第三章 序列算子與灰色序列生成

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1、第三章序列算子與灰色序列生成3.1引言灰色系統(tǒng)理論的主要任務之一，就是根據社會、經濟、生態(tài)等系統(tǒng)的行為特征數據，尋找不同系統(tǒng)變量之間或某些系統(tǒng)變量自身的數學關系與變化規(guī)律?；疑到y(tǒng)理論認為任何隨機過程都是在一定幅值范圍和一定時區(qū)內變化的灰色量，并把隨機過程看成灰色過程。事實上，研究系統(tǒng)的行為特征，得到的數據往往是一串確定的白數，我們把它看成是某個隨機過程的一條軌道或現實，或是看成灰色過程的白化值，這并沒有本質上的區(qū)別。如何通過系統(tǒng)行為特征數據研究其發(fā)展規(guī)律，不同的方法思路也不一樣。隨機過程是以先驗概率為出發(fā)點，研究數據的統(tǒng)計規(guī)律。這種方法是建立在大量數據的基礎上的。但有時候，即使

2、有了大量的數據也未必一定能找到統(tǒng)計規(guī)律。因為概率論或隨機過程中研究的典型分布是十分有限的，對于非典型的分布過程（如平穩(wěn)過程、高斯過程、馬爾可夫過程或白噪聲過程等以外的分布過程），往往難以處理?；疑到y(tǒng)是通過對原始數據的挖掘、整理來尋求其變化規(guī)律的，這是一種就數據尋找數據的現實規(guī)律的途徑，我們稱為灰色序列生成?；疑到y(tǒng)理論認為，盡管客觀系統(tǒng)表象復雜，數據離亂，但它總是有整體功能的，因此必然蘊含某種內在規(guī)律。關鍵在于如何選擇適當的方式去挖掘它和利用它。一切灰色序列都能通過某種生成弱化其隨機性，顯現其規(guī)律性。例如，已給原始數據數列它沒有明顯的規(guī)律性。將上述數據作圖如下：xx3X=X(0

3、)6X=X(1)2412001234k1234k圖3.1.1圖3.1.2由圖3.1.1可以看出，的曲線是擺動的，起伏變化幅度較大。對原始數據做一次累加生成，將所得新序列記為，則已呈現明顯的增長規(guī)律性，如圖3.1.2所示。3.2沖擊擾動系統(tǒng)與序列算子一、沖擊擾動系統(tǒng)預測陷阱沖擊擾動系統(tǒng)預測是一個歷來令預測專家棘手的問題。對于沖擊擾動系統(tǒng)預測，模型選擇理論也將失去其應有的功效。因為問題的癥結不在模型的優(yōu)劣，而是由于系統(tǒng)行為數據因系統(tǒng)本身受到某種沖擊波的干擾而失真。這時候，系統(tǒng)行為數據已不能正確地反映系統(tǒng)的真實變化規(guī)律。定義3.2.1設為系統(tǒng)真實行為序列，而觀測到的系統(tǒng)行為數據序列為X

4、=(x(1),x(2),…,x(n))=(x(0)(1)+ε1,x(0)(2)+ε2,…,x(0)(n)+εn)=X(0)+ε其中ε=（ε1，ε2，…,εn）為沖擊擾動項，則稱X為沖擊擾動序列。要從沖擊擾動序列X出發(fā)實現對真實行為序列為X(0)的系統(tǒng)之變化規(guī)律的正確把握和認識，必須首先跨越障礙ε。如果不事先排除干擾，而用失真的數據X直接建模、預測，則會因模型所描述的并非由X(0)所反映的系統(tǒng)真實變化規(guī)律而導致預測的失敗。沖擊擾動系統(tǒng)的大量存在導致了定量預測結果與人們直觀的定性分析結論大相徑庭的現象經常發(fā)生。因此，尋求定量預測與定性分析的結合點，設法排除系統(tǒng)行為數據所受到的沖擊波干

5、擾，還數據以本來面目，從而提高預測的命中率，乃是擺在每一位預測工作者面前的一個首要問題。本節(jié)的討論圍繞一個總目標：由X→X(0)展開。一、緩沖算子公理定義3.2.2設系統(tǒng)行為數據序列為X=(x(1),x(2),…,x(n)),1。若"k=2,3,…,n,x(k)x(k1)>0,則稱X為單調增長序列；2。若1。中不等號反過來成立，則稱X為單調衰減序列；3。若存在k,kˊ{2,3,…,n},有則稱X為隨機振蕩序列。設稱為序列X的振幅。定義3.2.3設X為系統(tǒng)行為數據系列，D為作用于X的算子，X經過算子D作用后所得序列記為稱D為序列算子，稱XD為一階算子作用序列。序列算子的作用可以進行

6、多次，相應的，若D1,D2,D3皆為序列算子，我們稱D1D2為二階算子，并稱為二階算子作用序列。同理稱D1D2D3為三階序列算子，并稱為三階算子作用序列，等等。公理3.2.1（不動點公理）設X為系統(tǒng)行為數據系列，D為序列算子，則D滿足x(n)d=x(n)不動點公理限定在序列算子作用下，系統(tǒng)行為數據序列中的數據x(n)保持不變，即運用序列算子對系統(tǒng)行為數據進行調整，不改變x(n)這一即成事實。根據定性分析的結論，亦可使x(n)以前的若干個數據在序列算子作用下保持不變。例如，令x(j)d≠x(j)且x(i)d=x(i)其中j=1,2,…,k-1;i=k,k+1,…,n.公理3.2.2

7、（信息充分利用公理）系統(tǒng)行為數據序列X中的每一個數據x(k),k=1,2,…,n都應充分的參與算子作用的全過程。信息充分利用公理限定任何序列算子都應以現有的序列中的信息為基礎進行定義，不允許拋開原始數據另搞一套。公理3.2.3（解析化、規(guī)范化公理）任意的x(k)d,(k=1,2,…,n),皆可由一個統(tǒng)一的x(1),x(2),…,x(n)的初等解析式表達。公理3.2.3要求由系統(tǒng)行為數據系列得到算子作用序列的程序清晰、規(guī)范、統(tǒng)一且盡可能簡化，以便于計算出算子作用序列并使計算易于在計