【數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)】【畢業(yè)論文+文獻綜述+開題報告】凸集的性質及其應用

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1、（20__屆）本科畢業(yè)論文凸集的性質及其應用摘要：本文首先介紹了凸集理論的研究背景和意義，然后給出了一般線性空間下凸集的定義及幾個定義等價性的充要條件，探討了凸集的Minkowski泛函的性質和一些幾何性質，并給出了這些性質的詳細證明，同時利用凸集的性質和相關理論證明了常微分方程初值問題解的存在性定理．除此之外，我們還結合一些實際問題的數(shù)學模型，探討了凸集理論在數(shù)學規(guī)劃問題上的應用．關鍵詞：凸集；泛函分析；線性空間；常微分方程ThePropertiesandApplicationsofConvexSetsAbstract:Inthispaper,wein

2、troducetheresearchrackgroundandmeaningofconvexsettheory．Meanwhile,wesummarizetheequivalentrelationsofseveraldefinitionsforconvexsetsinthelinearspace,anddiscussestheirminkowskifunctionalandgeometricproperties,aswellasthedetailproofoftheseproperties.Furthermore,byusingtheproperties

3、ofconvexsetandcorrelationtheory,weprooftheexistencetheoremofsolutionsofinitialvalueprobleminordinarydifferentialequations.Besides,bycombiningsomemathematicalmodelofpracticalproblem,wedisscusstheapplicationsofconvexsettheoryinmathematicalprogrammingproblem．Keywords:convexset；funct

4、ionalanalysis；linearspace；ordinarydifferentialequation目錄1緒論11．1凸集的背景11．2凸集的意義22凸集的定義42．1凸集的一般定義42．2　凸集定義的幾個等價性充要條件53凸集的性質73．1一般線性空間下Minkowski泛函的性質73．2線性賦范空間下的結論83．3凸集的一些幾何性質104凸集理論的相關應用124．1Brouwer與Schauder不動點定理124．2利用不動點定理證明常微分方程初值問題解的存在性定理144．3凸集在平面幾何中的應用15結束語17致謝18參考文獻191緒論　　1

5、．1凸集的背景凸集的產生與分析學有著密切的聯(lián)系.分析學包括微分方程、無窮級數(shù)、微分幾何、函數(shù)論、積分方程、變分法、泛函分析等數(shù)學分支，這些學科的總稱也常常叫做數(shù)學分析，有時被用作是微積分的同義語.可以說，17世紀到19世紀上半葉的數(shù)學史，幾乎就是數(shù)學分析的歷史.17世紀由牛頓和萊布尼茨創(chuàng)立的微積分，為數(shù)學的研究提供了強有力的工具，此后的大部分數(shù)學家的注意力，都被這有著無限發(fā)展前途的學科所吸引，開始謀求用微積分這一有力的工具去解決愈來愈多的物理問題，但他們很快發(fā)現(xiàn)不得不去對付一類新的更復雜的問題，這類問題不能通過簡單的積分解決，要解決這類問題需要專門的技術

6、，這樣，微分方程這門學科就應運而生了.作為對一門新的數(shù)學分支的探索，伯努利家族的貢獻尤為突出.在1691年到1692年之間他們先后解決了懸掛著的變密度非彈性軟繩、等厚度的彈性繩以及在每一點上的作用力都指向一個固定中心的細繩所成形狀的問題.在解決這些問題的過程中，他們總結出了解微分方程的變量分離法，還提出了著名的伯努利方程.到了18世紀，歐拉在前人的基礎上做了大量的工作，從而使微分方程形成自身獨特的理論體系.之后法國數(shù)學家達朗貝爾將其方法加以整理，給出了求非其次線性微分方程的通解的一般方法；另一位法國數(shù)學家拉格朗日則又得出了通過變易常數(shù)求變系數(shù)常微分方程特

7、解的方法，這些方法都是現(xiàn)今求微分方程的有效方法.18世紀后期不斷出現(xiàn)的特殊的微分方程的求解問題，使數(shù)學家逐漸招架不住了，于是轉向對解的存在性問題的思考，即給定一個微分方程，它在給定的初始條件和邊界條件下是否有解？在這個過程中，許多著名的數(shù)學家、力學家開展了大量的研究工作，如柯西、利普西茨、皮卡、施圖姆、劉維爾等人.特別是法國數(shù)學家龐加萊使微分方程與函數(shù)論建立了密切的聯(lián)系，從而產生了微分方程的解析理論.雖然18世紀數(shù)學分析的發(fā)展已經(jīng)達到空前燦爛的程度，然而數(shù)學家們在運用微積分方法的過程中并沒能使無窮小這一概念的本質得到澄清，這就導致了微積分學理論缺乏嚴密的

8、理論基礎.進入19世紀，捷克數(shù)學家波爾查諾、法國數(shù)學家柯西、德國數(shù)學家魏爾斯特拉