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1、2.1合情推理與演繹推理2.1.1類比推理冷水江市一中孫祝梧復(fù)習(xí)2.歸納推理的一般步驟:(1)通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì);(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達(dá)的一般性命題(猜想).1.什么是歸納推理?部分 整體特殊一般從一個傳說說起：春秋時代魯國的公輸班（后人稱魯班，被認(rèn)為是木匠業(yè)的祖師）一次去林中砍樹時被一株齒形的茅草割破了手，這樁倒霉事卻使他發(fā)明了鋸子.他的思路是這樣的：茅草是齒形的；茅草能割破手.我需要一種能割斷木頭的工具；它也可以是齒形的.這個推理過程是歸納推理嗎？試根據(jù)等式的性質(zhì)猜
2、想不等式的性質(zhì)。等式的性質(zhì)：(1)a=b?a+c=b+c;(2)a=b?ac=bc;(3)a=b?a2=b2;等等。猜想不等式的性質(zhì)：(1)a＞b?a+c＞b+c;(2)a＞b?ac＞bc;(3)a＞b?a2＞b2;等等。問：這樣猜想出的結(jié)論是否一定正確？火星地球相似點(diǎn):繞太陽運(yùn)轉(zhuǎn)、繞軸自轉(zhuǎn)、有大氣層、有季節(jié)變換、大部分時間的溫度適合地球上的某些已知生物的生存等。地球上有生命火星上可能有生命猜想火星上是否有生命？相似點(diǎn):由兩類對象具有某些類似特征，和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的
3、推理稱為類比推理（簡稱類比）．類比推理的定義:簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理．發(fā)明行星三大運(yùn)動定律的開普勒曾說類比推理是「自然奧妙的參與者」和自己「最好的老師」數(shù)學(xué)家波利亞曾指出“類比是一個偉大的引路人,求解立體幾何往往有賴于平面幾何的類比問題.”類比推理的特點(diǎn);1.類比是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性,推測正在研究的事物的屬性,是以舊有的認(rèn)識為基礎(chǔ),類比出新的結(jié)果.2.類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的特殊屬性.3.類比的結(jié)果是猜測性的不一定可靠,但它卻有發(fā)現(xiàn)的功能.類比推理的一般步驟:觀察、
4、比較聯(lián)想、類推猜想新結(jié)論類比推理的一般步驟：⑴找出兩類對象之間可以確切表述的相似性（或一致性）；⑵用一類對象的性質(zhì)去推測另一類對象的性質(zhì)，從而得出一個猜想；⑶檢驗猜想。例1、試將平面上的圓與空間的球進(jìn)行類比.圓的定義：平面內(nèi)到一個定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合.球的定義：到一個定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合.圓弦直徑周長面積球截面圓大圓表面積體積圓的概念和性質(zhì)球的概念和性質(zhì)與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距離不相等的兩弦不相等,距圓心較近的弦較長以點(diǎn)(x0,y0)為圓心,r為半徑的圓的方程為(x-x0)2+(y-
5、y0)2=r2圓心與弦(非直徑)中點(diǎn)的連線垂直于弦球心與不過球心的截面(圓面)的圓心的連線垂直于截面與球心距離相等的兩截面面積相等與球心距離不相等的兩截面面積不相等,距球心較近的面積較大以點(diǎn)(x0,y0,z0)為球心,r為半徑的球的方程為(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2利用圓的性質(zhì)類比得出球的性質(zhì)球的體積球的表面積圓的周長圓的面積例2類比實數(shù)的加法和乘法,列出它們相似的運(yùn)算性質(zhì).類比角度實數(shù)的加法實數(shù)的乘法運(yùn)算結(jié)果若a,b∈R,則a+b∈R運(yùn)算律(交換律和結(jié)合律)a+b=b+a(a+b)
6、+c=a+(b+c)逆運(yùn)算加法的逆運(yùn)算是減法,使得方程a+x=0有唯一解x=-a單位元a+0=a若a,b∈R,則ab∈Rab=ba(ab)c=a(bc)乘法的逆運(yùn)算是除法,使得ax=1有唯一解x=1/aa·1=a通過例1，例2你能得到類比推理的一般模式嗎？類比推理的一般模式:所以B類事物可能具有性質(zhì)d’.A類事物具有性質(zhì)a,b,c,d,B類事物具有性質(zhì)a’,b’,c’,(a,b,c與a’,b’,c’相似或相同）類比推理舉例構(gòu)成幾何體的元素數(shù)目：四面體三角形例3類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,試給出空間 中四
7、面體性質(zhì)的猜想．直角三角形3個面兩兩垂直的四面體∠C＝90°3個邊的長度a，b，c2條直角邊a，b和1條斜邊c∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°4個面的面積S1，S2，S3和S3個“直角面”S1，S2，S3和1個“斜面”S例3類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,試 給出空間中四面體性質(zhì)的猜想．例4由圖(1)有面積關(guān)系:則由圖(2)有體積關(guān)系:圖(1)圖(2)例5.在平面上,設(shè)ha,hb,hc是三角形ABC三條邊上的高.P為三角形內(nèi)任一點(diǎn),P到相應(yīng)三邊的距離分別為pa,pb,pc,我們可以得到結(jié)論:試通過類比,
8、寫出在空間中的類似結(jié)論.平面上空間中圖形結(jié)論ABCPpapbpcABCDP合情推理歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理。通俗地說，合情推理是指“合乎情理”的推理。合情推理的應(yīng)用數(shù)學(xué)研究中，得到一個新結(jié)論之前，合情推理常常能幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論。證明一個數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向作業(yè):善于觀察勤
