模型19：離散模型

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1、Email:sunyl@swufe.edu.cn數(shù)學(xué)建模第十九講離散模型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與離散模型離散數(shù)：可數(shù)個(gè)有限數(shù)、自然數(shù)……概率統(tǒng)計(jì)：離散型、連續(xù)型模型：差分方程、整數(shù)規(guī)劃、圖論、……知識(shí)：離散數(shù)學(xué)集合、代數(shù)、圖論、邏輯一、層次分析法日常工作、生活中的決策問(wèn)題：多種方案進(jìn)行選擇多個(gè)旅游點(diǎn)的選擇；畢業(yè)生工作選擇；產(chǎn)品發(fā)展方向的選擇；選擇科研課題……比較判斷時(shí)：人的主觀(guān)選擇起相當(dāng)大的作用各因素的重要性難以量化美國(guó)數(shù)學(xué)家T.L.Saaty于1970年代提出層次分析法AHP(AnalyticHierarchyProcess)定性與定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化的分析方法背景1、模型一：旅游地選擇“

2、五·一”出游：三個(gè)旅游點(diǎn)的資料P1景色優(yōu)美；但：旅游熱點(diǎn)，住宿條件較差,費(fèi)用高P2交通方便，住宿條件好，價(jià)錢(qián)不貴；但景點(diǎn)一般P3景點(diǎn)不錯(cuò)，住宿、花費(fèi)都挺好，但：交通不方便選擇哪一個(gè)方案?景點(diǎn)旅游吃住費(fèi)用交通P1P2P3拉薩、九寨、海南、澳洲……目標(biāo)旅游地選擇標(biāo)準(zhǔn)景點(diǎn)、交通、費(fèi)用、條件……方案分析2、基本原理將決策問(wèn)題分為3個(gè)層次：目標(biāo)層O，準(zhǔn)則層C，方案層P；每層有若干元素，各層元素用直線(xiàn)相連重要性：用權(quán)重表示兩兩比較確定各準(zhǔn)則對(duì)目標(biāo)的權(quán)重——重要性百分比各方案對(duì)每一準(zhǔn)則的權(quán)重綜合各組權(quán)重：確定各方案對(duì)目標(biāo)的權(quán)重旅游地選擇景點(diǎn)旅游吃住費(fèi)用交通P1P2P3目標(biāo)層準(zhǔn)則層方案層基本步驟→遞節(jié)

3、層次結(jié)構(gòu)最上層——目標(biāo)層中間層——準(zhǔn)則層最下層——方案層例：景點(diǎn)旅游吃住費(fèi)用交通P1P2P3（1）確定層次準(zhǔn)則1決策目標(biāo)準(zhǔn)則2子準(zhǔn)則層方案1方案2（2）構(gòu)造兩兩比較矩陣定性→量化:兩兩比較C1OCiCjCn某層n個(gè)元素上層元素取元素Ci,Cj比較→量化aij→Ci,Cj對(duì)O的權(quán)重比較下層元素對(duì)上層元素的影響比較尺度:aij1同等3稍強(qiáng)5強(qiáng)7很強(qiáng)9絕對(duì)強(qiáng)中間值2468且aji=1/aji兩兩比較矩陣A=(aij)n×n也稱(chēng)為正互反矩陣。如模型1建立層次分析模型：第二層對(duì)第一層進(jìn)行C52=10次比較例:P1:P2=3P2:P4=2另:可推得:P1:P4=6但:P1:P4=5說(shuō)明什么?景點(diǎn)旅

4、游吃住費(fèi)用交通P1P2P3這一點(diǎn)稱(chēng)為比較判斷矩陣的不一致性理論分析i與j比較j與k比較i與j比較A=(aij)n×n:aij×ajk=aik?一致性矩陣一致性指標(biāo)-------允許范圍否aij×ajk≈aik（3）計(jì)算權(quán)重向量若元素C1,C2,……,Cn對(duì)O的重要性量化比較→權(quán)重令其為(w1,w2,……,wn)則:比較矩陣為C1OCiCjCnA=(aij)n:aij×ajk≈aik反過(guò)來(lái)？由判斷矩陣計(jì)算被比較元素對(duì)于該準(zhǔn)則的相對(duì)權(quán)重進(jìn)行判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)(w1,w2,……,wn)當(dāng)A=(aij)n：一致權(quán)重向量：W=(w1,w2,……,wn)T則：近似有于是得:計(jì)算權(quán)向量方法特點(diǎn):

5、1、R(A)=1,?=n2、AW特征值、向量定義=nW計(jì)算權(quán)向量方法特征根法求A的最大正特征根?求A的對(duì)應(yīng)于?的特征向量(w1,w2,……,wn)Matlab命令:[V,D]=eig（A）sum模型一l01.mMatlab得:λ=4.2137W=[0.49690.25130.13860.1132]景色吃住費(fèi)用交通另有近似算法：和法將A的每一列向量歸一化c將bij按行求和得將ci歸一化得W=(w1,w2,……,wn)最大特征值當(dāng)A’不一致時(shí),?>n記A’=A+?,則由A’W=?W或AW+?W=nW+(?-n)W即:當(dāng)(?-n)很小時(shí),A’與A的不一致誤差很小于是有:（4）一致性檢驗(yàn)N34

6、56789RI0.580.901.121.241.321.411.45當(dāng)CR<0.1時(shí),通過(guò)一致性檢驗(yàn)一致性指標(biāo)CI=(?-n)/(n-1)隨機(jī)一致性指標(biāo)RI表一致性比率CR=CI/RI模型一一致性檢驗(yàn)CIA=(?-n)/(n-1)=0.0712；RIA=0.9CRA=CI/RI=0.0791<0.1通過(guò)一致性檢驗(yàn)即:此家庭對(duì)景吃費(fèi)行的權(quán)重為0.49690.25130.13860.1132λ=4.2137W=[0.49690.25130.13860.1132]T景點(diǎn)旅游吃住費(fèi)用交通P1P2P3（5）組合權(quán)向量及一致性檢驗(yàn)計(jì)算各層元素對(duì)于系統(tǒng)目標(biāo)的總排序權(quán)重,并進(jìn)行排序組合權(quán)向量:底層→

7、頂層權(quán)準(zhǔn)則1決策目標(biāo)準(zhǔn)則2子準(zhǔn)則層方案1方案2W(2)W1(3),W2(3)……Wn(3)W(3)方案對(duì)決策的權(quán)重求組合權(quán)向量方法用第i層權(quán)重向量準(zhǔn)則1決策準(zhǔn)則2方案1方案2準(zhǔn)則s方案nii-1i+1第i+1層對(duì)i－1層的組合權(quán)向量W(2)W1(3),W2(3)……Wn(3)W(3)對(duì)下層權(quán)重向量加權(quán)平均求組合權(quán)向量方法準(zhǔn)則1決策準(zhǔn)則2方案1方案2準(zhǔn)則s方案n2層對(duì)1層:W(2)歸一化3層對(duì)2層:W1(3),W2(3)……Wn(3)→矩陣X(3