答案】①.4②.【解析】【分析】根據(jù)題意求出，，再根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義可得；設(shè)，將和化為、、表示，利用定義求出關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)知識(shí)可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以為正三角形，所以，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所?因?yàn)槭蔷€段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以可設(shè)，所以， 因?yàn)?，所以時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以的取值范圍是.故答案為：4；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將和化為、、表示，利用定義求出是解題關(guān)鍵.五、解答題：(本大題共2小題，共25分)18.已知向量，函數(shù).（1）求函數(shù)的最大值及相應(yīng)自變量的取值；（2）在中，角的對(duì)邊分別為，若，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)利用向量坐標(biāo)運(yùn)算，二倍角公式和輔助角公式表示出，即可求出其最大值以及相應(yīng)自變量的取值；(2)結(jié)合(1)中的，求出，再利用余弦定理和基本不等式變形即可求出結(jié)果.【小問1詳解】由題知，，所以當(dāng)，即時(shí)，最大，且最大值為；【小問2詳解】由(1)知，， 則，解得或，所以中，，又，則，整理得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，整理可得，又在中，所以，即的取值范圍為.19.已知中的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，.（1）求角A的大?。唬?）若，D為BC邊上一點(diǎn)，，且，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）運(yùn)用三角形面積公式及余弦定理化簡求解即可.（2）運(yùn)用正弦定理求得c的值，運(yùn)用余弦定理可求得a的值，進(jìn)而求得的值.【小問1詳解】因?yàn)椋?，即，所以，又，所?【小問2詳解】 由（1）可知，所以，又，所以，根據(jù)正弦定理，在△CAD中，，在△BAD中，，又，∴，所以在△ABC中，由余弦定理可得，則，所以