一維及二維期望計(jì)算

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1、概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件天津科技大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系第十二單元隨機(jī)變量的數(shù)字特征第十二單元隨機(jī)變量的數(shù)字特征總結(jié)教學(xué)目的：掌握隨機(jī)變量的數(shù)字特征，了解切比雪夫不等式和大數(shù)定律.教學(xué)重點(diǎn)：理解數(shù)學(xué)期望和訪查的概念，掌握它們的性質(zhì)與計(jì)算，記住常用分布的數(shù)學(xué)期望和方差.教學(xué)難點(diǎn)：隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.知識(shí)要點(diǎn)回顧：隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望(離散型，連續(xù)型).隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.二維隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì).隨機(jī)變量的方差(離散型，連續(xù)型).方差的性質(zhì).隨機(jī)變量的階原點(diǎn)矩.隨機(jī)變量的階中心矩.隨機(jī)變量與的協(xié)方差及其性質(zhì)隨機(jī)變量與的相關(guān)系數(shù)及其性質(zhì)切比雪夫不等式

2、，切比雪夫定理，伯努利定理.隨機(jī)變量的數(shù)字特征典型例題1.已知隨機(jī)變量的概率分布為求.解答0.30.40.310-22.設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度求.解答3.填空(1)已知，則.(2)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,又,則.(3)設(shè)獨(dú)立且同分布，則.(4)隨機(jī)變量的方差為2，則根據(jù)切比雪夫不等式，估計(jì)解答4.一臺(tái)設(shè)備有三大部件構(gòu)成，在設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)中各部件需要調(diào)整的概率相應(yīng)為0.1，0.2，0.3，假設(shè)各部件相互獨(dú)立，以表示同時(shí)需要調(diào)整的部件數(shù)，求數(shù)學(xué)期望和方差.解答下一頁甲乙兩隊(duì)比賽，若有一隊(duì)先勝四場(chǎng)，則比賽結(jié)束。假定甲隊(duì)在每場(chǎng)比賽中獲勝的概率為0.6，乙隊(duì)為0.4，求比賽場(chǎng)數(shù)的

3、數(shù)學(xué)期望。解答6.設(shè)隨機(jī)變量服從分布，其概率密度，其中是常數(shù)，求.解答7.設(shè)在區(qū)域上服從均勻分布，求解答8.計(jì)算下列各題(1)設(shè)與相互獨(dú)立，，求(2)設(shè)與相互獨(dú)立，其數(shù)學(xué)期望與方差均為已知值，求解答9.設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度，試問：(1)與是否相互獨(dú)立？(2)是否相關(guān)？解答總結(jié)上一頁隨機(jī)變量的數(shù)字特征典型例題解答返回1.已知隨機(jī)變量的概率分布為求.0.30.40.310-2解:注：計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望原則上有兩種方法：一種是先求出隨機(jī)變量的概率分布或概率密度，再按數(shù)學(xué)期望的定義計(jì)算；一種是直接帶入要點(diǎn)2種所列的公式。通常用后一種方法較簡(jiǎn)便。2.設(shè)二維隨

4、機(jī)變量的概率密度求.隨機(jī)變量的數(shù)字特征典型例題解答下一頁解:所以按對(duì)稱性，有注：二維隨機(jī)變量的許多計(jì)算都可歸結(jié)為計(jì)算二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，所以要點(diǎn)3所列公式應(yīng)會(huì)靈活應(yīng)用。返回返回隨機(jī)變量的數(shù)字特征典型例題解答3.填空(1)已知，則.(2)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,又,則.(3)設(shè)獨(dú)立且同分布，則.(4)隨機(jī)變量的方差為2，則根據(jù)切比雪夫不等式，估計(jì)解：(1)(2)(3)或(4)隨機(jī)變量的數(shù)字特征典型例題解答返回4.一臺(tái)設(shè)備有三大部件構(gòu)成，在設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)中各部件需要調(diào)整的概率相應(yīng)為0.1，0.2，0.3，假設(shè)各部件相互獨(dú)立，以表示同時(shí)需要調(diào)整的部件數(shù)，求數(shù)學(xué)期望和方差

5、.解：由服從“0-1”分布，得則注：利用性質(zhì)來計(jì)算數(shù)學(xué)期望和方差往往較有效，應(yīng)該學(xué)會(huì)這種方法。另外，應(yīng)記住常用分布相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望和方差。分析：先引入新隨機(jī)變量，則相互獨(dú)立，再利用.隨機(jī)變量的數(shù)字特征典型例題解答返回5.甲乙兩隊(duì)比賽，若有一隊(duì)先勝四場(chǎng)，則比賽結(jié)束。假定甲隊(duì)在每場(chǎng)比賽中獲勝的概率為0.6，乙隊(duì)為0.4，求比賽場(chǎng)數(shù)的數(shù)學(xué)期望。解：（場(chǎng)）注：對(duì)應(yīng)用題而言，大量計(jì)算是計(jì)算概率，這就要求掌握好以前所學(xué)過的各種計(jì)算概率的方法。隨機(jī)變量的數(shù)字特征典型例題解答返回6.設(shè)隨機(jī)變量服從分布，其概率密度，其中是常數(shù)，求.解：又故隨機(jī)變量的數(shù)字特征典型例題解答返回7.設(shè)

6、在區(qū)域上服從均勻分布，求解：注：二維隨機(jī)變量服從均勻分布也是常見的情形?？梢宰匀坏耐茝V到n維隨機(jī)變量服從均勻分布，其聯(lián)合概率密度寫法是類似的。隨機(jī)變量的數(shù)字特征典型例題解答返回8.計(jì)算下列各題(1)設(shè)與相互獨(dú)立，，求(2)設(shè)與相互獨(dú)立，其數(shù)學(xué)期望與方差均為已知值，求解：(1)(2)隨機(jī)變量的數(shù)字特征典型例題解答下一頁9.設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度，試問：(1)與是否相互獨(dú)立？(2)是否相關(guān)？解：(1)的邊際概率密度分別為由于，所以與不相互獨(dú)立。(2)（利用奇函數(shù)性質(zhì)）所以，與不相關(guān)。返回總結(jié)隨機(jī)變量的分布函數(shù)完整的描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征，但在實(shí)際中要找出隨機(jī)變量

7、的分布函數(shù)，或概率分布、概率密度，有時(shí)是十分困難的。而許多實(shí)際問題只需要知道隨機(jī)變量的某些特征數(shù)字就可以了。這說明掌握特征數(shù)字、即數(shù)學(xué)期望、方差等等的概念、計(jì)算及相關(guān)計(jì)算是十分重要的。學(xué)習(xí)隨機(jī)變量的數(shù)字特征，要求理解數(shù)學(xué)期望與方差的定義，掌握它們的性質(zhì)與計(jì)算；理解獨(dú)立于相關(guān)的概念；會(huì)求協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)；了解高階矩的概念；了解切比雪夫不等式與大數(shù)定律。