特殊Cartan型李超代數(shù)的Borel子代數(shù)

特殊Cartan型李超代數(shù)的Borel子代數(shù)

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1、數(shù)學(xué)雜志Vo1.34(2014)J.ofMath.(PRC)NO.6特殊Cartan型李超代數(shù)的Borel子代數(shù)高春艷,劉文德(哈爾濱師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,黑龍江哈爾濱150025)摘要:本文研究了特征零的代數(shù)閉域上秩為4的有限維特殊Cartan型李超代數(shù)S的結(jié)構(gòu).利用正則元的劃分,確定出關(guān)于典范環(huán)面的所有正根系,從而得到了S的所有Borel子代數(shù);對于每一個正根系,通過給出其單根系,得到了任何兩個Borel子代數(shù)的連接關(guān)系:最后確定了每一個Borel子代數(shù)的極大可解性.本文所得結(jié)果可用于進一步研究Cartan型單李超代數(shù)的結(jié)構(gòu)與表示.關(guān)鍵詞:特殊Carta

2、n型李超代數(shù);根系;Borel子代數(shù);連接MR(2010)主題分類號:17B05;17B20;17B22中圖分類號:O151.2文獻標(biāo)識碼:A文章編號:0255—7797(2014)06.1170—111引言特征零代數(shù)閉域上有限維單李超代數(shù)分為9族典型李超代數(shù)和4族Cartan型李超代數(shù)W(n)(n3),s(n)(n4),日(禮)(禮5)和s(n)(禮4且禮為偶數(shù))【1】.目前,典型單李超代數(shù)的結(jié)構(gòu)與表示理論已經(jīng)比較豐富,但關(guān)于Cartan型李超代數(shù)的研究結(jié)果相對較少.文【2】定義了素特征域上有限維廣義Cartan型李超代數(shù),并且討論了它們的單性與限制性.這

3、類模李超代數(shù)在除冪代數(shù)退化為基礎(chǔ)域時,對偶于特征零域上Cartan型李超代數(shù).文『3—5]刻畫了Cartan型李超代數(shù)的有限維不可約表示,并在純奇維數(shù)超流形的張量場上實現(xiàn)了這些不可約表示,進而利用不變微分算子方法給出不可約特征標(biāo).Serganova在文『6,引理4.11中指出,(n),(n),百(rE)的任意兩個Borel子代數(shù)都可以通過一系列反射連接,這里(禮),H(n)分別是s(n),H(n)通過添加次數(shù)導(dǎo)子得到的擴張李超代數(shù).s(3)同構(gòu)于典型李超代數(shù)P(2),s(4)是最小的特殊Cartan型李超代數(shù)[11.Caftan型李超代數(shù)與李代數(shù)乃至典型李超

4、代數(shù)在結(jié)構(gòu)性質(zhì)上有本質(zhì)區(qū)別.例如,Cartan型李超代數(shù)關(guān)于環(huán)面分解的根未必正負(fù)成對,根的重數(shù)也未必是1;對李超代數(shù),一般按照正根系定義Borel子代數(shù).這是因為,按極大可解子代數(shù)定義的Borel子代數(shù),從表示論觀點看,顯得過大_7J.李超代數(shù)的Borel子代數(shù)雖是可解的,但未必是極大可解的,Borel子代數(shù)之間未必有共軛關(guān)系(因此本文研究Borel子代數(shù)之間的所謂連接關(guān)系),等等.受文『6]的啟發(fā),本文研究最小的特殊Cartan型李超代數(shù)S(4)的Borel子代數(shù).首先,通過對正則元分類,得到s(41共有336個不同的正根系,從而S(4)有336個不同的B

5、orel子代數(shù);進一步,通過確定每一個正根系的單根系,得到任何兩個Borel子代數(shù)的連接關(guān)系.Cartan型李超代數(shù)的Borel子代數(shù)必是可解的,但未必是極大可解的.因此,本文最后確定出每一個Borel子代數(shù)是否是S(41的極大可解子代數(shù).收稿日期:2013—11-26接收日期:2014—02—14基金項目:國家自然科學(xué)基金(11171055);黑龍江省杰m青年基金(JC2010o4)作者簡介:高春艷(1990一),女,黑龍江尚志縣,碩上,主要研究方向:李超代數(shù).通訊作者:劉文德高春艷等:特殊Cartan型李超代數(shù)的Borel子代數(shù)本文約定域F是特征零的代數(shù)

6、閉域,Zz是整數(shù)模2的剩余類加群2基本概念域F上的向量空間,連同它的一個子空間直和分解V=v00,稱為一個超空間(Z2一分次空間),其中,中的元素稱為偶元素,中的元素稱為奇元素.偶、奇元素統(tǒng)稱為zz一齊次元素,并用表示齊次元素的z2一次數(shù).為簡便,下文中出現(xiàn)lXl時總約定z是一個齊次元素.域F上一個向量空間稱為F一代數(shù),如果它有一個雙線性乘法.一個Ⅲ'一代數(shù)稱為超代數(shù),如果作為向量空間它是一個超空間2【=2【6①2【I,并且滿足2【2【口C。+p,對于任意的Q,∈Z2.設(shè)L:L60LI是域Ⅲ'上的超代數(shù),如果它的乘法[一,一]滿足斜超對稱性和超Jacobi等

7、式,則稱是F上的李超代數(shù)[1】.設(shè)是一個Z。一分次空間,則的所有線性變換構(gòu)成的向量空間EndV關(guān)于線性變換的乘法是一個結(jié)合超代數(shù),其中(EndV)={∈EndVI()c+,∈z2},∈z2.規(guī)定一個新運算『一,一1:[,Y]=xy一(一1)lIlylyx,,Y∈EndV.容易驗證,EndV關(guān)于[_,一]是一個李超代數(shù),稱之為一般線性李超代數(shù),記作g【().設(shè)2【是一個超代數(shù),齊次線性變換D:2【—稱為2【的超導(dǎo)子,若對于任意的X,Y∈均有D(xy)=D(x)y+(一1)tDIxD(y).令Derog/與DeriP.1分別表示的偶導(dǎo)子與奇導(dǎo)子構(gòu)成的向量空間,記

8、DerP2=Der0P./0Derig/,容易驗證D

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