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1、中國人民大學(xué)附屬中學(xué)2.1.1合情推理（類比推理）（一）類比推理在學(xué)習(xí)空間向量時(shí)，我們是這樣推測(cè)空間向量的基本定理的：由于平面向量與空間向量都是既有大小又有方向的量，并且兩者具有類似(或一致)的運(yùn)算性質(zhì)(如都具有加法的交換律和結(jié)合律等)，因此根據(jù)平面向量的基本定理，我們推測(cè)空間向量也具有類似的性質(zhì)：如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)于空間任一向量，存在一個(gè)惟一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使這種根據(jù)兩類不同事物之間具有某些類似（或一致）性，推測(cè)其中一類事物具有與另一類事物類似（或相同）的性質(zhì)的推理，叫做類比推理（簡(jiǎn)稱類比），類比屬于合情
2、推理。下面我們通過一個(gè)例子來得出類比的一般步驟。三角形與四面體有如下類似的性質(zhì)：（1）三角形是平面內(nèi)由直線段所圍成的最簡(jiǎn)單的封閉圖形；四面體是空間由平面所圍成的最簡(jiǎn)單的封閉圖形；（2）三角形可以看作平面上一條線段外一點(diǎn)與這條線段上各點(diǎn)連線所形成的圖形；四面體可以看作三角形所在平面外一點(diǎn)與這個(gè)三角形上各點(diǎn)連線所形成的圖形。根據(jù)三角形的性質(zhì)，可以推測(cè)空間四面體的性質(zhì)如下：三角形四面體三角形兩邊之和大于第三邊.四面體任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積根據(jù)三角形的性質(zhì)，可以推測(cè)空間四面體的性質(zhì)如下：三角形四面體三角形兩邊之和大
3、于第三邊.四面體任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積三角形三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，且這個(gè)點(diǎn)是三角形內(nèi)切圓的圓心。四面體的六個(gè)二面角的平分面交于一點(diǎn)，且這個(gè)點(diǎn)是四面體的內(nèi)切球的球心。根據(jù)三角形的性質(zhì)，可以推測(cè)空間四面體的性質(zhì)如下：三角形四面體三角形兩邊之和大于第三邊.四面體任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積三角形三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，且這個(gè)點(diǎn)是三角形內(nèi)切圓的圓心。四面體的六個(gè)二面角的平分面交于一點(diǎn)，且這個(gè)點(diǎn)是四面體的內(nèi)切球的球心。三角形的中位線等于第三邊的一半，且平行于第三邊。四面體的中截面（以任意三條棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)
4、的三角形）的面積等于第四個(gè)面的面積的一半，且平行于第四個(gè)面。一般地，如果類比的相似性越多，相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間越相關(guān)，那么類比得出的命題就越可能為真。例1．找出圓與球的相似性質(zhì)，并用圓的下列性質(zhì)類比球的有關(guān)性質(zhì)：（1）圓心與弦(非直徑)中點(diǎn)的連線垂直于弦；（2）與圓心距離相等的兩弦相等；（3）圓的周長(zhǎng)C=πd（d是直徑）；（4）圓的面積S=πr2.解：圓與球有下列相似的性質(zhì)：（1）圓是平面上到一定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合；球面是空間中到一定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合；（2）圓是平面內(nèi)封閉的曲線所圍成的對(duì)
5、稱圖形；球是空間中封閉曲面是圍成的對(duì)稱圖形。通過與圓的有關(guān)性質(zhì)類比，可以推測(cè)求的有關(guān)性質(zhì)：圓球圓心與弦（非直徑）中點(diǎn)的連線垂直于弦球心與截面圓（不經(jīng)過球心的小截面圓）圓心的連線垂直于截面圓球圓心與弦（非直徑）中點(diǎn)的連線垂直于弦球心與截面圓（不經(jīng)過球心的小截面圓）圓心的連線垂直于截面與圓心距離相等的兩弦相等與球心距離相等的兩個(gè)截面圓的面積相等圓球圓心與弦（非直徑）中點(diǎn)的連線垂直于弦球心與截面圓（不經(jīng)過球心的小截面圓）圓心的連線垂直于截面與圓心距離相等的兩弦相等與球心距離相等的兩個(gè)截面圓的面積相等圓的周長(zhǎng)C=πd球的表面積S=
6、πd2圓球圓心與弦（非直徑）中點(diǎn)的連線垂直于弦球心與截面圓（不經(jīng)過球心的小截面圓）圓心的連線垂直于截面與圓心距離相等的兩弦相等與球心距離相等的兩個(gè)截面圓的面積相等圓的周長(zhǎng)C=πd球的表面積S=πd2圓的面積S=πr2球的體積V=πr3其中前三個(gè)類比得到的結(jié)論是正確的，最后一個(gè)猜測(cè)則是錯(cuò)誤的。由此可見，類比的結(jié)論值具有或然性，即可能真，也可能假。雖然有類比所得到的結(jié)論未必是正確的，但它所具有的有特殊到特殊的認(rèn)識(shí)功能，等于發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律和事實(shí)卻是十分有用的。例2．試根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì)等式的性質(zhì)：猜想不等式的性質(zhì)：(1
7、)a=b?a+c=b+c;(1)a＞b?a+c＞b+c;(2)a=b?ac=bc;(2)a＞b?ac＞bc;(3)a=b?a2=b2;等等(3)a＞b?a2＞b2;等等問：這樣猜想出的結(jié)論是否一定正確？答：(1)對(duì)；(2),(3)不對(duì)。（二）類比推理的一般步驟：(1)找出兩類對(duì)象之間可以確切表述的相似特征；(2)用一類對(duì)象的已知特征去推測(cè)另一類對(duì)象的特征，從而得出一個(gè)猜想；(3)檢驗(yàn)猜想。觀察、比較聯(lián)想、類推猜想新結(jié)論
