分塊矩陣的若干應(yīng)用

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1、分塊矩陣的若干應(yīng)用摘要：本文歸納/分塊矩陣的一些應(yīng)用，這些應(yīng)用主要涉及到用分塊矩陣計算行列式，求解逆矩陣，解線性方程組以及證明矩陣秩的不等式.Abstract：Thisarticlesummarizesthenumberofblockmatrixapplicationsmainlyrelatedtotheuseofblockmatrixdeterminantcalculation,solvingtheinversematrix,solutionoflinearequations，aswellasproofoftheinequa

2、lityrankmatrix.Keywords:blockmatrix，determinant，invertiblematrix，linearequations,rank22.12.22.32.4今主；.2I=A分塊矩陣的應(yīng)用利用分塊矩陣求n階行列式利用分塊矩陣求矩陣的逆利用分塊矩陣解非齊次線性方程組利用分塊矩陣證明矩陣的秩的性質(zhì)1411引言矩陣的分塊是處理級數(shù)較高的矩陣時常用的方法.有時候，我們把一個大矩陣看成是由一些小矩陣組成的，就如矩陣是由數(shù)組成的一樣.特別是在運算屮，把這些小矩陣當作數(shù)一樣來處理，這就是所謂矩陣的分塊1

3、11.分塊矩陣是矩陣論屮重要內(nèi)容之一.在線性代數(shù)屮，分塊矩陣也是一個十分重要的概念，它可以使矩陣的表示簡單明了，使矩陣的運算得以簡化，而且還可以利用分塊矩陣解決某些行列式的計算問題.事實上，利用分塊矩陣方法計算行列式，時常會使行列式的計算變得簡單，并能收到意想不到的效果.矩陣是一種新的運算對象，我們應(yīng)該充分注意矩陣運算的一些特殊規(guī)律.為丫研宂問題的需要，適當對矩陣進行分塊，把一個大矩陣看成是由一些小矩陣為元素組成的，這樣可使矩陣的結(jié)構(gòu)看的更淸楚.運用矩陣分塊的思想，可使解題更簡潔，思路更開闊，在教學屮有著非常廣泛的應(yīng)用，一些復(fù)

4、雜的問題，經(jīng)分塊矩陣處理就顯得非常簡單.而在高等代數(shù)和線性代數(shù)教材屮，這部分N容比較少，本文歸納并討論了分塊矩陣在行列式，矩陣的逆及解非齊次線性方程組等方面的一些應(yīng)用.2分塊矩陣的應(yīng)用行列式的計算是一個重要的問題，也是一個很麻煩的問題.A2級行列式一共有〃!項，計算它就需要做個乘法.當n較大時，〃!是一個相當大的數(shù)字，直接從定義來計算行列式幾乎是不可能的事，因此我們有必要進一步討論解行列式的方法.利用分塊矩陣的方法［21求行列式的值是行列式求值常用的方法.但通常教材屮介紹的方法，多數(shù)為計算特殊形式的行列式，本文將在教材的基礎(chǔ)上

5、給出另外一些行列式的分塊矩陣的解法.2.1利用分塊矩陣求n階行列式各高等代數(shù)教材主要介紹了用定義，性質(zhì)，展開定理計算階行列式.常用的技巧有遞推法，加邊法等.但有些行列式計算起來仍很麻煩，下面給出運用分塊矩陣計算《級行列式的一種方法，該方法使n階行列式的求值更加簡便易行.本文我們主要以2x2分塊矩陣為例.(A命題1設(shè)/7階行列式W分塊為，則(1)當A為r階可逆矩陣時，=ad-ca^bd(2)當￡＞為n-r階可逆矩陣時，

6、VV

7、證明(1)由-or1en-r/ZABCD=d\a-bd-'cn-rE-A-}B0EA00D-

8、CA'BA$AC得I叫D-CA0E(2)由-BDi、n—rABCD0-D'CEn-rA-BD~]C00Dd\a-bd~1c推論1設(shè)A，fi，C都是〃階方陣，J1可逆，則推論2設(shè)人B都是n階方陣，則有證明=(-i)"2

9、b

10、

11、cABBAA-BB_A-BBB-AA~0A+BA+BA-BAB—CDAD-CB，其中“,?^0,/=2,3,…，n’6S0▲0a3推論3設(shè)A,B，C，D都是n階方陣，則當AC=CA時，有當=時，有it=DA-BC.axbbc0例1計算行列式

12、P

13、=

14、c0a3???參參??參參C00解A=

15、(?j),B=(ftb??-Z?),C=(cc則

16、￡＞卜屮屮…么*0，故￡＞為可逆矩陣，且D-1

17、P

18、

19、A-BP_1C

20、=(tz2tz3???)[tz,+".+d注這里并不需要A*0的條件.在使用定理來計算階行列式吋，關(guān)鍵是對矩陣進行分塊，構(gòu)造出可逆矩陣A或￡＞.<1111>例2求矩陣A—1-11-1的行列式.11-1-1U-1-1<11>

21、fi

22、二—2關(guān)0,故B可逆.,BBBBz、2,H,得A=B一B=0-2B=(_2)

23、B

24、

25、B

26、=16-當我們看到這道題時，首先想到的是消去法，用這種方法

27、解級數(shù)較高的矩陣計算量很大.但當我們觀察到矩陣是有若干相同的矩陣構(gòu)成時，用分塊矩陣的方法是很簡單的.06Z/?0例3計算行列式?0，S得

28、D

29、A+BA-B-baa-b=[b2-6Z2)(/?2-6Z2)=(b2-a這道題看似簡單，但是如果方法選擇不當，做起來并不簡單.這里對