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1、第五節(jié)可降階的二階微分方程一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程四、可降階二階微分方程的應(yīng)用舉例一、型的微分方程解法特點右端僅含有自變量x,只要積分二次即得通解.例1解逐次積分的解法可用于解高階微分方程積分n次即得含n個獨(dú)立任意常數(shù)的通解.解解據(jù)題意有對方程兩邊積分,得例3質(zhì)量為m的質(zhì)點受力F的作用沿ox軸作直線運(yùn)動,設(shè)力F僅是時間t的函數(shù):F=F(t).在開始時刻t=0時F(0)=F0,隨著時間的增大,此力F均勻地減小,直到t=T時F(T)=0.若開始時質(zhì)點在原點,且初速度為0,求質(zhì)點的運(yùn)動規(guī)律.利用初始條件于是兩邊再積分得再利用故所求質(zhì)點運(yùn)動規(guī)律為二、型的微分方程特
2、點：解法：代入原方程,化為關(guān)于變量x,P的一階微分方程關(guān)于p(x)的一階方程設(shè)其通解為即再次積分,得原方程的通解解代入原方程,得解線性方程,得兩端積分,得原方程通解為例1解代入原方程,得解線性方程,得兩端積分,得原方程通解為例2解代入原方程,得解線性方程,得例3兩端積分,得原方程通解為故所求原方程的解為:三、型的微分方程特點：解法：代入原方程,化為關(guān)于p(y)的一階微分方程設(shè)其通解為即分離變量后積分,得原方程的通解解代入原方程得故原方程通解為例1即解2從而通解為例1解3原方程變?yōu)閮蛇叿e分,得原方程通解為例2解代入原方程得故原方程通解為解2將方程寫成積分后得通解例2解代入原方程得故
3、曲線方程為例解令代入方程得積分得即解例4解初值問題令代入方程得積分得即利用初始條件,根據(jù)積分得故所求特解為得四、小結(jié)可降階微分方程的解法——降階法逐次積分令令思考:1.方程如何代換求解?答:令或一般說,用前者方便些.均可.有時用后者方便.例如：2.解二階可降階微分方程初值問題需注意哪些問題?答:(1)一般情況,邊解邊定常數(shù)計算簡便.(2)遇到開平方時,要根據(jù)題意確定正負(fù)號.練習(xí)題練習(xí)題答案
