希爾伯特變換和解析過程

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1、主要內(nèi)容3.1線性系統(tǒng)基本理論3.2隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析3.3隨機(jī)信號(hào)通過離散時(shí)間系統(tǒng)的分析3.4白噪聲通過線性系統(tǒng)和等效噪聲帶寬3.5希爾伯特變換和解析過程3.6窄帶隨機(jī)過程表示方法3.7窄帶隨機(jī)過程包絡(luò)和相位的特性3.8正弦信號(hào)與窄帶SP之和的包絡(luò)和相位的特性1希爾伯特變換，其希爾伯特設(shè)有一個(gè)實(shí)值函數(shù)（或記作）變換記作反變換為希爾伯特7/16/202127/16/202137/16/20214希爾伯特變換←→正交濾波器由可知，的希爾伯特變換看成是：將通過一個(gè)具有沖擊響應(yīng)為的線性濾波器（時(shí)

2、不變系統(tǒng)）。7/16/202147/16/20215希爾伯特變換的沖擊響應(yīng)及傳遞函數(shù)證明：由對(duì)稱性性質(zhì)可知，若，則因?yàn)椋哉淼茫?/16/202157/16/20216正交濾波器的傳輸函數(shù)7/16/202167/16/20217希爾伯特逆變換為希爾伯特逆變換的單位沖擊響應(yīng)。證明：若輸入信號(hào)為通過一個(gè)濾波器輸出為顯然有所以反變換7/16/202177/16/202187/16/20219可見，若x(t)若為t的偶函數(shù)，則為t的奇函數(shù)。同理，可見，若x(t)若為t的奇函數(shù)，則為t的偶函數(shù)。7/16/2

3、021107/16/2021111.的希爾伯特變換為。連續(xù)兩次希爾伯特變換相當(dāng)于連續(xù)兩次90度相移，正好180度相反。希爾伯特變換的性質(zhì)7/16/2021127/16/2021137/16/2021142解析過程及其性質(zhì)定義任一實(shí)隨機(jī)過程，是的希爾伯特變換,即復(fù)隨機(jī)過程定義為為實(shí)隨機(jī)過程的復(fù)解析過程，簡(jiǎn)稱解析過程。7/16/202115解析過程的性質(zhì)（1）若為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程，則也是實(shí)隨機(jī)平穩(wěn)過程，且聯(lián)合平穩(wěn)。因?yàn)橄柌刈儞Q是線性變換，線性系統(tǒng)輸入為平穩(wěn)過程，輸出也為平穩(wěn)過程，且聯(lián)合平穩(wěn)。7/16/2

4、02116（2）實(shí)函數(shù)與其希爾伯特變換的相關(guān)函數(shù)和功率譜相同經(jīng)傅里葉反變換，得7/16/202117（3）代入令將7/16/202118（4）7/16/202119（5）令并作變量替換希爾伯特變換與它的原實(shí)過程之間的互相關(guān)函數(shù)為奇函數(shù)7/16/202120（6）表明在同一個(gè)時(shí)刻t，隨機(jī)變量和正交，即注意，上式并不意味著和兩個(gè)隨機(jī)過程正交。7/16/202121（7）7/16/202122（8）由性質(zhì)（3）可知，兩邊取傅里葉變換7/16/202123（9）由性質(zhì)（7）可知，兩邊取傅里葉變換解析過程的功率

5、譜密度只存在于正頻率，即它具有單邊功率譜密度，其強(qiáng)度等于原來實(shí)過程功率譜密度強(qiáng)度的4倍。7/16/2021244017/16/2021257/16/202126將解析信號(hào)表達(dá)式進(jìn)行變換：而式中：是頻域的單位階躍函數(shù)，因此如果是平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，則解析信號(hào)是隨機(jī)的，其頻譜為：解析信號(hào)本質(zhì)是原信號(hào)的正頻率部分，為原信號(hào)頻譜正頻域分量的兩倍。它是實(shí)信號(hào)的一種“簡(jiǎn)潔”形式。研究解析信號(hào)的意義7/16/2021267/16/202127實(shí)連續(xù)信號(hào)的包絡(luò)、瞬時(shí)相位、瞬時(shí)頻率包絡(luò)，瞬時(shí)振幅瞬時(shí)相位瞬時(shí)頻率7/16/20

6、21277/16/202128Matlab實(shí)例clc;clearall;n=0:1:50;a=0.1;x=exp(-a.*n).*sin(2*pi*0.4375.*n)%信x的表達(dá)式y(tǒng)=hilbert(x);z=x+j*y;rz=real(z);iz=imag(z);A=sqrt(abs(x).^2+abs(y).^2);%求信號(hào)x的包絡(luò)，瞬時(shí)振幅subplot(2,2,1);plot(x);title(信號(hào)x(t)')subplot(2,2,2);plot(A);title(‘信號(hào)x(t)的包絡(luò)')

7、thet=atan(iz./rz);%求信號(hào)x的瞬時(shí)相位subplot(2,2,3);plot(thet);title(‘信號(hào)x(t)的瞬時(shí)相位’)7/16/2021287/16/2021297/16/202129例設(shè)低頻信號(hào)的頻譜為證明：當(dāng)時(shí)，滿足7/16/202130設(shè)證其頻譜為：其希爾伯特變換的頻譜密度為：同理可證：7/16/202131