由自然數(shù)平方與公式推導(dǎo)自然數(shù)立方與公式

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1、自然數(shù)平方和公式Sn=1*1+2*2+3*3+…+n*n=n(n+1)(2n+1)/6怎么推導(dǎo)？利用(n+1)3-n3=3n2+3n+1即可13-03=3×02+3×0+123-13=3×12+3×1+133-23=3×22+3×2+143-33=3×32+3×3+1……(n+1)3-n3=3n2+3n+1∴(n+1)3＝3Sn+3(1+2+……+n)+(n+1)……Sn=1*1+2*2+3*3+…+n*n=n(n+1)(2n+1)/6設(shè)S=1^2+2^2+....+n^2(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2

2、+3(n-1)+1........2^3-1^3=3*1^2+3*1+1把上面n個(gè)式子相加得：(n+1)^3-1=3*[1^2+2^2+...+n^2]+3*[1+2+....+n]+n所以S=(1/3)*[(n+1)^3-1-n-(1/2)*n(n+1)]=(1/6)n(n+1)(2n+1)方法1：由（n+1）^3-n^3=3n^2+3n+1,利用疊加法可得3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n=（n+1）^3-1.由此等式可得1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6.方法2:由組合數(shù)

3、性質(zhì)可得:C(2,2)+C(2,3)+C(2,4)+...C(2,n)=C(3,n+1),即2×1/2+3×2/2+4×3/2+...+n(n-1)/2=(n+1)n(n-1)/6整理得(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-(1+2+3+...+n)=(n+1)n(n-1)/3,所以1^2+2^2+3^2+...+n^2=(n+1)n(n-1)/3+(1+2+3+...+n)=...12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6，在高中數(shù)學(xué)中是用數(shù)學(xué)歸納法證明的一個(gè)命題，沒有給出其直接的推導(dǎo)過程。其實(shí)，該求和公式的直接推導(dǎo)并不復(fù)雜，也沒有

4、超出初中數(shù)學(xué)內(nèi)容。???設(shè)：S=12+22+32+…+n2???另設(shè)：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步設(shè)題是解題的關(guān)鍵，一般人不會(huì)這么去設(shè)想。有了此步設(shè)題，第一：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2中的12+22+32+…+n2=S，(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以展開為(n2+2n+12)+(n2+2×2n+22)+(n2+2×3n+32)+…+(n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)

5、+12+22+32+…+n2，即S1=2S+n3+2n(1+2+3+…+n)………………………………………………..(1)第二：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以寫為：S1=12+32+52…+(2n-1)2+22+42+62…+(2n)2，其中：22+42+62…+(2n)2=22(12+22+32+…+n2)=4S……………………………………..(2)12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1)2+…+(2n-1)2=(22×12-2×2×1+1)

6、+(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+(22×n2-2×2×n+1)2=22×12+22×22+22×32+…+22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n=22×(12+22+32+…+n2)-2×2(1+2+3+…+n)+n=4S-4(1+2+3+…+n)+n……………………………………………………………..(3)由(2)+(3)得：S1=8S-4(1+2+3+…+n)+n…………………………………………..(4)由(1)與(4)得：2S+n3+2n(1+2+3+…+n)=8S-4(1+2+3

7、+…+n)+n即：6S=n3+2n(1+2+3+…+n)+4(1+2+3+…+n)-n?????=n[n2+n(1+n)+2(1+n)-1]?????=n(2n2+3n+1)?????=n(n+1)(2n+1)????S=n(n+1)(2n+1)/6亦即：S=12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6……………………………………(5)以上可得各自然數(shù)平方和公式為n(n+1)(2n+1)/6，其中n為最后一位自然數(shù)。由(5)代入(2)得自然數(shù)偶數(shù)平方和公式為2n(n+1)(2n+1)/3，其中2n為最后一位自然數(shù)。由(5)代入(3)得自然數(shù)奇

8、數(shù)平方和公式為n(2n-1)(2n+1)/3，其中2n-1為最后一位自然數(shù)。??