第二章向量組和向量空間

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1、第二章向量組和向量空間教學(xué)安排說(shuō)明章節(jié)題目：§2.1維向量及其線性運(yùn)算；§2.2向量組的線性相關(guān)性；§2.3向量組的秩學(xué)時(shí)分配：共6學(xué)時(shí)?！?.1維向量及其線性運(yùn)算2學(xué)時(shí)§2.2向量組的線性相關(guān)性2學(xué)時(shí)§2.3向量組的秩2學(xué)時(shí)本章教學(xué)目的與要求：：目的：使學(xué)生掌握向量的線性運(yùn)算及線性相關(guān)性的判定，為下一章理解線性方程組解的結(jié)構(gòu)打基礎(chǔ)。要求：1、理解維向量的概念和運(yùn)算。2、深刻理解向量的線性組合、向量組線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的概念（本章的難點(diǎn)）。3、深刻理解向量組的極大無(wú)關(guān)組和向量組秩的概念。會(huì)求向量組的秩和極大無(wú)關(guān)組（本章的難點(diǎn)）。4

2、、掌握向量組線性相關(guān)性的判定課堂教學(xué)方案課程名稱：§2.1維向量及其線性運(yùn)算授課時(shí)數(shù)：2學(xué)時(shí)授課類型:理論課教學(xué)方法與手段：講授法教學(xué)目的與要求：掌握向量的定義及其線性運(yùn)算滿足的規(guī)律，掌握向量?jī)?nèi)積、夾角、正交等概念教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)是向量?jī)?nèi)積、夾角、正交等概念教學(xué)內(nèi)容§2.1維向量及其線性運(yùn)算一、維向量的概念定義1所謂一個(gè)維向量就是由個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組(1)稱為向量(1)的第分量.通常用小寫希臘字母來(lái)代表向量.向量通常是寫成一行：.有時(shí)也可以寫成一列：.為了區(qū)別，前者稱為行向量，后者稱為列向量。它們的區(qū)別只是寫法上的不同.分量全

3、為零的向量稱為零向量，記為0全體維實(shí)向量的集合記作例1線性方程組中的每一個(gè)方程都可以用一個(gè)維向量表示例2、例3見(jiàn)教材二、向量的線性運(yùn)算如果維向量的對(duì)應(yīng)分量都相等，即.就稱這兩個(gè)向量是相等的，記作.1.向量的加法定義2已知向量，向量稱為向量的和，記為2.數(shù)乘向量定義3設(shè)為數(shù)，向量稱為向量與數(shù)的數(shù)量乘積，記為向量稱為向量的負(fù)向量，記為.3.向量的減法已知向量，定義向量稱為向量的減法，記為1.向量的轉(zhuǎn)置稱為向量的轉(zhuǎn)置，記作或顯然向量的運(yùn)算滿足以下運(yùn)算規(guī)律交換律：.(2)結(jié)合律：.(3).(4).(5),(6),(7),(8).(9)(6

4、)—(9)是關(guān)于數(shù)量乘法的四條基本運(yùn)算規(guī)則.由(6)—(9)或由定義不難推出：,(10),(11).(12)如果，那么.(13)補(bǔ)充例題例1．計(jì)算（i）（2，0，-1）+（-1，-1，2）+（0，1，-1）；（ii）5（0，1，-1）-3（1，，2）+（1，-3，1）．例2．證明：如果a（2，1，3）+b（0,1,2）+c（1，-1，4）=（0，0，0），那么a=b=c=0．三、向量的內(nèi)積定義4在中,設(shè)向量,稱實(shí)數(shù)為向量的內(nèi)積，記作向量的內(nèi)積具有以下性質(zhì)：1）[]=[]；2）；3）[]=；4）定義5非負(fù)實(shí)數(shù)稱為向量的長(zhǎng)度，記作顯然

5、向量的長(zhǎng)度滿足非負(fù)性、齊次性和三角形法則。向量的長(zhǎng)度一般是正數(shù)，只有零向量的長(zhǎng)度才是零。長(zhǎng)度為1的向量叫做單位向量.如果,，向量就是一個(gè)單位向量.用向量的長(zhǎng)度去除向量，得到一個(gè)與成比例的單位向量，通常稱為把單位化.兩個(gè)向量之間最簡(jiǎn)單的關(guān)系是成比例.所謂向量與成比例就是說(shuō)有一數(shù)使.命題1設(shè)向量，則有，且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)兩向量對(duì)應(yīng)分量成比例定義6非零向量的夾角規(guī)定為定義7如果向量的內(nèi)積為零，即，那么稱為正交或互相垂直，記為.兩個(gè)非零向量正交的充要條件是它們的夾角為.只有零向量才與自己正交.課后作業(yè)P561；2；3課堂教學(xué)方案課程名稱：

6、§2.2向量組的線性相關(guān)性授課時(shí)數(shù)：2學(xué)時(shí)授課類型:理論課教學(xué)方法與手段：講授法教學(xué)目的與要求：掌握向量組的線性相關(guān)、無(wú)關(guān)的定義，掌握有關(guān)定理及推論教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)是判別向量組的線性相關(guān)性；難點(diǎn)是定理的證明教學(xué)內(nèi)容§2.2向量組的線性相關(guān)性一、向量組的線性組合定義8向量稱為向量組的一個(gè)線性組合，如果有數(shù)，使,其中叫做這個(gè)線性組合的系數(shù).當(dāng)向量是向量組的一個(gè)線性組合時(shí)，也說(shuō)可以經(jīng)向量組線性表出.例4設(shè)，則再如，任一個(gè)維向量都是下面向量組的一個(gè)線性組合.向量稱為維單位向量.零向量是任意向量組的線性組合.例5設(shè)是向量組之中的一個(gè)向量

7、，證明是向量組的一個(gè)線性組合例6證明是向量組的一個(gè)線性組合，則也是向量組的一個(gè)線性組合。例7判斷是否是的線性組合？例8判斷是否是的線性組合？命題2如果可由向量組線性表出，而中每一個(gè)向量可以經(jīng)向量組線性表出，那么可由線性表出.二、線性相關(guān)定義10設(shè)向量組（m≥2），如果其中存在一個(gè)向量是其余m-1個(gè)向量的線性組合，則稱向量組線性相關(guān)定理1向量組（m≥2）線性相關(guān)的充分必要條件是存在不全為零的數(shù)，使如果當(dāng)且僅當(dāng)=0時(shí)上式成立，則稱向量組線性無(wú)關(guān)。定義設(shè)向量組（m≥2），如果存在不全為零的數(shù)，使那么稱向量組（m≥2）線性相關(guān)，否則稱線性

8、無(wú)關(guān)。從定義可以看出，單獨(dú)一個(gè)零向量線性相關(guān)，單獨(dú)一個(gè)非零向量線性無(wú)關(guān).任意一個(gè)包含零向量的向量組一定是線性相關(guān)的.向量組線性相關(guān)就表示或者(這兩個(gè)式子不一定能同時(shí)成立).在為實(shí)數(shù)域，并且是三維時(shí)，就表示向量與共線.三個(gè)向量線性相關(guān)的幾何意義就是它