特殊Cartan型李超代數(shù)的Borel子代數(shù)

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1、數(shù)學(xué)雜志Vo1．34(2014)J．ofMath．(PRC)NO．6特殊Cartan型李超代數(shù)的Borel子代數(shù)高春艷，劉文德(哈爾濱師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，黑龍江哈爾濱150025)摘要：本文研究了特征零的代數(shù)閉域上秩為4的有限維特殊Cartan型李超代數(shù)S的結(jié)構(gòu)．利用正則元的劃分，確定出關(guān)于典范環(huán)面的所有正根系，從而得到了S的所有Borel子代數(shù)；對(duì)于每一個(gè)正根系，通過給出其單根系，得到了任何兩個(gè)Borel子代數(shù)的連接關(guān)系：最后確定了每一個(gè)Borel子代數(shù)的極大可解性．本文所得結(jié)果可用于進(jìn)一步研究Cartan型單李超代數(shù)的結(jié)構(gòu)與表示．關(guān)鍵詞：特殊Carta

2、n型李超代數(shù)；根系；Borel子代數(shù)；連接MR(2010)主題分類號(hào)：17B05；17B20；17B22中圖分類號(hào)：O151．2文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：0255—7797(2014)06．1170—111引言特征零代數(shù)閉域上有限維單李超代數(shù)分為9族典型李超代數(shù)和4族Cartan型李超代數(shù)W(n)(n3)，s(n)(n4)，日(禮)(禮5)和s(n)(禮4且禮為偶數(shù))【1】．目前，典型單李超代數(shù)的結(jié)構(gòu)與表示理論已經(jīng)比較豐富，但關(guān)于Cartan型李超代數(shù)的研究結(jié)果相對(duì)較少．文【2】定義了素特征域上有限維廣義Cartan型李超代數(shù)，并且討論了它們的單性與限制性．這

3、類模李超代數(shù)在除冪代數(shù)退化為基礎(chǔ)域時(shí)，對(duì)偶于特征零域上Cartan型李超代數(shù)．文『3—5]刻畫了Cartan型李超代數(shù)的有限維不可約表示，并在純奇維數(shù)超流形的張量場(chǎng)上實(shí)現(xiàn)了這些不可約表示，進(jìn)而利用不變微分算子方法給出不可約特征標(biāo)．Serganova在文『6，引理4．11中指出，(n)，(n)，百(rE)的任意兩個(gè)Borel子代數(shù)都可以通過一系列反射連接，這里(禮)，H(n)分別是s(n)，H(n)通過添加次數(shù)導(dǎo)子得到的擴(kuò)張李超代數(shù)．s(3)同構(gòu)于典型李超代數(shù)P(2)，s(4)是最小的特殊Cartan型李超代數(shù)[11．Caftan型李超代數(shù)與李代數(shù)乃至典型李超

4、代數(shù)在結(jié)構(gòu)性質(zhì)上有本質(zhì)區(qū)別．例如，Cartan型李超代數(shù)關(guān)于環(huán)面分解的根未必正負(fù)成對(duì)，根的重?cái)?shù)也未必是1；對(duì)李超代數(shù)，一般按照正根系定義Borel子代數(shù)．這是因?yàn)?，按極大可解子代數(shù)定義的Borel子代數(shù)，從表示論觀點(diǎn)看，顯得過大_7J．李超代數(shù)的Borel子代數(shù)雖是可解的，但未必是極大可解的，Borel子代數(shù)之間未必有共軛關(guān)系(因此本文研究Borel子代數(shù)之間的所謂連接關(guān)系)，等等．受文『6]的啟發(fā)，本文研究最小的特殊Cartan型李超代數(shù)S(4)的Borel子代數(shù)．首先，通過對(duì)正則元分類，得到s(41共有336個(gè)不同的正根系，從而S(4)有336個(gè)不同的B

5、orel子代數(shù)；進(jìn)一步，通過確定每一個(gè)正根系的單根系，得到任何兩個(gè)Borel子代數(shù)的連接關(guān)系．Cartan型李超代數(shù)的Borel子代數(shù)必是可解的，但未必是極大可解的．因此，本文最后確定出每一個(gè)Borel子代數(shù)是否是S(41的極大可解子代數(shù)．收稿日期：2013—11-26接收日期：2014—02—14基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(11171055)；黑龍江省杰m青年基金(JC2010o4)作者簡(jiǎn)介：高春艷(1990一)，女，黑龍江尚志縣，碩上，主要研究方向：李超代數(shù)．通訊作者：劉文德高春艷等：特殊Cartan型李超代數(shù)的Borel子代數(shù)本文約定域F是特征零的代數(shù)

6、閉域，Zz是整數(shù)模2的剩余類加群2基本概念域F上的向量空間，連同它的一個(gè)子空間直和分解V=v00，稱為一個(gè)超空間(Z2一分次空間)，其中，中的元素稱為偶元素，中的元素稱為奇元素．偶、奇元素統(tǒng)稱為zz一齊次元素，并用表示齊次元素的z2一次數(shù)．為簡(jiǎn)便，下文中出現(xiàn)lXl時(shí)總約定z是一個(gè)齊次元素．域F上一個(gè)向量空間稱為F一代數(shù)，如果它有一個(gè)雙線性乘法．一個(gè)Ⅲ'一代數(shù)稱為超代數(shù)，如果作為向量空間它是一個(gè)超空間2【=2【6①2【I，并且滿足2【2【口C。+p，對(duì)于任意的Q，∈Z2．設(shè)L：L60LI是域Ⅲ'上的超代數(shù)，如果它的乘法[一，一]滿足斜超對(duì)稱性和超Jacobi等

7、式，則稱是F上的李超代數(shù)[1】．設(shè)是一個(gè)Z。一分次空間，則的所有線性變換構(gòu)成的向量空間EndV關(guān)于線性變換的乘法是一個(gè)結(jié)合超代數(shù)，其中(EndV)={∈EndVI()c+，∈z2}，∈z2．規(guī)定一個(gè)新運(yùn)算『一，一1：[，Y]=xy一(一1)lIlylyx，，Y∈EndV．容易驗(yàn)證，EndV關(guān)于[_，一]是一個(gè)李超代數(shù)，稱之為一般線性李超代數(shù)，記作g【()．設(shè)2【是一個(gè)超代數(shù)，齊次線性變換D：2【—稱為2【的超導(dǎo)子，若對(duì)于任意的X，Y∈均有D(xy)=D(x)y+(一1)tDIxD(y)．令Derog／與DeriP．1分別表示的偶導(dǎo)子與奇導(dǎo)子構(gòu)成的向量空間，記

8、DerP2=Der0P．／0Derig／，容易驗(yàn)證D