衍生證券定價理論第七章美式期權(quán)定價

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1、第七章美式期權(quán)定價由于美式期權(quán)提前執(zhí)行的可能，使得解決最優(yōu)執(zhí)行決策成為美式期權(quán)定價和套期保值的關(guān)鍵。由第三章的內(nèi)容我們知道，如果標的股票在期權(quán)的到期口之前不分紅，則美式看漲期權(quán)不會提前執(zhí)行，因為在到期FIZ前執(zhí)行將損失執(zhí)行價格的利息。但是，如果標的股票在期權(quán)到期11以前支付紅利，則提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)可能是最優(yōu)的。提前執(zhí)行可以獲得股票支付的紅利，而紅利的收入超過利息損失。事實上，我們將證明，投資者總是在股票分紅前執(zhí)行美式看漲期權(quán)。對■于美式看跌期權(quán)而言，問題變的更復朵?？吹跈?quán)的支付以執(zhí)行價格為上界，這限制了等待的價值，所以對于美式

2、看跌期權(quán)而言，即使標的股票不支付紅利，也可能提前執(zhí)行。提前執(zhí)行可以獲得執(zhí)行價格的利息收入。許多金融證券都暗含著美式期權(quán)的特性，例如可回購債券(calledbond),對轉(zhuǎn)換債券(convertiblebond),假設(shè)：1.市場無摩擦2.無違約風險3.競爭的市場4.無套利機會1.帶息價格和除息價格每股股票在時間f支付紅利元。當股票支付紅利后，我們假設(shè)股價將下降，下降的規(guī)模為紅利的人小。可以證明，當市場無套利且在資本收益和紅利收入之間沒有稅收差別時，這個假設(shè)是成立的。S〈)二S《)+G這里S'(f)表示股票在時間/的帶息價格，S「(/)

3、表示股票在時間/的除息價格。這個假設(shè)的證明是非常直接的。如果上述關(guān)系不成立，即,則存在套利機會。首先，如果s°(/)〉sT/)+d,，則以帶息價格賣出股票，在股票分紅后馬上以除息價格買回股票。因為我們賣空股票，所以紅利由賣空者支付，從而這個策略的利潤為S?-(s?+dj。因為紅利是確定知道的,所以只要var(sc(r)-se(0)=0,則利潤是沒有風險的。其次，如果sq/)

4、期H之前分紅，則美式期權(quán)有可能提前執(zhí)行，而R,如果美式看漲期權(quán)提前執(zhí)行，則提前執(zhí)行只發(fā)生在分紅前瞬間。研究美式看漲期權(quán)提前執(zhí)行的關(guān)鍵是看漲期權(quán)的時間價值(timevalue)的概念。下面我們引入時間價值的概念并分析時間價值的性質(zhì)。符號：c(o)：美式期權(quán)在時間0的價格c(O)：歐式期權(quán)在時間0的價格5(0)：標的股票在時間0的價格T:美武期權(quán)的到期日K:美式期權(quán)的執(zhí)行價格B(0,T):面值為1的債券在時間()的價格PV()[]：括號內(nèi)現(xiàn)金流在時間()的現(xiàn)值考慮美式看漲期權(quán)這樣的執(zhí)行策略：在到期日，不管股票價格是否大于執(zhí)行價格，我們都

5、執(zhí)行期權(quán)。在這樣一個執(zhí)行策略下，美式期權(quán)等價于執(zhí)行價格為K的遠期合約，所以為美式看漲期權(quán)的目前值為P%[S(T)-K]二S(0)-KB(0,7j下面引入時間價值的概念。定義：以不支付紅利的股票為標的物的美式看漲期權(quán)的時間價值為7V(0)=c(0)-[S(0)_O(0,T)](1)直觀上來說，時間價值是由于等待以決定執(zhí)行期權(quán)而給期權(quán)合約帶來的價值增加值。因為在到期日，期權(quán)是虛值時可以不執(zhí)行，所以時間價值是非負的。因為C(0)>c(o)>Max^S(o)-KB(0,7j}(2)所以(1)吋間價值大于美歐式期權(quán)價格Z差；(2)吋間價值是非

6、負的。下圖說明了看漲期權(quán)的時間價值作為股票價格的函數(shù)的性質(zhì)。下面我們我們考慮紅利的影響。為簡單起見，假設(shè)紅利的大小和支付時間都是已知的。我們先研究在期權(quán)的有效期Z內(nèi)，提前執(zhí)行可能發(fā)生的吋間。性質(zhì)：給定正的利率，在兩次分紅之間或者到期FI之詢執(zhí)行美式看漲期權(quán)不是最優(yōu)的。證明：考慮下圖0tTTodayEx-DividendDateMaturityofOption首先證明在時間fZ前不會執(zhí)行。考慮兩種交易策略：策略1：馬上執(zhí)行期權(quán)。這個策略價值為s(o)-K策略2：等到分紅前瞬間執(zhí)行，即使期權(quán)是虛值的。這個策略在時間f的價值為S"(/)-

7、K,從而該策略在吋間0的價值為S(0)-KB(0j)策略2的價值大于策略1的價值，所以應該等待。其次證明在分紅后和到期1_1之前的任何時間也不會執(zhí)行?？紤]兩種交易策略：策略1：在分紅后馬上執(zhí)行期權(quán)。這個策略在時間/的價值為S“(f)-K,策略2：等到到期日執(zhí)行，即使期權(quán)是虛值的。這個策略在時間丁的價值為Sp卜K,從而該策略在時間/的價值為S”(/)-KB(f,T)策略2的價值大于策略1的價值，所以應該等待。如果期權(quán)的執(zhí)行不是發(fā)主在分紅前的瞬間，則會損失利息但不會有任何收入。提前執(zhí)行的唯一收入是獲取紅利，所以美式期權(quán)除了在分紅前的瞬間

8、和到期FI外，其余時間不會執(zhí)行。卜?面討論在什么條件下會在分紅前瞬間提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)。我們通過比較分紅前瞬間執(zhí)行與不執(zhí)行美式看漲期權(quán)所獲得的收入來說明提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)的條件。如果在分紅前的瞬間提前執(zhí)行，則期權(quán)的價值為S"_K=